劉延柱

(上海交通大學工程力學系，上海 200240)

1 四元數(shù)與Kustaanheimo–Stiefel變量

1843年愛爾蘭數(shù)學家哈密頓（Hamilton,W.R.）創(chuàng)造了四元數(shù)，1845年英國數(shù)學家凱萊（Cayley, A.）將法國數(shù)學家羅德里格（Rodrigues,B.O.）利用半角公式創(chuàng)造的描述剛體姿態(tài)的4個參數(shù)表達為四元數(shù)形式，使四元數(shù)成為處理剛體有限轉(zhuǎn)動姿態(tài)變化的數(shù)學工具[1]。

經(jīng)典力學中的二體問題有周知的開普勒運動解析解，但存在引力中心處的奇異性，且不適用于有非中心引力出現(xiàn)時的受擾情形[2]。受擾二體運動問題是有推力存在時航天器軌道運動的基礎(chǔ)理論，有重要的實際意義。1906年意大利數(shù)學家列維–奇維塔（Levi–Civita, T.） 提出一種變換能使受擾的平面二體問題的奇異性消除，轉(zhuǎn)換為線性微分方程求解，稱為二體問題的正規(guī)化（regularization）[3]。1964年 庫 斯 坦 海 莫（Kustaanheimo, P.）和斯提費（Stiefel, E.）將Levi–Civita變換擴展至三維空間。他們提出用4個Kustaanheimo–Stiefel變量（以下簡稱K–S變量） 描述點在三維空間內(nèi)的位置，能使受擾二體問題的非線性三維模型實現(xiàn)正規(guī)化[4]。K–S 變量的提出比四元數(shù)晚了一個世紀，所定義的4個參數(shù)也不同于四元數(shù)，但與四元數(shù)有著密切的聯(lián)系和類似的功能。K–S變量并非憑空產(chǎn)生，而是從四元數(shù)直接轉(zhuǎn)換形成。本文敘述此轉(zhuǎn)換過程，以及將K–S 變換應用于二體問題正規(guī)化的數(shù)學推導過程。

2 四元數(shù)如何表達笛卡爾坐標

四元數(shù)是4個標量λk(k=0,1,2,3) 的組合，或視為標量λ0和矢量λ=λ1i+λ2j+λ3k的組合，表示為=λ0+λ。四元數(shù)的乘法運算遵循特殊的規(guī)則，可利用矩陣運算實現(xiàn)。將四元數(shù)組成列陣和方陣，即

用空心圓點o表示四元數(shù)的乘法運算，將四元數(shù)方陣與另一四元數(shù)列陣相乘，即得到二者的乘積。將基矢量i視為λ0=λ2=λ3=0 ，λ1=1的特殊四元數(shù)，令與相乘，得到

令四元數(shù)中的矢量λ變號，稱為原四元數(shù)的 共 軛 四 元 數(shù)，記 作=λ0?λ。令與相乘，得到

乘積列陣由一個零元素和3個非零元素組成。將式（3）中方陣和列陣的第1行轉(zhuǎn)移為第4行，再將方陣的第1列轉(zhuǎn)移為第4列，則乘積結(jié)果變?yōu)?/p>

式（4）與式（3）的區(qū)別僅改變了乘積列陣中元素的順序，使零元素從第1行移至第4行。如令其中3個非零元素與三維空間的笛卡爾坐標x,y,z相等，即可利用四元數(shù)表達點在三維空間中的位置

3 K–S變量與K–S變換

將式（4）左側(cè)列陣的各元素依次改用uk(k=1,2,3,4) 表示，令

將uk(k=1,2,3,4) 稱為K–S變量，令其代替式（4）左側(cè)方陣中的各個元素，得到的方陣記作L(u) ，所排成的列陣記作u，即

L(u) 與u的乘積由笛卡爾坐標x,y,z及零元素構(gòu)成，記作r，即

其中

則x，y，z組成的三維向量被轉(zhuǎn)換為四維向量u。將L(u) 的第4行元素改變符號，在不影響式（8）的乘積情況下，使得第1列與列陣u相同，形式更為整齊。改造后的方陣L(u) 定義為K–S矩陣。

利用四維K–S變量表達點在三維空間中的笛卡爾坐標稱為K–S變換。

4 K–S矩陣的性質(zhì)

K–S矩陣有以下特殊性質(zhì)。

（1）K–S矩陣的第1列等于列陣u。

（2）正交性

其中I為單位陣，r為K–S變量的范數(shù)，與矢徑r=xi+yj+zk的模相等

（3）K–S矩陣的微分等于各元素微分后的矩陣

（4）互易性

若四維函數(shù)u和w滿足雙線性條件

則函數(shù)u和w存在互易性

5 二體問題的正規(guī)化

討論衛(wèi)星與地球組成的二體問題，在動力學方程內(nèi)增加單位質(zhì)量的擾動力p，寫作

其中μ為地球的引力參數(shù)，r為二體的距離。擾動力p以四維向量表示為p=(pxpypz0)T。無擾動時p=0 ，存在能量積分

因橢圓形軌道的積分常數(shù)為負值，增加負號后使常數(shù)E為正值。

將時間變量t置換為新自變量s，滿足

將式（8）和式（12）表示的r和r變換為K–S變量，計算其對s的導數(shù)。以撇號作為對s的導數(shù)符號，利用K–S變量u和u′的互易性（15），導出

上述u與u′的互易性應在滿足雙線性條件（14）的前提下成立，證明過程從略。令r對t求導計算衛(wèi)星的速度v。以點號作為對t的導數(shù)符號，列出

利用正交性（11），導出

代入能量積分（18），得到

有擾動存在但擾動力p遠小于引力時，可近似使用無擾狀態(tài)的能量積分計算該瞬時的密切開普勒軌道，軌道參數(shù)視為時間t的慢變函數(shù)。機械能?E對t的變化率?等于擾動力p的功率。計算?E對s的導數(shù)，將式（22）代入，得到

令式（22）再對t求導計算衛(wèi)星的加速度，其中r′以式（21）代入，得到

令各項左乘LT(u) ，利用式（11）和式（16）簡化，得到

令二體運動方程（17）左乘r3LT(u) ，將式（27）代入，得到

將其中的參數(shù)μ和E′以式（24）和（25）代入，整理后得到正規(guī)化的二體運動方程

其中

除上述二體問題以外，K–S變換也可用于其他引力中心存在奇異性的正規(guī)化問題，例如限制性三體問題[5]。