荊苗苗，李曉航

(上海工程技術大學 電子電氣工程學院,上海 201600)

0 引 言

在大多數(shù)控制策略中，例如滑?？刂芠1-2]，自適應控制[3]和其他一些控制方法[4]，準確地估計系統(tǒng)狀態(tài)非常重要。然而，對于大多數(shù)系統(tǒng)來說，狀態(tài)的測量是困難的。因此，具有未知輸入系統(tǒng)的觀測器設計(通常稱為未知輸入觀測器(UIO))是現(xiàn)代控制理論中討論最重要和最有意義的問題之一。此外，基于混沌的安全通信設計中的外部干擾，執(zhí)行器故障或保密通信中的有效信息都可以視為系統(tǒng)的未知輸入。因此，未知輸入觀測器在許多領域都有著重要的應用價值，包括容錯控制設計，故障診斷和隔離以及基于混沌同步的安全通信等[5-8]。自從20世紀70年代未知輸入觀測器被提出以來，已經(jīng)受到了學者們廣泛的關注，并提出了很多設計方法[9-12]。例如，文獻[9]在觀測器匹配條件不滿足的前提下，基于構造輔助輸出的方法，提出一種狀態(tài)和未知輸入同時估計的未知輸入觀測器設計方法。文獻[10]針對過程和測量中均出現(xiàn)未知輸入的線性連續(xù)系統(tǒng)，提出了一種全階PI觀測器，不僅可以估計出系統(tǒng)狀態(tài)，還可以估計未知的輸入。文獻[11]考慮具有未知輸入不匹配的線性系統(tǒng)，通過引入未知輸入建模來解耦不匹配的未知輸入。

馬爾科夫跳變系統(tǒng)(Markov jump systems，MJS)是由幾個子系統(tǒng)或模態(tài)組成，這些子系統(tǒng)或模態(tài)可以從一種模態(tài)隨機切換到另一種模態(tài)。在實際應用中，馬爾科夫跳變系統(tǒng)可以用來描述由系統(tǒng)受到外界干擾、元件故障或維修、突發(fā)環(huán)境因素干擾導致的隨機突變的情況。目前，馬爾科夫跳變系統(tǒng)在制造業(yè)控制系統(tǒng)、容錯系統(tǒng)、航空航天等領域得到了廣泛的應用，并且在穩(wěn)定性分析[13]，控制器設計[14-15]，故障診斷和容錯控制[16]等方面取得了大量的研究成果。

集員估計可以有效地處理未知但有界的不確定性帶來的影響[17]。常用的幾何體有區(qū)間、橢球、平行多面體和中心對稱多胞體(zonotope)，其中基于中心對稱多胞體的方法因其計算量小，保守性低，從而吸引了很多學者的關注[18-21]。文獻[17]研究了集員估計在故障診斷和容錯控制上的應用；文獻[18]提出了一種將未知輸入觀測器與集員方法相結合進行魯棒故障診斷的方法，通過解耦部分未知輸入對狀態(tài)估計大小的影響，從而降低魯棒狀態(tài)估計的保守性。此外，文獻[19]提出了一種基于zonotope的動態(tài)系統(tǒng)集成員方法，其中在求解凸優(yōu)化問題時，每個樣本區(qū)域的體積都達到最小。實際上，系統(tǒng)由于建模的不確定性、未知擾動以及測量噪聲的存在，會降低故障診斷的準確性，從而造成一些無法估量的結果，而集員估計可以通過假設干擾和噪聲有界，利用幾何體近似可行集來有效地處理由魯棒估計產(chǎn)生的誤差，因此，本文考慮使用集員估計方法來估計誤差的區(qū)間，從而提供可靠的估計信息。

本文研究了離散馬爾科夫跳變系統(tǒng)在僅知道部分轉移概率邊界的情況下的狀態(tài)區(qū)間估計問題。首先，提出了一種新的狀態(tài)轉移概率，其中每個轉移概率值是未知的，或者邊界是已知的。在此基礎上，提出了一種降維未知輸入觀測器的設計方法，分析系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性能并給出觀測器存在的充分條件。與已有的Markov跳變系統(tǒng)分析方法相比，本文所提出的方法更具有一般性和實用性。然后通過中心對稱多胞體計算出狀態(tài)的區(qū)間估計，所求得的系統(tǒng)的狀態(tài)值更加準確。最后，通過數(shù)學仿真，驗證了該方法的有效性。

符號說明：對于矩陣A，AT和A⊥代表矩陣A的轉置矩陣和正交補，A>0(A<0)表示矩陣A為正定(負定)矩陣，He(A)用來表示He(A)=A+AT。文中的星號*表示對稱矩陣中相應位置的轉置。

1 系統(tǒng)模型

考慮具有未知輸入的線性離散時間馬爾科夫跳變系統(tǒng)，即

(1)

(1)式中：xk∈Rn；uk∈Rm；yk∈Rp分別為狀態(tài)，輸入和輸出向量。dk∈Rq為未知輸入。矩陣A(rt)∈Rn×n,B(rt)∈Rn×m,D(rt)∈Rn×q和C(rt)∈Rp×n為適當維數(shù)的矩陣。{rk,k≥0}是在有限集R={1,2,…,N}內的離散時間狀態(tài)的馬爾科夫過程，具有如下狀態(tài)轉移概率，即

Pr(rk+1=j|rk=i)=πij

(2)

在本文中，假設系統(tǒng)的一部分轉移概率是可量測的，因此，轉移概率矩陣∏的形式為

(3)

定義1一個m維中心對稱多胞體Z?Rn是超立方體Bm=[-1,1]m在R中的映射,即

Z=p⊕HBm={p+Hz:z∈Bm}

(4)

(4)式中：⊕表示閔可夫斯基和，常向量p∈Rn稱為Z的中心，H∈Rn×m稱為Z的生成矩陣，為了簡化，本文用〈p,H〉來描述中心對稱多胞體Z。

性質1在中心對稱多胞體的運算中，有如下性質：

〈p1,H1〉⊕〈p2,H2〉=〈p1+p2,[H1H2]〉

Le〈p,H〉=〈Lp,LH〉.

性質2對于中心對稱多胞體Z，包圍它的最小間隔向量可以由Box(S)=[a,b]表示，其計算方式為

(5)

(5)式中：Hij是第i行第j列的元素。

為降低中心對稱多胞體的維數(shù)，本文采用文獻[22]中提到的一種約化算子方法，將中心對稱多胞體的階數(shù)降低到一個范圍內。定義降階后的中心對稱多胞體為Res(H)，(6)式成立。

Z=〈p,H〉?〈p,Res(H)〉

(6)

(6)式中：Res(H)∈Rn×l是由文獻[22]提出的降階方法獲得的新生成的矩陣，n≤l≤m是中心對稱多胞體的最大階數(shù)。

假設1不失一般性，假設系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量初值，未知輸入均為未知但有界，且滿足

(7)

定義2[23]對于uk≡0，dk≡0，以及任意初始條件x0∈in和r0∈R，有

(8)

(8)式中：E表示數(shù)學期望，則系統(tǒng)(1)是隨機穩(wěn)定的。

引理1(Finsler引理)[24]對向量x∈Rn，矩陣L∈Rn×n和U∈Rn×m，以下描述等價：

①xTLx<0，?x≠0，U⊥x=0；

②U⊥L(U⊥)T<0；

③?Y∈Rm×n使得L+UY+YTUT<0；

其中，U⊥為任意滿足U⊥U=0的矩陣。

2 降維觀測器設計

針對系統(tǒng)(1)，本節(jié)將提出一種離散時間Markov跳變系統(tǒng)的降維觀測器設計方法，考慮系統(tǒng)(1)，當rk=i，系統(tǒng)模型表示為

(9)

(9)式中：A(rt)、B(rt)、C(rt)、D(rt)分別由Ai、Bi、Ci、Di表示。

分解系統(tǒng)向量xk=[x1(k)x2(k)]T,其中，x1(k)∈Rp。同時分解(3)中的系數(shù)矩陣

(10)

(11)

(10)—(11)式中：Ai,11∈Rp×p,Bi,1∈Rp×m,Di,1∈Rp×q。

不失一般性，假設Ci=[Ip0]，可以得到

θ1(k)=x1(k)=y(k)

(12)

θ2(k)=[KiIn-p]x(k)=Kix1(k)+x2(k)=

Kiy(k)+x2(k)

(13)

由(13)式可知

θ2(k+1)=[KiIn-p]xk+1=

(KiAi,12+Ai,22)θ2(k)+

[(KiAi,11+Ai,21)+Ki(Ai,22-KiAi,12)]y(k)+

(KiBi,1+Bi,2)u(k)+(KiDi,1+Di,2)d(k)

(14)

設計如下降維觀測器系統(tǒng)：

(15)

(KiAi,12+Ai,22)ek+(KiDi,1+Di,2)dk

(16)

3 主要結論

考慮運用魯棒方法對系統(tǒng)(1)進行H∞性能分析。有如下定理。

定理1如果對于給定標量γ>0，η和矩陣Gi∈R(n-p)×(n-p)，Wi∈R(n-p)×(n-p)，使得對于?i∈S，下列線性矩陣不等式成立：

(17)

(18)

(17)—(18)式中：

KiAi,12)};

φ2=ηGi(Di,2+KiDi,1);

δ1=-Pi+I+He{ηGi(Ai,22+KiAi,12)};

δ2=ηGi(Di,2+KiDi,1);

(19)

將(16)代入(19)可得

E[ΔV(ek,rk)]≤

(20)

(21)

(21)式中：

在零初始條件下，針對系統(tǒng)(3)，考慮以下函數(shù)，并引入如下的H∞性能指標γ，定義函數(shù)

通過計算，進一步可得

(22)

(22)式中：

(23)

(24)

則

如果有Ωi,1<0和Ωi,2<0，可得

(25)

(26)

(25)—(26)式中：

根據(jù)引理1，(25)式和(26)式等價于存在矩陣Gi使得下式成立

(27)

(28)

定義

(29)

將(29)分別代入(27)和(28)式，可以得到

(30)

(31)

(30)—(31)式中：

φ2=ηGi(Di,2+KiDi,1)；

δ1=-Pi+I+He{ηGi(Ai,22+KiAi,12)}；

δ2=ηGi(Di,2+KiDi,1)；

注意GiKi=Wi.

(30)式、(31)式分別等價于(23)式、(24)式。由此，可以得到J≤V(e0,r0)，即在零初始條件下J≤0。定理1證明結束。

在得到狀態(tài)的估計后，定理2通過zonotope理論給出誤差e(k)的上下界，然后可以通過以下方式計算狀態(tài)的準確間隔：

(32)

(33)

(33)式中：h=1,2,…,n,j=1,2,…,s，s是Hi(k)的列，Hi(k)滿足如下遞歸方程

ex(0)∈〈0,H0〉

由性質1和誤差系統(tǒng)(16)可以推導出

e(k+1)∈Λ(k+1)=

(KiAi,12+Ai,22)⊙〈0,Hi(k)〉⊕

(KiDi,1+Di,2)⊙〈0,Hd〉

從而有

e(k+1)∈Λ(k+1)=〈0,(KiAi,12+

Ai,22)Hi(k)〉⊕〈0,(KiDi,1+Di,2)Hd〉=

〈0,[(KiAi,12+Ai,22)Hi(k) (KiDi,1+Di,2)Hd]〉

以此類推，可以得到

Λ(k+1)=

即Λ(k+1)=〈0,Hi(k+1)〉, 其中，

根據(jù)定義1和性質2，可以得到誤差e(k)的邊界為

(h=1,2,…,n)

(34)

(34)式中：e(k)+，e(k)-代表e(k)的上界和下界。因此，狀態(tài)的區(qū)間估計計算如下

(35)

定理2證明結束。

4 仿 真

為了證明本文所提方法的有效性，考慮如下具有2個模態(tài)的數(shù)值Markov跳變系統(tǒng)，相關參數(shù)為

根據(jù)定理1，可以求得

P1=15.105 8,P2=172.581 1,

K1=-2.141 3,K2=-1.598 5,

W1=-106.359 7,W2=-92.423 5。

圖1 本文與文獻[15]的結果對比Fig.1 Comparison of the results in [15] with this paper

圖2 本文與文獻[15]的結果對比Fig.2 Comparison of the results in [15] with this paper

P1=1.396 1,P2=10.361 0,

K1=-1.960 3,K2=-0.747 5,

W1=-7.134 3,W2=-3.056 7。

仿真結果如圖3—圖4所示。由圖3—圖4可知，本文所提出的方法可以很好地適用于部分已知轉移概率的MJS，具有一般性和實用性。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1及其上下界的估計Fig.3 System state x1and estimation of its upper and lower bounds

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2及其上下界的估計Fig.4 System state x2and estimation of its upper and lower bounds

5 總 結

本文針對存在未知輸入的線性離散系統(tǒng)，設計了一種基于未知輸入的降維觀測器。首先通過李亞普諾夫函數(shù)使設計的降維觀測器是可行的，基于中心對稱多胞體理論表示系統(tǒng)狀態(tài)的區(qū)間估計，并利用中心對稱多胞體的性質來處理未知輸入的不確定性。然后通過所設計的降維觀測器估計出系統(tǒng)狀態(tài)的上下邊界。最后，通過一個數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。本文所提出的區(qū)間估計方法，由于中心對稱多胞體的計算量小，保守性低，使得系統(tǒng)的狀態(tài)估計更加準確。但是本文只研究了線性離散系統(tǒng)的區(qū)間估計方法，如何將本文所提出的方法推廣到更具一般性的非線性系統(tǒng)中，是下一步要研究的方向。