武際可

(北京大學, 北京100871)

最近，王敏中教授送給我他和他的學生編的一本專著《數(shù)學彈性力學研究的若干進展》。書中收集了幾十年來他和學生們在彈性力學方面最重要的研究論文40篇。

王敏中和我在北京大學力學系同一個教研室共事數(shù)十年，他以往的研究每有新發(fā)現(xiàn)都在一定的范圍或討論班上做報告，所以他的研究方向和成果，我雖然不能說完全熟悉，也略知一二。

這本書一到手，我便忍不住先瀏覽一遍。

作者在序言中說，書中涉及的問題有以下七個方面。

（1）綜述兩篇：彈性通解研究進展，某些數(shù)學方法在彈性力學中的應用；

（2）線性彈性力學問題的通解；

（3）矩陣的廣義逆與應力函數(shù)；

（4）圣維南問題、廣義平面應力問題和Stenberg集中力的弱假設，局部積分方程與中值定理的等價性；

（5） 梁和板的精確化理論；

（6） 某些二維問題裂紋、夾雜和空間等問題的精化解；

（7）多種物理因素（熱、磁、壓電等)作用下，彈性力學問題的通解。

瀏覽過這本書不僅加深了我對王敏中科學研究深度的印象，而且使我對他的研究的重要性有了新的認識。

首先，這本書可以說是王敏中和他的學生們幾十年在彈性力學研究的精華，是幾十年心血的結晶。書中涉及的問題對于彈性力學發(fā)展來說十分重要。如有關二維、三維問題的夾雜，空洞問題的精確解，圣維南問題，彈性力學的基本解問題，多物理場與彈性力學的耦合問題等，這些新研究成果，無論是在理論上還是應用上都是非常重要和值得關注的。

舉例說，彈性力學如果用應力方程來求解，那有三個平衡方程，六個應力協(xié)調方程，一共是九個方程，可是未知量只有六個應力分量。顯然有矛盾。對于這樣一個基礎性的問題，任何上彈性力學課的人都會遇到，但是在以往的各種彈性力學的著作中很少提到，只有鳩津久一郎的著作中認定六個協(xié)調方程不獨立。是王敏中和黃克服把這個問題徹底解決。九個方程中任何六個作為方程，另外三個作為邊條件，一共有84種可能，他們證明了，其中81種可能三個式子作為邊條件在區(qū)域內部也成立。而另外三種情形，作為邊條件的三個式子在區(qū)域內部不成立，并且給出了反例。這個問題的實質是來自彈性力學的協(xié)調方程是不獨立的。六個協(xié)調條件再微商一次就只有三個是獨立的了。像這樣帶基礎性質的問題的解決是可以寫入教科書的。事實上，在我們合作編著的《彈性力學教程（修訂版）》與《彈性力學引論（修訂版）》中都已經介紹了這個結論。

其次，在彈性力學研究的方法論上，本書的特色在于深入研究彈性力學的通解。研究現(xiàn)今存在的彈性力學通解的完備性、各種通解之間的關系、通解用于求解各種有重要意義的彈性力學具體問題以及構造新的通解。

在彈性力學發(fā)展的歷史上，人們求解過許多問題。不過人們特別看重那種用統(tǒng)一的方法來解決一大類問題的研究。早時，法國的圣維南系統(tǒng)解決了彈性柱體的彎曲與扭轉問題，后人稱為圣維南問題。20世紀蘇聯(lián)的科羅索夫與穆斯海里什維里發(fā)展了彈性力學平面問題的復變函數(shù)解法。這兩類問題合起來占了一般彈性力學教材求解問題的大部分。可見人們的重視程度。

彈性力學的基本方程提出后，求解的困難之一就是方程組的未知函數(shù)比較多。于是人們就想辦法用較少的未知函數(shù)來取代原來的方程組，或者把原來方程組中的未知函數(shù)用性質比較清楚的函數(shù)族來表示。沿著這一思路最早的結果就是艾里應力函數(shù)的引進，由于它，能夠將沒有體力的平面彈性力學問題化歸為求解雙調和方程的邊值問題。其實上文提到的平面彈性力學問題的復變函數(shù)解法也是一類通解的應用。后來，對于三維問題的平衡方程有麥克斯韋、莫拉（Morera）和謝法（Schaefer）應力函數(shù)的引進；對于用位移表示的彈性力學拉梅平衡方程，有帕珀科維奇用四個調和函數(shù)表示位移的通解，還有用三個雙調和函數(shù)表示位移的伽遼金通解；再后來又有對于各向異性材料彈性力學的胡海昌通解，王敏中自己又于1996年和2001年分別提出了橫觀各向同性彈性力學通解和各向異性彈性力學通解。

面對積累了一百多年的眾多通解，王敏中教授很自然地向自己提出了問題：它們都是完備的嗎，即相應方程組的任何解都能夠用通解表達出來嗎（帕珀科維奇與伽遼金通解的完備性已有人證明）？為什么有多種通解，不同的通解之間有什么關系？

經過多年的積累和努力，這些問題都被王敏中教授一一解決。并且最后給出一篇綜述性的文章《Recent general solutions in linear elasticity and their applications》（附有二百多篇參考文獻）。

王敏中的研究把百年來關于彈性力學通解的眾多的研究結果提升到一個新的階段。他打通了各種通解之間的聯(lián)系，統(tǒng)一解決了通解的完備性問題，為通解的應用奠定了堅實的理論基礎。因此美國加利福尼亞州伯克利分校的力學家徐皆蘇教授這樣評價王敏中的工作：“為建立幾個著名解之間的關聯(lián)，他做了大量統(tǒng)一工作，我認為在這個領域中，他是當代世界上最有學識者之一?！?/p>

彈性力學經過二百多年的發(fā)展，不會把能夠求解的問題僅限于圣維南問題和平面問題?？梢灶A料，未來彈性力學的三維問題，會引起更多的關注。而求解三維問題，也會像平面問題一樣，通解將是最重要的工具。事實上，本書涉及的三維問題解，如夾雜問題，空洞問題都是借助于通解解決的。因之可以說，王敏中和他的學生們的工作，在彈性力學通解及其應用的發(fā)展來說是具有里程碑意義的工作。

我前面說的本書的這兩個特點，是有相當難度和重要性的工作。王敏中之所以能夠做到，是和他的經歷和獨到的興趣有關。具體來說有以下三點。

（1）厚實的基礎。王敏中是1962年經過北大數(shù)學力學系六年學習畢業(yè)留校的。北大數(shù)學力學系教學本來就重視基礎教學，他們那一屆又是六年制，基礎就更扎實。這還不算，留校后，王敏中一直作基礎課輔導教員，先后兩次輔導數(shù)學分析，兩次輔導理論力學，還輔導了一次解析幾何。當時北大數(shù)學力學系的數(shù)學分析和理論力學都是兩年的課，兩門課輔導兩次就是八年，再加輔導解析幾何，后來又遇上“文化大革命”，所以大約留校二十年沒有作為主講教師，一直是輔導助教。要是換作別人，早就不干了，會遠走高飛。而王敏中不一般，利用作輔導教員的條件大量做題的優(yōu)勢，把基礎打得格外扎實。這還不算，他利用輔導課和“文革”的空閑時間，自修泛函分析、完整地鉆研穆斯海里什維里的《數(shù)學彈性力學的若干問題》專著。這樣，他的數(shù)學和彈性力學基礎，至少在北大力學系是無人能及的了。

所以王敏中是在他留校工作二十年之后才發(fā)表彈性力學方面的論文的。他在研究上可以說是大器晚成，不鳴則已，一鳴驚人。

（2）專注于基本理論問題。王敏中進入彈性力學研究的時候，正值固體力學有限單元法傳入中國的時候。整個力學界一窩蜂地涌向數(shù)值方法，各種數(shù)值方法的論文、學術會議和專著大量出現(xiàn)。而且說實在的，用計算機算題出論文比起做實驗和探討理論問題要快。即使是在一直比較重視基礎理論的北京大學力學系也是這樣。在這種風氣之下，專注于理論研究的人少之又少。王敏中就是一個。國內力學界的這種情形，使他和他的學生的研究在國內知音很少，和者寥寥，反而得到國外同行中有名的教授的肯定?，F(xiàn)在科學出版社出版這本專著，為讀者能夠集中地了解他們幾十年的工作，提供了方便的條件。

周培源先生說過，做學問，認準了就要堅持下去。王敏中正是這樣，堅持就是勝利。

（3）關注世界權威的工作，敢于向權威挑戰(zhàn)。從研究工作一開始，王敏中就瞄準彈性力學中的難題展開工作。特別關注在這一領域中大師的工作。他引用華羅庚先生的話說：“弄斧就要到班門”。這是對“班門弄斧”反其意的說法。即，要推敲名人做過的題目，有沒有問題、能不能改進、能不能推廣，并且將得到的結果與名人交流研討。也就是說敢于挑戰(zhàn)名人，要有超過名人的欲望。俄羅斯有諺語“照著星星打槍，總比照著樹梢打得高?！本褪沁@個意思。

正是持這樣的做學問的態(tài)度，他才能把錢偉長關于彈性柱體的條件減弱，得到錢偉長的認可，并且說這是最弱的條件。正是持這種做學問的態(tài)度，他和研究生發(fā)現(xiàn)蘇聯(lián)著名學者魯里葉的專著《三維彈性力學問題》中的錯誤，并加以改正。也正是持這樣的做學問的態(tài)度，他和學生發(fā)展了著名的Eshelby嵌入橢球核問題，提出在算術平均意義之下的夾雜問題。以上介紹的關于通解的相互關系問題的解決，也可以說是世界上大師們一直想解決而未能解決的問題。

所以，這本書出版很有價值，它不僅使我們了解到王敏中和他的學生們這幾十年在彈性力學領域中解決了哪些重要問題，它們的學術價值還可以使我們窺見王敏中和他的研究生們做學問的態(tài)度、他們的基礎、解決問題的方法和技巧。

所以，我覺得凡是對彈性力學有興趣的人都應當讀一讀這本書，至少值得挑選幾篇有興趣的文章，認真讀一讀。