周 琴, 曾 晶

(福建師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 福建 福州 350117)

我們考慮形如

(1)

Schr?dinger方程又稱為Schr?dinger波動方程,最早是由物理學家薛定諤在1926年提出的,是量子力學中最基本的一個方程。Schr?dinger方程的一般形式為

(2)

其中i是虛數(shù)單位,?表示Laplace算子,a(x)表示位勢,Ψ=Ψ(x,t)是一個復值函數(shù),f(x,|Ψ|)是一個非線性項。Floer等[1]在位勢a(x)是有界的,并且有一個非退化臨界點,?充分小的情況下,證明了(2)式的一個駐波解為Ψ(x,t)=u(x)e-iEt/?的形式。將Ψ(x,t)代入(2)式,則u(x)滿足方程(1)。方程(1)對應的能量泛函為

Liu等[8]利用下降流不變集方法研究了如下方程

(3)

得到在正向上下解的條件下至少存在4個解。李鶴等[9]同樣用下降流不變集方法研究了方程(3)在反向上下解(即下文的假設(H1))的條件下至少存在3個解。

本文假設如下：

(-Δ+a)φ≤f(x,φ), (-Δ+a)φ≥f(x,φ),

并且φ、φ都不是方程(1)的解；

(H3)f(x,t)是關于t的增函數(shù)；

(H4) 存在C>0和p∈(2,2*),滿足

由變分思想可知,方程(1)的弱解是其對應的能量泛函J(u)的臨界點。

由此得出主要結論：

定理1 假設(H1)—(H5)成立,則方程(1)至少有3個弱解,其中至少有2個解是非平凡的。

在文獻[2,8-10]的啟發(fā)下,本文利用下降流不變集方法,證明在反向上下解的條件下方程(1)至少存在3個弱解。

1 預備知識

首先給出一些記號：

由于

因此

u+(-Δ)-1(a(x)u-a(x)m-f(x,u))=m, -Δu+a(x)u-a(x)m-f(x,u)=-Δm,

(-Δ+a(x))u-f(x,u)=(-Δ+a(x))m,m=u-(-Δ+a(x))-1f(x,u),

從而J在一點u處的梯度為

J′(u)=u-(-Δ+a(x))-1f(x,u)=u-Au,

(4)

其中Au=(-Δ+a(x))-1f(x,u)。根據(jù)橢圓方程的LP理論及Sobolev嵌入理論,由文獻[2]可知,J′(u)和Au都是H→HLipschitz連續(xù)的,同時也是X→XLipschitz連續(xù)的。

下面介紹一些關于偽梯度算子的基本知識與引理。

設E是Banach空間,f∈C1(E,R),記f′(u)是f在u∈E處的梯度算子,則f′(u)∈E*,其中E*是E的對偶空間。記E0=EK,K={u|u∈E,f′(u)=0}。

定義1[11]算子W：E0→E稱為f的偽梯度算子,如果：

(1)W滿足局部Lipschitz條件;

(2) 對任意u∈E0,(f′(u),W(u))≥(1/2)‖f′(u)‖2;

(3) 對任意u∈E0,‖W(u)‖≤2‖f′(u)‖。

定義3[8]設M和D都是f的下降流不變集,令D?M。令CM(D)={v0|v0∈D或v0∈MD,存在0≤t′

注1:顯然D?CM(D)且CM(D)是M中能夠被D吸收的最大的集合,而且CM(D)是包含在M中且包含D的最小的完全下降流不變集。

下面是關于空間的嵌入問題。

H是Hilbert空間,E是Banach空間,E嵌入H,J(u)是定義在H上的C2-0泛函。對u0′ ∈E,在H和E中考慮如下初值問題

(5)

引理1[5]設M是f的一個下降流不變集,D1、D2?M,D1、D2都是f的下降流不變集,則CM(D1)∩CM(D2)?CM(D1∩D2)。

引理2[12]設M、D1、D2都是f的下降流不變集,且D1、D2?M,若D1∩D2=?,則CM(D1)∩CM(D2)=?。

證明用反證法。若CM(D1)∩CM(D2)≠?,則存在u1∈CM(D1)∩CM(D2),由引理1可知CM(D1)∩CM(D2)?CM(D1∩D2),故u1∈CM(D1∩D2),從而存在t′∈[0,T(u1))使得u(t′,u1)∈D1∩D2,這與D1∩D2=?矛盾,故假設不成立,得證。

注2:在文獻[12]中未給出證明,本文給出證明。

引理3[11]設M是連通的并且是f的下降流不變集,D是M的一個開子集,并且是f的相對于M的完全的下降流不變集。如果D≠M,則?MD(表示D相對于M的邊界)是非空的,并且也是f的相對于M的完全的下降流不變集。

證明由于D1∩D2=?,則由引理2可知,CM(D1)∩CM(D2)=?。由解對初值的連續(xù)相依性可知,CM(D1)和CM(D2)都是M的開子集。由于D2?CM(D2),則CM(D2)≠?,又由M的連通性可知CM(D1)≠M。由引理3可知,CM(D1)在M中的邊界?MCM(D1)是f的相對于M的完全的下降流不變集。

注3: (1)該命題說明若M連通且是f的下降流不變集,存在兩個非空開集D1、D2?M1,D1、D2都是f的下降流不變集且D1∩D2=?,則f至少有3個互不相交的下降流不變集。

(2)該命題的證明過程受文獻[13]的啟發(fā)。

引理4[6]設H是Hilbert空間,F是H上的閉凸子集,J(u)是H上的C1泛函,J′(u)=u-Au,A(?F)?F,則存在f的偽梯度向量場W,使得F是泛函J(u)的由W生成的下降流不變集。

引理9 假設(H4)—(H5)成立,則泛函J(u)在空間H上下方有界且滿足P.S.條件。

從而泛函J(u)在H上下方有界。

下面證明泛函J(u)滿足P.S.條件。由上式可知對任意{un}?H,當J(un)有界時,{un}有界。取{un}的子列,不妨仍記為{un},假設當n→+∞時,un→u。由于當n→+∞時,(J′(un)-J′(u),un-u)→ 0,又由于

(J′(un)-J′(u),un-u)=(J′(un),un)-(J′(un),u)-(J′(u),un)+(J′(u),u)=

a(x)u2-f(x,un)un+f(x,un)u+f(x,u)un-f(x,u)u)dx=

從而根據(jù)條件(H4)及H?lder不等式可知

由定理2可知,對任意的1≤s<2*,H嵌入Ls(Ω)是緊的,則在Ls(Ω)中當n→+∞時,un→u,故當n→+∞時,|un-u|1→0,|un-u|p→0。因此,當n→+∞時,‖un-u‖→0。

2 定理的證明

定理1的證明。令

其中φ、φ是由條件(H1)所定義。

對任意的u1(x)、u1(x)∈D1。任意的α∈[0,1],有

αu1(x)+(1-α)u2(x)>αφ(x)+(1-α)φ(x)=φ(x),

下面證明泛函J(u)有3個臨界點。

(6)

u+λ(-J′(u))=u+λ(-u+(-Δ+a(x))-1f(x,u))=(1-λ)u+λ(-Δ+a(x))-1f(x,u)≥

(1-λ)φ+λ(-Δ+a(x))-1f(x,φ)≥(1-λ)φ+λφ=φ,

接下來證明D1是由J′(u)生成的泛函J(u)的下降流不變集,即對任意u0∈D1,有{u(t,u0)|0≤t