劉知輝，牛軍川,2,*，賈睿昊

1. 山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南 250061

2. 山東大學(xué)高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南 250061

航空領(lǐng)域中高速飛行器常工作于復(fù)雜、嚴(yán)苛的極端熱環(huán)境中，并承受來自動(dòng)力源、氣動(dòng)湍流、噪聲等多種形式的外界激勵(lì)。在這些外界振源的激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的振動(dòng)會(huì)影響系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行，同時(shí)也對(duì)精密儀器儀表、電子設(shè)備等造成危害。此外，結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的聲輻射還會(huì)影響設(shè)備中操作人員的舒適性。因此在系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段針對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)聲振特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的理論與工程價(jià)值。

在高速飛行器等航空航天設(shè)備的聲振特性分析中，往往需考慮極端熱環(huán)境對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響。極端熱環(huán)境一方面可顯著改變結(jié)構(gòu)的材料屬性，從而影響結(jié)構(gòu)的剛度等關(guān)鍵動(dòng)力學(xué)參數(shù)；另一方面，處于極端熱環(huán)境中的結(jié)構(gòu)熱膨脹被約束時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)還將產(chǎn)生熱應(yīng)力。楊雄偉等以X43A超高速飛行器為例，研究了熱效應(yīng)對(duì)飛行器結(jié)構(gòu)各部分材料的物性及聲振耦合特性的影響規(guī)律。胡君逸等對(duì)熱環(huán)境下正交各向異性板的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究，結(jié)果表明熱應(yīng)力和熱變形會(huì)顯著影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

在航空航天領(lǐng)域，梁?jiǎn)卧粡V泛用于高速飛行器中機(jī)翼、壁板、航空葉片等結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模分析。在這些應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)常處于極端熱環(huán)境。Gu等建立了Timoshenko梁在熱環(huán)境中的動(dòng)力學(xué)理論分析模型。Avsec和Oblak對(duì)自由和簡(jiǎn)支邊界條件下的梁在熱環(huán)境下的振動(dòng)進(jìn)行了研究。Chen等在考慮參數(shù)不確定性的情況下，使用基于間接Trefftz方法的波函數(shù)法(Wave Based Method，WBM)分析了均勻熱環(huán)境下梁的中低頻動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。在高速飛行器運(yùn)行時(shí)，氣動(dòng)湍流、外界噪聲等激勵(lì)往往頻率較高，且飛行器中結(jié)構(gòu)一般較為輕薄，易表現(xiàn)為短波高頻振動(dòng)特性。上述以位移為基本變量的確定性分析方法由于計(jì)算量及參數(shù)敏感性等原因難以適用于高頻動(dòng)力學(xué)分析。

高頻分析時(shí)一般采用以聲振能量為基本變量的統(tǒng)計(jì)性分析方法。為考慮高速飛行器在極端溫度場(chǎng)中的高頻響應(yīng)，陳強(qiáng)等建立了熱環(huán)境下的統(tǒng)計(jì)能量分析(Statistical Energy Analysis，SEA)模型，并就L型折板的長寬比對(duì)SEA模型關(guān)鍵參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行了研究。胡婉璐等研究了軸向力對(duì)SEA模型中耦合梁耦合損耗因子的影響規(guī)律。

近年來，以能量密度為基本變量的能量流方法在結(jié)構(gòu)高頻分析領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。相比于SEA，該方法可得到振動(dòng)能量的空間分布信息，從而可提供更為詳細(xì)的高頻動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)結(jié)果。代文強(qiáng)等使用能量有限元方法對(duì)高速列車車內(nèi)的噪聲進(jìn)行了理論預(yù)測(cè)。王懷志等使用能量有限元法對(duì)衛(wèi)星的整流罩和儀器艙的中頻聲振響應(yīng)進(jìn)行了分析。陳兆林等使用能量有限元法和虛擬模態(tài)綜合法(EFEM-VMSS)分析了航天器分離等沖擊狀態(tài)下的瞬態(tài)響應(yīng)。滕曉艷等通過采用大阻尼假設(shè)建立了分析自由阻尼梁高頻響應(yīng)的解析模型。為實(shí)現(xiàn)對(duì)熱環(huán)境中梁的高頻分析，Zhang等考慮軸向熱應(yīng)力和材料屬性的變化，建立了均勻熱環(huán)境下梁的能量流模型。Wang等基于板的平面波疊加假設(shè)研究了板在熱環(huán)境中具有各向不同薄膜力時(shí)的能量流模型。

飛行器在超音速飛行時(shí)，氣動(dòng)加熱等效應(yīng)往往在壁板等結(jié)構(gòu)內(nèi)外表面產(chǎn)生較大的溫差，壁板等結(jié)構(gòu)的內(nèi)外表面之間也因熱傳導(dǎo)而存在較大的溫度梯度。此時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)的材料參數(shù)以及熱應(yīng)力等將具有明顯的空間變化。而在上述熱環(huán)境高頻分析模型中，結(jié)構(gòu)被認(rèn)為處于均勻的溫度場(chǎng)中，此時(shí)建立的高頻分析模型也因此無法準(zhǔn)確反映溫度場(chǎng)的空間變化對(duì)結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)的影響。

二維壁板是飛行器結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題研究中廣泛采用的模型。當(dāng)考慮此類結(jié)構(gòu)的柱形彎曲(Cylindrical Bending)而忽略展向彎曲(Spanwise Bending)時(shí)，可采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模分析。為分析飛行器中此類結(jié)構(gòu)因氣動(dòng)加熱等效應(yīng)而處于非均勻熱環(huán)境時(shí)的高頻動(dòng)力學(xué)特性，建立熱梯度環(huán)境下梁的能量流解析模型。通過求解穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程得到梁內(nèi)溫度的空間分布，考慮溫度對(duì)材料屬性的改變及熱應(yīng)力，引入物理中性層以消除軸向與橫向彎曲變形之間的耦合。使用哈密頓原理導(dǎo)出梁在非均勻熱梯度環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)控制方程，得到波動(dòng)的頻散關(guān)系?；谖⒃w的功率平衡關(guān)系得到梁的能量流解析模型，并通過與基準(zhǔn)解的對(duì)比驗(yàn)證其正確性。

1 熱梯度環(huán)境下梁的模型

1.1 梁中的溫度場(chǎng)

圖1為處于熱梯度環(huán)境中的梁，其長度為，截面寬度為，截面高度為。梁的上下表面溫度分別為和。由于外界溫度在梁的上下表面存在差異，熱傳導(dǎo)將使梁在厚度方向上的溫度呈梯度分布。外界溫度在梁軸向上的變化率一般較小，因此不考慮軸向的溫度變化。

圖1 處于熱梯度環(huán)境中的梁Fig.1 Beam exposed in thermal gradient environment

首先對(duì)梁內(nèi)的溫度場(chǎng)進(jìn)行建模。以梁的幾何中性層為參考，坐標(biāo)為處的溫度滿足一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程

(1)

式中：()為坐標(biāo)處的材料熱傳導(dǎo)系數(shù)，對(duì)于均質(zhì)材料，()為常數(shù)；為溫度，K。式(1)的邊界條件可表示為

(2)

式中：為參考溫度，取為室溫300 K，此時(shí)材料不產(chǎn)生熱膨脹；Δ和Δ分別為梁的上下表面處溫度與參考溫度的差值。將式(2)代入式(1)，對(duì)于均勻材料可求解得到在厚度方向的溫度為

(3)

根據(jù)Touloukian提出的高階多項(xiàng)式擬合材料屬性-溫度擬合關(guān)系，材料參數(shù)與溫度的關(guān)系可表示為

=(+1+++)

(4)

式中：表示密度、彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)等材料物性參數(shù)；(=-1,0,1,2,3)為材料參數(shù)的溫度系數(shù)，需根據(jù)具體材料確定。在厚度方向的熱傳導(dǎo)導(dǎo)致溫度在厚度方向連續(xù)變化，由式(4) 可知，此時(shí)梁的材料參數(shù)在厚度方向也將呈現(xiàn)連續(xù)性變化。

1.2 運(yùn)動(dòng)控制方程

厚度方向存在的熱梯度使梁的材料屬性在空間中具有非均勻的特點(diǎn)。同時(shí)，若軸向變形被約束，熱膨脹還將產(chǎn)生軸向應(yīng)力。這兩方面因素使熱梯度環(huán)境下梁的運(yùn)動(dòng)控制方程異于常溫下梁的運(yùn)動(dòng)控制方程。

已有的一些研究表明，基于等效單層理論(Equivalent Single Layer，ESL)建立非均勻材料結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)時(shí)，由于在厚度方向彈性模量等力學(xué)參數(shù)的空間變化，結(jié)構(gòu)橫向彎曲變形與軸向伸展之間將存在耦合。一些學(xué)者為此引入了物理中性層的概念以消除這一耦合。圖2中熱梯度環(huán)境下的梁由于在厚度方向的彈性模量也具有非均勻性，因此亦可使用物理中性層的概念建立熱梯度環(huán)境中梁的運(yùn)動(dòng)控制方程。

圖2 梁在熱梯度環(huán)境中的變形Fig.2 Deformation of beam in thermal gradient environment

當(dāng)梁的軸向跨度遠(yuǎn)大于截面高度時(shí)，一般可忽略其截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及剪切變形的影響而采用歐拉-伯努利梁對(duì)其進(jìn)行分析。在飛行器中，薄壁類壁板等結(jié)構(gòu)一般具有這一特性?；跉W拉-伯努利梁理論的位移場(chǎng)可表示為

(5)

式中：為梁的軸向位移；為彎曲變形對(duì)應(yīng)的橫向位移；為物理中性層與幾何中性層的距離，表示為

(6)

式中：()為幾何中性層坐標(biāo)下處的彈性模量，可通過式(3)和式(4)確定。一般情況下高溫將減小材料的彈性模量，因此對(duì)于圖2所示的熱梯度環(huán)境下的梁，物理中性層相對(duì)于幾何中性層將向溫度較低的方向偏移?；谑?5)給定的位移場(chǎng)，梁的彈性變形勢(shì)能可表示為

(7)

當(dāng)梁處于超靜定約束狀態(tài)、熱膨脹完全被約束時(shí)，由熱梯度環(huán)境產(chǎn)生的軸向熱應(yīng)力可表示為

()=-()()Δ()

(8)

式中：()為梁的熱膨脹系數(shù)；Δ()為溫度差。

對(duì)于小變形情況，變形后梁的微弧段長度d與未變形狀態(tài)長度d之間的差值可表示為

(9)

從而軸向上初始熱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能密度可表示為

(10)

由于熱應(yīng)力在結(jié)構(gòu)超靜定狀態(tài)下產(chǎn)生壓縮軸向力，式(10)中的勢(shì)能密度將是負(fù)的，這實(shí)質(zhì)上將減小梁的固有頻率。當(dāng)熱應(yīng)力使一階固有頻率為0時(shí)，梁將失穩(wěn)發(fā)生熱屈曲，此時(shí)梁將產(chǎn)生非線性變形。能量流分析是基于線性小變形假設(shè)的，因此不討論梁在熱梯度環(huán)境中處于后屈曲狀態(tài)時(shí)的能量流模型。

基于等效單層理論，熱梯度環(huán)境下梁的動(dòng)能可表示為

(11)

式中：()為梁的材料密度。

由外力對(duì)處于熱梯度環(huán)境中的梁所做的功可表示為

(12)

式中：(,)為外力；為時(shí)間變量。

當(dāng)外力為集中力形式時(shí)，可采用δ函數(shù)進(jìn)行描述。由式(7)、式(10)～式(12)可得熱梯度環(huán)境下梁彎曲變形的能量泛函。對(duì)能量泛函使用哈密頓原理并收集變分項(xiàng)δ的系數(shù)，可得熱梯度環(huán)境下梁的彎曲振動(dòng)控制方程:

(13)

式中：為在熱梯度環(huán)境下梁的截面有效彎曲剛度；為處于超靜定狀態(tài)的梁在熱環(huán)境中產(chǎn)生的有效軸向力；為等效截面密度。它們可分別表示為

(14)

(15)

(16)

當(dāng)梁處于均勻的溫度場(chǎng)時(shí)，式(13)將轉(zhuǎn)換為Zhang等使用的梁運(yùn)動(dòng)控制方程。進(jìn)一步地，當(dāng)不考慮梁的軸向熱應(yīng)力時(shí)，式(13)將退化為均勻梁的運(yùn)動(dòng)控制方程。

式(15)中由熱應(yīng)力產(chǎn)生的軸向力是在默認(rèn)熱膨脹被完全約束時(shí)得到的。在實(shí)際工程中，薄壁結(jié)構(gòu)的屈服極限往往較小，為避免過大的溫度應(yīng)力引起結(jié)構(gòu)的熱屈曲，在實(shí)際工程中細(xì)長薄壁類結(jié)構(gòu)的兩端可能留有伸縮縫以削弱對(duì)熱膨脹的約束。如圖3所示，可使用端點(diǎn)的軸向彈簧模擬軸向伸縮縫的效應(yīng)。當(dāng)該軸向彈簧剛度系數(shù)為0時(shí)，將不存在針對(duì)軸向熱變形的約束，此時(shí)梁中也將不存在熱應(yīng)力，溫度將僅改變梁的材料屬性。當(dāng)彈簧剛度系數(shù)遠(yuǎn)大于軸向剛度時(shí)，熱膨脹可視為被完全約束從而產(chǎn)生熱應(yīng)力。其他剛度值可類似設(shè)定。

圖3 軸向未完全約束的梁Fig.3 Beam without full axial constraint

對(duì)于圖3中的梁，根據(jù)彈簧與梁的軸向力相等可得

(17)

式中：為軸向彈簧的剛度系數(shù)；Δ為彈簧的伸縮量，Δ一般遠(yuǎn)小于梁的尺寸，因此不計(jì)這一微小變形對(duì)梁幾何尺寸的影響。通過在式(17)中求解Δ便可得到梁的軸向力。將代入式(13) 便可得此時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)控制方程。

2 熱梯度環(huán)境下梁的能量流模型

2.1 波動(dòng)頻散關(guān)系

在結(jié)構(gòu)的能量流研究中需建立能量密度控制方程，而能量密度控制方程基于振動(dòng)的波動(dòng)解。因此需要首先求解式(13)波動(dòng)形式的解。

為考慮在高頻時(shí)結(jié)構(gòu)阻尼的影響，可在勢(shì)能表達(dá)式中引入復(fù)剛度，此時(shí)導(dǎo)出的式(13)將被改寫為

(18)

式(18)具有時(shí)間簡(jiǎn)諧和空間簡(jiǎn)諧形式的波動(dòng)解可表示為

(,)=ejej

(19)

式中：為彈性波幅值；為波數(shù)，表征彈性波的空間振蕩特性；為圓頻率,表征彈性波的時(shí)間振蕩特性。將式(19)代入運(yùn)動(dòng)控制方程式(18)對(duì)應(yīng)的齊次方程，可得

(20)

式(20)建立了波數(shù)與圓頻率之間波動(dòng)頻散關(guān)系。通過求解式(20)便可得到熱梯度環(huán)境下彈性波時(shí)間振蕩與空間振蕩之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)形式上式(20)為關(guān)于波數(shù)的四次多項(xiàng)式方程，共有4個(gè)根：

(21)

式中：為遠(yuǎn)場(chǎng)波波數(shù)的實(shí)部；為近場(chǎng)波波數(shù)的虛部。

式(21)中的根可根據(jù)多項(xiàng)式求根公式得到：

(22)

(23)

將式(21)中的前兩項(xiàng)代入式(19)后，得到以波數(shù)為頻率、在空間振蕩的遠(yuǎn)場(chǎng)波，式(21)中的后兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)于指數(shù)衰減的近場(chǎng)波。能量流中一般不考慮近場(chǎng)波的影響，從而式(19)可表示為

(,)=(ej+e-j)ej

(24)

式中：為第個(gè)波的幅值。

由于使用復(fù)剛度模擬結(jié)構(gòu)遲滯阻尼效應(yīng)，式(24) 中的波數(shù)也將變?yōu)閺?fù)數(shù)，也即=+j?；谛∽枘峒僭O(shè)(?1)，對(duì)式(22)以j為未知量、以0為原點(diǎn)進(jìn)行一階泰勒展開，可得

(25)

常見金屬材料的阻尼系數(shù)一般是小量，此時(shí)?1，因此式(25)中與同階的項(xiàng)可忽略，從而可得

(26)

(27)

式中：和分別為復(fù)波數(shù)的實(shí)部和虛部。

由式(26)可得彈性波的波長

(28)

式(26)表明在小阻尼假設(shè)下導(dǎo)出的表征波動(dòng)空間振蕩特性的波數(shù)實(shí)部部分與無阻尼的波數(shù)一致，也即

(29)

為得到表征遠(yuǎn)場(chǎng)彈性波能量傳遞速度的群速度，對(duì)式(26)兩邊應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，可得

(30)

式中：為彎曲波的群速度。

類似的，由式(29)還可得

(31)

比較式(27)和式(30)，表征波動(dòng)隨空間衰減的項(xiàng)可表示為

(32)

2.2 能量密度控制方程

時(shí)間周期平均后，熱梯度環(huán)境下梁的動(dòng)能密度可表示為

(33)

將式(24)代入式(33)，可得動(dòng)能密度為

(34)

同理，由梁的軸向熱應(yīng)力以及彈性變形對(duì)應(yīng)的勢(shì)能密度表達(dá)式為

(35)

將式(24)代入式(35)，忽略阻尼系數(shù)的高階項(xiàng)，可得勢(shì)能密度為

(36)

在式(34)和式(36)中，均包含指數(shù)衰減項(xiàng)和三角函數(shù)項(xiàng)。在物理意義上，前者對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)場(chǎng)波的衰減，而后者對(duì)應(yīng)于正負(fù)向遠(yuǎn)場(chǎng)波的干涉。在能量流分析中，基本變量為局部空間平均后的能量密度，因此式(34)和式(36)中的三角函數(shù)項(xiàng)在經(jīng)過波長局部空間平均后可被消除。注意到式(26) 給出的頻散關(guān)系，時(shí)間與空間平均后總的能量密度可表示為

(37)

圖4為熱梯度環(huán)境下梁的受力示意圖。振動(dòng)功率流將同時(shí)由彎矩、剪力和熱應(yīng)力傳遞。時(shí)間周期平均意義下的振動(dòng)能量流可表示為

圖4 熱梯度環(huán)境下梁的受力示意圖Fig.4 Schematic diagram of forces acting on beam in thermal gradient environment

(38)

將式(24)給出的波動(dòng)解代入式(38)，進(jìn)一步經(jīng)局部空間平均以消除行波之間干涉項(xiàng)引起的功率流，可得時(shí)間與局部空間平均后的功率流表達(dá)式：

(39)

比較式(37)與式(39)，可得

(40)

將式(31)和式(32)代入式(40)，可得

(41)

在能量流分析中，能量密度控制方程可根據(jù)微元體控制體積內(nèi)的能量流平衡導(dǎo)出。如圖5所示，圖中為外部輸入的功率，對(duì)于熱梯度梁的任意微段d，在穩(wěn)態(tài)下能量輸入、能量耗散及能量傳導(dǎo)三者間具有平衡關(guān)系。對(duì)于采用的遲滯阻尼模型，Cremer等的研究表明時(shí)間周期內(nèi)對(duì)振動(dòng)能量的平均耗散功率可表示為

圖5 微元體的能量流平衡Fig.5 Energy flow balance in a differential element

(42)

由式(29)、式(34)和式(36)可知，時(shí)間和局部空間平均后勢(shì)能密度與動(dòng)能密度相等。這一性質(zhì)在Navazi等進(jìn)行的試驗(yàn)中也得到過驗(yàn)證?；诖?式(42)可表示為

(43)

考慮圖5所示的微元體的能量平衡關(guān)系，可得

(44)

將式(41)代入式(44)，可得

(45)

式(45)即為建立的能量密度控制方程。該方程與Wohlever和Bernhard建立的常溫環(huán)境下梁的能量密度控制方程具有一致的形式。但式(45) 的導(dǎo)出同時(shí)考慮了熱環(huán)境產(chǎn)生的熱應(yīng)力以及材料的溫度相關(guān)性，因此式(45)中的關(guān)鍵參數(shù)群速度將與未考慮熱環(huán)境影響的群速度不同。

2.3 能量密度控制方程的求解

在高頻分析時(shí)，結(jié)構(gòu)的輸入點(diǎn)導(dǎo)納一般可在忽略邊界條件的情況下使用無限結(jié)構(gòu)的輸入導(dǎo)納進(jìn)行近似。Chen等使用波動(dòng)法精確求解了預(yù)應(yīng)力梁在兩端簡(jiǎn)支條件下的輸入導(dǎo)納，結(jié)果表明考慮具體邊界條件得到的輸入導(dǎo)納在無限結(jié)構(gòu)導(dǎo)納上下隨頻率振蕩，且二者隨激勵(lì)頻率的增加逐漸接近。高頻分析一般在倍頻程下以頻率平均意義進(jìn)行，因此在高頻時(shí)使用無限結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納可以較好地反映在頻率平均時(shí)外界激勵(lì)對(duì)結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)意義下的輸入功率。

圖6所示為忽略邊界時(shí)處于熱梯度環(huán)境中的梁及梁中的彈性波，圖中為外部集中形式的激振力，和分別為左側(cè)半梁和右側(cè)半梁的彎矩，和分別為左側(cè)半梁和右側(cè)半梁的剪力。由于忽略了邊界的存在，以激勵(lì)位置為分割點(diǎn)，兩側(cè)的梁均只有由外界力激起的遠(yuǎn)離激勵(lì)點(diǎn)的彈性波。忽略時(shí)間簡(jiǎn)諧項(xiàng)，左側(cè)半梁(梁1)和右側(cè)半梁(梁2)中的彈性波位移可分別表示為

圖6 無限尺寸熱梯度梁中的彈性波Fig.6 Elastic waves in infinite beam in thermal gradient environment

(46)

式中：和分別為左側(cè)半梁和右側(cè)半梁的橫向位移；和分別為左側(cè)半梁遠(yuǎn)場(chǎng)波和近場(chǎng)波的幅值；和分別為右側(cè)半梁遠(yuǎn)場(chǎng)波和近場(chǎng)波的幅值。

式(46)共有4個(gè)未知數(shù)，由激勵(lì)位置處的連續(xù)性條件可得到4個(gè)協(xié)調(diào)方程。

在計(jì)算得到式(46)中的4個(gè)參數(shù)后，使用輸入導(dǎo)納的定義可得處于熱梯度環(huán)境下無限梁的輸入導(dǎo)納為

(47)

由式(47)給出的輸入點(diǎn)導(dǎo)納可得輸入功率：

(48)

將式(48)確定的外界激勵(lì)輸入功率流代入式(45) 便可得梁上的能量密度的空間分布。式(45) 在數(shù)學(xué)形式上為定義在空間域上的二階常微分方程，它的解可表示為

(49)

(50)

式中：為復(fù)平面內(nèi)的積分變量。

由式(50)可見式(49)中的積分在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)留數(shù)點(diǎn)。由留數(shù)定理可得式(45)的特解為

(51)

將式(51)代入式(49)便可得熱梯度環(huán)境下梁上的能量密度分布。對(duì)于單梁，在梁的左右兩端應(yīng)不存在能量流的輸入輸出，因此在左右兩端的邊界條件可表示為

(52)

式(52)中的能量流可通過式(41)確定。由式(52) 中的兩個(gè)邊界條件便可確定兩個(gè)未知系數(shù)和?；谑?19)～式(52)得到的是能量密度控制方程的解析解，當(dāng)使用有限元方法進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，該模型也被稱為能量有限元方法。相比于數(shù)值解，解析形式的能量流模型在參數(shù)化分析和優(yōu)化時(shí)將具有優(yōu)勢(shì)。

3 數(shù)值算例與討論

對(duì)建立的能量流模型進(jìn)行驗(yàn)證，并通過數(shù)值算例對(duì)處于非均勻熱環(huán)境中梁的高頻振動(dòng)特性進(jìn)行研究。算例中采用的梁材料為Ti-6Al-4V。Ti-6Al-4V具有良好的低溫和高溫性能，可穩(wěn)定工作于400～500 ℃的環(huán)境下。溫度對(duì)這種材料彈性模量和熱膨脹系數(shù)的影響如表1所示，材料密度為4 439 kg/m，不隨溫度變化。

表1 Ti-6Al-4V隨溫度變化的參數(shù)Table 1 Temperature-dependent coefficients of Ti-6Al-4V

3.1 模型有效性驗(yàn)證

首先對(duì)建立的能量流模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證?；谀芰糠汉投囗?xiàng)式形函數(shù)可得熱梯度環(huán)境下梁的單元矩陣，通過組裝可得有限元模型。在驗(yàn)證對(duì)比時(shí)使用有限元方法在稠密網(wǎng)格時(shí)得到的結(jié)果作為參考對(duì)比值。為確保有限元結(jié)果的收斂性，在有限元中設(shè)定網(wǎng)格長度小于1/10波長，因此有限元計(jì)算所需的自由度和計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于能量流模型。

能量流模型對(duì)結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)響應(yīng)的預(yù)測(cè)需要首先實(shí)現(xiàn)對(duì)外界激勵(lì)功率輸入的估計(jì)。在式(48)中使用無限結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納求取外界激勵(lì)的功率輸入，圖7使用有限元法并劃分稠密網(wǎng)格精確求解了幾種常見邊界條件下單位幅值簡(jiǎn)諧力作用于梁中點(diǎn)時(shí)引起的功率流輸入，梁的長度為3 m，截面寬度和高度分別為5×10m和1×10m，材料阻尼=0.05且不隨溫度變化。梁的上表面處于溫度為500 K的熱環(huán)境中，下表面溫度為300 K，軸向熱膨脹約束彈簧剛度為1 000 N/m。

由圖7可見由無限結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法得到的輸入功率流在頻率內(nèi)較為平滑，且整體上隨激勵(lì)頻率升高而下降。而考慮邊界條件時(shí)得到的精確輸入功率流則在前者上下振蕩。這是由于無限結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法不考慮邊界，也因此不存在由駐波效應(yīng)引起的共振和反共振現(xiàn)象。從圖7中還可看出雖然考慮具體邊界條件時(shí)輸入功率流在頻域內(nèi)有一定振蕩，但它們總體是在無限結(jié)構(gòu)輸入功率的上下波動(dòng)。同時(shí)隨頻率升高考慮邊界條件得到的輸入功率逐漸接近無限結(jié)構(gòu)的輸入功率。這一現(xiàn)象可通過邊界對(duì)波傳遞的影響解釋。對(duì)于保守邊界，無論其具體形式，波在傳遞至邊界而反射時(shí)只產(chǎn)生相位的變化而不產(chǎn)生幅值的變化。隨波長變小，相位變化的影響逐漸變小，且這一影響往往可經(jīng)頻率平均進(jìn)一步進(jìn)行消除。因此，式(48)可較為合理地預(yù)測(cè)各種邊界條件下高頻激勵(lì)時(shí)外界的功率輸入。

圖7 外界功率流隨激勵(lì)頻率的變化Fig.7 Variation of power input with excitation frequency

圖8為波長與波數(shù)隨激勵(lì)頻率的變化曲線，可見隨激勵(lì)頻率增加，波長逐漸變短，而波數(shù)逐漸增大；隨波長變短，近場(chǎng)波的影響范圍將逐漸減??；隨著波數(shù)的增加，波動(dòng)在空間中的振蕩頻率將更快，此時(shí)進(jìn)行局部空間平均以消除能量密度和能量流中與波數(shù)同頻的振蕩項(xiàng)也將是合理的。

圖8 波長與波數(shù)隨激勵(lì)頻率變化Fig.8 Variations of wavenumber and wavelength with excitation frequency

圖9為具有單位幅值的簡(jiǎn)諧力作用于梁中點(diǎn)時(shí)，在不同激勵(lì)頻率下能量密度的空間分布。在圖9中，使用具有稠密網(wǎng)格的有限元結(jié)果作為對(duì)比參考值。有限元計(jì)算在以激勵(lì)頻率為中心頻率的1/3倍頻程內(nèi)進(jìn)行，并取1/3倍頻程內(nèi)100個(gè)頻率對(duì)應(yīng)結(jié)果的均值為基準(zhǔn)值。由圖9可見能量流模型預(yù)測(cè)的能量密度結(jié)果在空間內(nèi)較為平滑，而基于確定性有限元方法所得的結(jié)果在空間中呈現(xiàn)振蕩。能量流模型的結(jié)果可較為準(zhǔn)確地反映1/3倍頻程內(nèi)響應(yīng)的空間整體變化趨勢(shì)，且與基準(zhǔn)值具有較好的吻合性。能量流模型的預(yù)測(cè)結(jié)果在激勵(lì)位置及邊界處與有限元結(jié)果具有一定的差別，這一現(xiàn)象是由于激勵(lì)位置和邊界處存在近場(chǎng)波。由圖8可知隨激勵(lì)頻率增加波長逐漸減小，從而近場(chǎng)波存在的范圍也越來越小，這一現(xiàn)象也可在圖9中觀察到。在圖9中隨激勵(lì)頻率增加，邊界處振蕩的范圍與幅度都趨向減小。

圖9 不同激勵(lì)頻率下梁振動(dòng)能量密度分布情況Fig.9 Energy density distributions of beam at different excitation frequencies

圖10為不同激勵(lì)頻率下梁中的功率流。由圖7可知隨激勵(lì)頻率增加，由簡(jiǎn)諧激勵(lì)力引起的功率輸入逐漸減小。由于激勵(lì)處于對(duì)稱位置，因此梁上的功率流也呈對(duì)稱性分布，從激勵(lì)位置處向邊界傳播，并在傳播過程中衰減。

圖10 不同激勵(lì)頻率f下梁中的功率流Fig.10 Power flow in beam at different excitation frequency f

由式(43)中遲滯阻尼模型可知，在相同的功率輸入下，總體的振動(dòng)能量密度將反比于激勵(lì)頻率。因此對(duì)比圖9中3種激勵(lì)頻率下梁的能量密度響應(yīng)可見，隨著激勵(lì)頻率的增加梁的整體振動(dòng)能量響應(yīng)減小。同時(shí)由于波長減小，輸入功率流向邊界時(shí)將在空間內(nèi)經(jīng)歷更多的波長周期衰減，因此在圖9中隨激勵(lì)頻率的增加能量密度在空間中的衰減趨勢(shì)也更為明顯。

圖11為激勵(lì)位置在1/3梁長度(激勵(lì)點(diǎn)坐標(biāo)=1,坐標(biāo)系原點(diǎn)位于梁左端點(diǎn)處)、激勵(lì)頻率為4 kHz時(shí)梁上的能量密度分布。其他參數(shù)與圖7中的算例相同。由圖11可見對(duì)于非對(duì)稱激勵(lì)，能量流模型給出的結(jié)果仍能與參考值較好吻合。在靠近激勵(lì)位置的左側(cè)邊界由于近場(chǎng)波效應(yīng)明顯，基準(zhǔn)值具有較大的振蕩性。但總體來說，能量流模型的結(jié)果較好地反映了振動(dòng)能量的空間分布變化趨勢(shì)。能量流模型的準(zhǔn)確性依賴于對(duì)外界功率輸入的準(zhǔn)確估計(jì)。對(duì)于高頻激勵(lì)，式(48)基于無限結(jié)構(gòu)導(dǎo)納給出的功率輸入計(jì)算公式在激勵(lì)位置距離邊界數(shù)個(gè)波長時(shí)便較為準(zhǔn)確，而波長在高頻時(shí)較短，因此對(duì)于梁上的絕大多數(shù)位置式(48)均能給出合理的輸入功率流。對(duì)于圖11 中的算例，雖然激勵(lì)處在非對(duì)稱位置，但其距離邊界位置仍有若干波長，因此能量流模型也較準(zhǔn)確地得到了梁上的振動(dòng)能量分布特性。

圖11 非對(duì)稱激勵(lì)時(shí)梁中的能量密度Fig.11 Energy density in beam with asymmetrical excitation

由上述對(duì)比可見，能量流模型的結(jié)果較為準(zhǔn)確地反映了處于熱梯度環(huán)境下的梁在承受高頻激勵(lì)時(shí)的振動(dòng)能量分布特性。

3.2 熱環(huán)境的影響

高速飛行器等設(shè)備在運(yùn)行中可能處于溫度不斷變化的熱環(huán)境中。溫度的變化將直接引起結(jié)構(gòu)剛度及熱應(yīng)力的變化。圖12為梁的上表面溫度變化時(shí)，截面剛度與軸向熱應(yīng)力的變化趨勢(shì)，其中下表面溫度被設(shè)定為=0.6，激勵(lì)頻率為4 kHz。由圖12可見隨上表面溫度增加，截面剛度逐漸減小而軸向熱應(yīng)力變大。本質(zhì)上這兩種變化趨勢(shì)都將降低系統(tǒng)的固有頻率，也即使得梁的振動(dòng)更趨向于高頻振動(dòng)。

圖12 溫度對(duì)彎曲剛度和軸向力的影響Fig.12 Influences of temperature on bending stiffness and axial force

圖13為上表面溫度變化時(shí)波長和輸入功率的變化曲線。由圖13可見隨溫度增加，輸入功率也增加，而波長將變短。由圖13還可看出，對(duì)于不同的軸向約束彈簧剛度系數(shù)，波長與輸入功率基本相同。這表明此時(shí)軸向力的大小對(duì)高頻振動(dòng)特性的影響較小。對(duì)于細(xì)長梁這類薄壁結(jié)構(gòu)而言，其臨界軸向壓應(yīng)力一般較小。Chen等的研究表明，較小的軸向力對(duì)高階固有頻率影響不明顯，因此對(duì)高頻響應(yīng)的影響也較小。

圖13 溫度對(duì)波長和輸入功率的影響Fig.13 Influences of temperature on wavelength and power input

圖14為簡(jiǎn)支梁在僅考慮軸向熱應(yīng)力和僅材料變化時(shí)時(shí)固有頻率與常溫下的梁的固有頻率平方之比。固有頻率使用經(jīng)典的分離變量法由式(13) 得到。由圖14可知，當(dāng)僅考慮軸向力時(shí)，低頻模態(tài)相比于常溫下的梁具有明顯的改變，熱梯度環(huán)境引起的軸向力較大幅度地降低了低階固有頻率，但其對(duì)高頻模態(tài)的影響并不顯著。由于高頻響應(yīng)一般由激勵(lì)頻率倍頻程內(nèi)的若干高階模態(tài)決定，因此軸向熱應(yīng)力的影響將不顯著。而非均勻熱環(huán)境造成的材料變化引起了剛度的降低，從整體上降低了固有頻率，因此其對(duì)全頻段的響應(yīng)均將有明顯影響。圖14中的趨勢(shì)雖是基于簡(jiǎn)支邊界條件，但高頻時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)邊界并不敏感，因此上述討論對(duì)于任意邊界具有一般性。

圖14 材料變化與熱應(yīng)力對(duì)固有頻率的影響Fig.14 Influences of material variation and thermal stress on natural frequencies

圖15為不同上表面溫度時(shí)梁的振動(dòng)能量密度分布。分析頻率為4 kHz，=1 000 N/m，上表面溫度分別設(shè)置為30 ℃和500 ℃。

圖15 溫度對(duì)梁上能量密度的影響Fig.15 Influence of temperature on energy distribution of beam

由圖15可見溫度的增加總體上提高了梁上的振動(dòng)能量，同時(shí)在溫度較高時(shí)梁上的能量密度在空間中的衰減更為明顯。這一現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于圖13 所得結(jié)論。隨溫度升高外界激勵(lì)力對(duì)梁的功率輸入增大，因此梁上的總體振動(dòng)能量水平增高，而較小的波長使振動(dòng)能量在空間中的衰減更為明顯。

4 結(jié) 論

通過求解穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程得到了熱梯度下梁的內(nèi)部溫度場(chǎng)，考慮溫度場(chǎng)對(duì)材料物性參數(shù)的改變及產(chǎn)生的熱應(yīng)力，引入物理中性層概念消除軸向拉伸與橫向彎曲變形之間的耦合，進(jìn)而基于歐拉梁理論建立了運(yùn)動(dòng)控制方程，并詳細(xì)推導(dǎo)了能量流模型及其解析解。通過數(shù)值算例將能量流模型與基準(zhǔn)解進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明：

1) 基于無限結(jié)構(gòu)導(dǎo)納得到的功率輸入能較好地評(píng)估外部高頻激勵(lì)對(duì)熱梯度梁的功率流輸入。

2) 與基準(zhǔn)解的對(duì)比表明，建立的能量流模型能以較小的計(jì)算量準(zhǔn)確預(yù)測(cè)熱梯度環(huán)境中的梁在高頻激勵(lì)下的振動(dòng)能量分布情況。

3) 熱梯度環(huán)境對(duì)梁高頻振動(dòng)特性的改變主要是由于結(jié)構(gòu)的材料屬性在非均勻溫度場(chǎng)中產(chǎn)生了變化，而熱應(yīng)力對(duì)高頻振動(dòng)產(chǎn)生的影響較小。

4) 隨外界溫度升高，非均勻熱環(huán)境整體上使熱梯度梁中彎曲波波長變短，外界激勵(lì)力輸入功率增加，從而振動(dòng)能量具有更明顯的空間衰減。