尤 冰

合理選擇與開發(fā)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，設(shè)計(jì)適合學(xué)生的實(shí)驗(yàn)活動，是教師常態(tài)化實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要保障。結(jié)合蘇教版五上“小數(shù)乘法運(yùn)算”這一內(nèi)容，按照問題解決式課型范式，我們開發(fā)了組塊式主題性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“一張紙能對折多少次”。下面，筆者以“一張紙能對折多少次”的教學(xué)與思考為例，闡述開發(fā)與設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的過程，談?wù)勯_展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動的經(jīng)驗(yàn)。

“對折”是生活中常見的現(xiàn)象，通過動手折會發(fā)現(xiàn)，一張紙不論大小，其對折的次數(shù)非常有限。那么，一張紙到底能對折多少次？對折次數(shù)為什么會受到限制呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生從“紙張大小”“紙張厚度”這兩個(gè)變量入手，從研究對折次數(shù)轉(zhuǎn)向發(fā)現(xiàn)紙對折后層數(shù)“倍增”的變化規(guī)律，嘗試說明一張紙的對折次數(shù)受限的道理，探尋數(shù)學(xué)研究分析的一般方法。

一、變化視角，提出問題

師：這是一張紙，以它為研究對象，我們能研究些什么內(nèi)容？

揭題：下面，我們一起來研究“一張紙能對折多少次”。

師：結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)猜一猜，一張紙最多能對折多少次？

大部分學(xué)生猜測十次以內(nèi)，少部分學(xué)生猜測十幾次。

師：你覺得一張紙最多能對折的次數(shù)與這張紙的什么有關(guān)呢？可能會有怎樣的關(guān)系？

生1：可能和紙的厚度有關(guān)，紙?jiān)奖?，對折次?shù)越多。

生2：可能和紙的大小有關(guān)，紙?jiān)酱?，對折次?shù)越多。

師：剛才，同學(xué)們大膽地提出了自己的猜想，認(rèn)為一張紙能對折的次數(shù)與紙的大小和厚度有關(guān)。實(shí)際情況是不是如此呢？我們可以通過實(shí)驗(yàn)來探究。

以學(xué)生熟悉的“紙”作為研究對象，提出研究問題，能調(diào)動學(xué)生的研究興趣。引導(dǎo)學(xué)生猜一猜一張紙能對折多少次，以及一張紙對折的次數(shù)與紙的什么因素有關(guān)。這里的“猜想”是學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)提出的，并不一定準(zhǔn)確，但能為后續(xù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究提供基本思路。

二、明確目標(biāo)，自主設(shè)計(jì)

師：如果要研究對折的次數(shù)和紙的厚度、大小有什么關(guān)系，你打算怎樣設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案？

生1：選擇不同的紙折折看，再來比較對折的次數(shù)。

生2：研究對折的次數(shù)和紙的厚度之間的關(guān)系時(shí)，選擇大小相同、厚度不同的紙；研究對折的次數(shù)和紙的大小之間的關(guān)系時(shí)，選擇厚度相同、大小不同的紙。

介紹材料：實(shí)驗(yàn)材料袋中共有6 張不同的紙，1—3 號紙大小相同（都是A4 大?。?，但厚度不同（1 號是打印紙，厚度約為0.1mm；2 號是練習(xí)軟筆的宣紙，厚度約為0.06mm；3號是練習(xí)硬筆的臨摹紙，厚度約為0.03mm）。4—6 號紙厚度相同（都是厚度約為0.08mm的報(bào)紙），但大小不 同（4 號 面 積 約 為120cm2，5 號 面 積 約 為1000cm2，6號面積約為4000cm2）。

示范折法：為了研究不受折法的影響，我們統(tǒng)一采用“橫豎對折”的方法，先對折長邊再對折寬邊。

在本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案時(shí)，教師注意滲透科學(xué)實(shí)驗(yàn)研究需要控制研究變量的思想；同時(shí)，示范折法，引導(dǎo)學(xué)生獲得更準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了獲得差異性較明顯的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)論，教師精選厚薄、大小懸殊比較大的六種不同的紙，這有助于培養(yǎng)學(xué)生分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力。

三、實(shí)施實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)表達(dá)

【實(shí)驗(yàn)一】研究對折次數(shù)與紙的厚度的關(guān)系

師：我們先來研究對折的次數(shù)與紙的厚度有什么關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)提示：（1）折一折，研究1—3 號紙分別能對折幾次，并記錄數(shù)據(jù)；（2）比一比，比較三張紙對折的次數(shù)，并分析對折的具體情況；（3）說一說，和小組同學(xué)說一說你有什么發(fā)現(xiàn)，組長記錄。

學(xué)生匯報(bào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。（如表1）

表1 實(shí)驗(yàn)一數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：紙的厚度對對折次數(shù)的確有影響。

生2：紙的大小相同時(shí)，紙?jiān)胶駥φ鄞螖?shù)越少，紙?jiān)奖φ鄞螖?shù)越多。

【實(shí)驗(yàn)二】研究對折次數(shù)與紙的大小的關(guān)系

師：接下來，我們來研究對折的次數(shù)與紙的大小有什么關(guān)系。

實(shí)驗(yàn)提示：（1）折一折，研究4—6 號紙分別能對折幾次，并記錄數(shù)據(jù)；（2）比一比，比較三張紙對折的次數(shù)，并分析對折的具體情況；（3）說一說，和小組同學(xué)說一說你有什么發(fā)現(xiàn)，組長記錄。

學(xué)生匯報(bào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。（如表2）

表2 實(shí)驗(yàn)二數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：紙的對折次數(shù)的確與紙的大小有關(guān)。

生2：紙的厚度相同時(shí)，紙?jiān)酱髮φ鄞螖?shù)越多，紙?jiān)叫φ鄞螖?shù)越少。

師：通過剛才的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)探究，大家發(fā)現(xiàn)，一張紙對折的次數(shù)和紙的厚度、大小確實(shí)有一定的關(guān)系。

上述教學(xué)設(shè)計(jì)了兩個(gè)并聯(lián)式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，分別研究了紙的厚度和大小對對折次數(shù)的影響，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一張紙對折的次數(shù)與紙的厚度、大小有一定的關(guān)系，一般在6—8 次，糾正了原來少部分學(xué)生十多次的錯(cuò)誤猜想。

四、豐富例證，完善思考

師：如果希望對折的次數(shù)比前面的紙多，你認(rèn)為應(yīng)該選擇什么樣的紙呢？

生1：選擇更大的紙。

生2：選擇又大又薄的紙。

介紹材料：這是兩張較大的紙，面積約為32000cm2，7 號紙是用報(bào)紙拼接成的，8 號紙是用臨摹紙拼接成的。猜一猜，這兩張紙分別能對折多少次？

大部分學(xué)生猜測十幾次，個(gè)別學(xué)生猜測幾十次。

師：到底能對折多少次呢？我們一起來折折看。

師：通過對折我們發(fā)現(xiàn)，7號紙對折了8次，較薄的8號紙對折了9次。你有什么想說的？

生1：我們猜測的次數(shù)太多了。

生2：這么大的紙，對折次數(shù)也沒有很多。

生3：紙的大小和厚度對對折的次數(shù)影響不是很大。

師：折紙的世界紀(jì)錄是多少呢？我們一起來觀看折紙的世界紀(jì)錄視頻。（播放視頻）折紙的世界紀(jì)錄只有13次，你有什么感受？

生：13 次已經(jīng)是極限了，看來紙的對折次數(shù)是有上限的。

師：紙的對折次數(shù)為什么會受到限制呢？結(jié)合實(shí)驗(yàn)，談?wù)勀愕南敕ā?/p>

生1：對折過程中，紙很快就變得很小。

生2：紙很快就變得很厚。

師：大家感受到，紙?jiān)趯φ鄣倪^程中，它的大小和厚度在快速發(fā)生變化，折了七八次后，紙變得又小又厚，最終很難再繼續(xù)對折。

第三次實(shí)驗(yàn)選用較大的紙進(jìn)行，讓學(xué)生感受到紙的厚度、大小對對折次數(shù)影響不大，以豐富例證，完善學(xué)生認(rèn)知。學(xué)生經(jīng)歷猜一猜、折一折的實(shí)驗(yàn)過程，猜測數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)形成鮮明的對比。同時(shí)，播放折紙的世界紀(jì)錄視頻，讓學(xué)生感受一張紙對折的次數(shù)是受限的，為下一步研究做鋪墊。

五、計(jì)算思考，探究原理

師：在對折過程中，紙的層數(shù)是怎樣變化的？

生：每對折一次，層數(shù)是上一次的兩倍。

師：一張紙對折前是1 層，每次對折后的層數(shù)各是多少？填一填表格。

學(xué)生匯報(bào)數(shù)據(jù)。

師：第10次對折后是1024層，如果以厚度為0.1 毫米的普通復(fù)印紙為例，此時(shí)厚度約為1 分米。想象一下，如果繼續(xù)對折，紙的厚度會怎樣？

生：第11次對折后，厚度約為2dm；第12次對折后，厚度約為4dm；第13 次對折后，厚度約為8dm，接近1m。

師（出示圖1）：結(jié)合這張統(tǒng)計(jì)圖來看，一張紙?jiān)瓉碇挥? 層，經(jīng)過幾次對折后，紙的層數(shù)連續(xù)乘2，紙的厚度在剛開始變化比較緩慢，但越往后增長越快。像這樣的變化，叫作“倍增”。

（圖1）

師：假如有一張足夠大的紙，不受限制，對折103次后會怎樣呢？（播放視頻）

師：回顧這節(jié)課，我們是怎樣研究一張紙能對折多少次的？你有哪些收獲？

這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算思考、假設(shè)想象的過程，感悟“倍增”的數(shù)學(xué)知識，解釋對折受限的原因，旨在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考生活中的現(xiàn)象，探索生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的廣度和深度。

由上例教學(xué)可見，合理開發(fā)和應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有助于設(shè)計(jì)與實(shí)施實(shí)驗(yàn)過程，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的“實(shí)證”研究。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)應(yīng)緊扣內(nèi)容實(shí)質(zhì)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富有序的學(xué)習(xí)活動提供適切的操作工具，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“做數(shù)學(xué)”過程，體會數(shù)學(xué)知識從何而來、如何探索，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。