陳洪鋒, 王 欣,2,*
(1.黑龍江大學 電子工程學院, 哈爾濱 150080; 2.黑龍江省信息融合估計與檢測重點實驗室, 哈爾濱 150080)
信息融合技術是近二十年來持續(xù)研究的熱點[1-2],D-S證據(jù)理論是信息融合技術的重要方法之一, 它最早是由Dempster提出,后由其學生Shafer優(yōu)化,從而形成了一門新的理論。目前,D-S證據(jù)理論被廣泛應用于目標識別[3- 4]、故障診斷[5]、多屬性決策分析[6-7]以及風險評估[8]等領域。
雖然D-S證據(jù)理論因其能夠表達不確定性信息而被廣泛應用,但存在諸多問題。例如,當D-S證據(jù)理論處理高沖突證據(jù)時,可能會得到與直觀相悖的結(jié)論[9]。此外,許多學者還發(fā)現(xiàn)D-S證據(jù)理論存在的另一個問題是傳統(tǒng)沖突系數(shù)k無法準確度量證據(jù)間的沖突程度[10]。
對于此問題,學者們提出了許多改進方法。2006年,Liu W R等[9]舉例說明了傳統(tǒng)的沖突系數(shù)k無法準確地度量證據(jù)間的沖突程度,將Pignistic概率距離與沖突系數(shù)k兩者結(jié)合起來描述沖突的大小。宋亞飛等[10]提出應用余弦角度來度量證據(jù)間的沖突程度。Deng Z等[11]認為只用證據(jù)距離或角度來衡量證據(jù)間的沖突程度是不準確的,因此提出了一種將證據(jù)距離與角度相結(jié)合的沖突程度度量方法。Cai Q X等[12]將Pignistic probability transform 推廣為Pignistic belief transform (PBT),提出了一種基于PBT的沖突度量方法。毛藝帆等[13]提出證據(jù)重合度的概念來度量證據(jù)間的沖突程度。雖然這些方法在某種程度上都能對沖突程度進行度量,但也存在一些不足。例如文獻[1]的余弦方法不滿足三角不等式,且由于引入了相似度矩陣修正證據(jù),增加了計算負擔。
筆者基于Bray-Curtis相異度公式,提出了一種證據(jù)沖突度量的計算方法,與以往文獻對比,所提方法具有如下創(chuàng)新點:①理論證明了所提方法滿足非負性、規(guī)范性、對稱性、一致性和三角不等式,這些性質(zhì)保證了所提方法能夠?qū)ψC據(jù)的沖突程度進行有效度量;②所提方法無需矩陣運算,計算負擔小,且多個典型實驗仿真驗證了所提方法的有效性。
定義1 (識別框架) 在D-S證據(jù)理論中,一般用集合來表示命題,假定用Θ表示一個互斥又可窮舉元素的集合:
Θ={s1,s2,…,sN}
(1)
稱Θ為識別框架;sj(j=1,2,…,N)為一個假設或者單子集命題;N為命題的個數(shù)。由識別框架Θ的所有子集組成的一個集合稱為Θ的冪集,記作2Θ,表示為
2Θ={φ,{s1},…,{sn},{s1∪s2},{s1∪s3},…,Θ}
(2)
冪集對應著某一決策問題的所有可能答案。
定義2 (基本概率賦值basic probability assignment, BPA) 設Θ為識別框架,如果一個函數(shù)m:2Θ→[0,1]滿足:
(3)
稱m為BPA函數(shù),也稱為質(zhì)量函數(shù)。m(A)為對命題A的支持程度。如果m(A)>0,那么稱A為Θ的一個焦元。
定義3 (Dempster合成規(guī)則) 假定識別框架Θ下的兩個證據(jù)E1和E2,其相應的BPA為m1和m2,焦元分別為Ai和Bj。設k<1,則Dempster合成規(guī)則為
(4)
(5)
式中:k為沖突系數(shù),反應了證據(jù)間的沖突程度。
Pignistic概率轉(zhuǎn)換最早由Smets提出,其目的是將復合命題轉(zhuǎn)換為單子集命題,降低計算復雜度。
定義4 假設m為識別框架上Θ的BPA,則m(A)的Pignistic概率轉(zhuǎn)換:
(6)
其中,φ為空集,|B|為集合B的勢。
Bray-Curtis相異度是生態(tài)學中的概念,由J. Roger Bray和John T. Curtis提出,它是度量不同樣地物種組成差異的測度。計算公式為
(7)
其中,y為物種多度;k為物種數(shù);i和j為相比較的兩個樣地的編號。
結(jié)合Pignistic概率轉(zhuǎn)換方法與Bray- Curtis相異度公式,提出一種新的證據(jù)沖突度量方法。下面給出證據(jù)差異度的計算公式。
定義5 設m1={a1,a2,…,an},m2={b1,b2,…,bn}為識別框架Θ下的兩條證據(jù),則差異度為
(8)
其中,BdBCD(m1,m2)為證據(jù)間的差異程度,BdBCD(m1,m2)越大,證據(jù)間的沖突越大,反之亦然。由于證據(jù)沖突度與證據(jù)相似度是對立關系,因此1-BdBCD(m1,m2)為兩個證據(jù)的相似度度量。
基于式(8)計算的兩個證據(jù)的相異度BdBCD(m1,m2)滿足以下性質(zhì):
1) 非負性:BdBCD(m1,m2)≥0;
2) 規(guī)范性:BdBCD(m1,m2)≤1;
3) 對稱性:BdBCD(m1,m2)=BdBCD(m2,m1);
4) 一致性:BdBCD(m1,m2)=0, 當且僅當m1=m2;
5) 三角不等式:BdBCD(m1,m2)≤BdBCD(m1,m3)+BdBCD(m2,m3);
證明假設在識別框架Θ下存在兩條證據(jù)分別為m1={a1,a2,…,an},m2={b1,b2,…,bn}。
由BPA的定義2可知ai≥0,bi≥0,所以,由BdBCD(m1,m2)的定義可以看出,性質(zhì)1)~4)成立。證明性質(zhì)5):
假設在識別框架Θ下還存在證據(jù)m3={c1,c2,…,cn}。性質(zhì)5)代入證據(jù)的差異度公式為
(9)
由絕對值不等式
(10)
由定義2的BPA的歸一性引出式(9)成立,即性質(zhì)5)成立。
證據(jù)相異度BdBCD(m1,m2)只能處理證據(jù)的焦元均為單子集的情形,而當證據(jù)中含有非單子集焦元的證據(jù)而言,需要運用式(6),對原始證據(jù)進行Pignistic概率轉(zhuǎn)換,通過轉(zhuǎn)換可將BPA中的復合命題轉(zhuǎn)換為單子集命題,然后再用BdBCD(m1,m2)計算即可得到兩組證據(jù)間的沖突程度。下面通過實例仿真和與以往文獻的比較,驗證所提方法的有效性。
例1設識別框架為Θ={A,B,C,D,E},兩個傳感器給出的證據(jù)如下
m1:m1(A)=0.2,m1(B)=0.2,m1(C)=0.2,m1(D)=0.2,m1(E)=0.2
m2:m2(A)=0.2,m2(B)=0.2,m2(C)=0.2,m2(D)=0.2,m2(E)=0.2
由例1可見,兩組證據(jù)是完全相同的,但利用傳統(tǒng)的式(4)計算的沖突系數(shù)k=0.8,這顯然與直覺是相悖的。而根據(jù)本文所提方法計算可以得到BdBCD(m1,m2)=0,與直覺相一致,說明本文方法可有效度量相同證據(jù)間的沖突程度。
例2設識別框架為Θ={A,B,C},3個傳感器給出的證據(jù)如下
m1:m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0;
m2:m2(A)=0.8,m2(B)=0.1,m2(C)=0.1;
m3:m3(A)=0.6,m3(B)=0.2,m3(C)=0.2
利用證據(jù)差異度式(8)計算,得到證據(jù)間的相似程度為
1-BdBCD(m1,m2)=0.810 0, 1-BdBCD(m1,m3)=0.610 0, 1-BdBCD(m2,m3)=0.800 0。
相關系數(shù)方法[10]中的計算結(jié)果為
cor(m1,m2)=0.985 9,cor(m1,m3)=0.907 5,cor(m2,m3)=0.965 0。
從整體上看,本文提出的方法與文獻[10]中的結(jié)果相一致,都認為3組證據(jù)存在一定的相似度。然而,從直覺上可以看出,三組證據(jù)雖然存在著一定的相似程度,但是不應達到0.985 9、0.907 5和0.965 0。相比于相關系數(shù)方法,可見本文所提方法對證據(jù)間的沖突度量更有效。同時,本例也驗證了BdBCD(m1,m2)滿足性質(zhì)1)~5)。
例3設識別框架為Θ={A,B,C,…,T},兩個傳感器給出的證據(jù)如下
m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8;
m2:m2(ABCDE)=1
其中,At的變化規(guī)律為:{A},{AB},{ABC}, …,{A,B,C,…,T}。將本文方法與沖突系數(shù)k、difBetP[9]、相關系數(shù)cor[10]、difBf[12]、證據(jù)距離dBPA[16]、證據(jù)關聯(lián)系數(shù)r[17]以及證據(jù)相關系數(shù)Conf[18]方法相對比,計算兩組證據(jù)間的沖突程度,見圖1。
由圖1可見,沖突系數(shù)k保持不變,因此不能有效度量證據(jù)間的沖突程度。本文方法與其他方法的變化趨勢相同,都可以得到結(jié)果:在At={ABCDE}時,證據(jù)間的沖突程度最小。
圖1 不同沖突度量方法的計算結(jié)果隨At的變化趨勢Fig.1 Trend of results of different conflict measurement methods with varying At
例4設識別框架為Θ={A,B},2個傳感器給出的證據(jù)如下
m1:m1(A)=α,m1(B)=1-α;
m2:m2(A)=0.999 9,m2(B)=0.000 1
其中,α的取值范圍為[0,1],每次取值增加0.01。將本文方法與相關系數(shù)cor[10]、證據(jù)關聯(lián)系數(shù)r[17]、以及BJS[19]方法相對比,計算兩組證據(jù)間的沖突程度,見圖2。
圖2 不同沖突度量方法的計算結(jié)果隨α的變化趨勢Fig.2 Trend of results of different conflict measurement methods with varying α
由圖2可見,在α=0時,所有方法度量兩組證據(jù)間的沖突程度都為1;在α=1時,所有方法度量兩組證據(jù)間的沖突程度都為0;隨著α的取值不斷變大,所有方法度量的證據(jù)間沖突程度逐漸降低。但是,相比于其他3種方法,可見本文方法得到的結(jié)果更加線性,說明所提方法更加有效。
例5設識別框架為Θ={A,B,C,…,J},兩個傳感器給出的證據(jù)如下
m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8;
m2:m2(J)=1
其中,At的變化規(guī)律見表1。
表1 集合At的變化Table 1 Variation of set At
根據(jù)本文方法,證據(jù)間的沖突程度隨變量t的變化趨勢見圖3。由圖3可見,通過本文方法計算:當t<10時,2組證據(jù)間的沖突程度是不變的,因為此時無論t值如何變化,證據(jù)m1中對命題J的支持度是不變的;而當t=10時,兩組證據(jù)間的沖突程度變低了,因為此時證據(jù)m1中提升了對命題J的支持度。隨著t值不斷變大,沖突程度也逐漸變低,與直觀相一致。
圖3 沖突程度隨t的變化趨勢Fig.3 Change trend of conflict degree with varying t
針對D-S證據(jù)理論中,傳統(tǒng)沖突系數(shù)k無法準確度量證據(jù)間沖突程度的問題,基于Bray-Curtis相異度公式,提出了一種新的證據(jù)沖突度量方法,該方法滿足非負性、規(guī)范性、對稱性、一致性和三角不等式等沖突度量性質(zhì),并具有計算負擔小、度量精度高、線性度量等性質(zhì),通過理論證明和實驗仿真,驗證了該方法的有效性。