李洪興

(1. 北京師范大學(xué)珠海校區(qū) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 珠海 519085; 2. 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

1 隨機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的背景

考察圖1所示的單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量x在輸入論域X中取值,輸出變量y在輸出論域Y中取值.如果該系統(tǒng)S是個(gè)確定性系統(tǒng),可以采用常規(guī)方法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型(如用機(jī)理建模法建立微分方程模型),再用解析方法或數(shù)值方法獲得該模型的解y(x),這樣則認(rèn)為已經(jīng)掌握了該系統(tǒng).這時(shí)該系統(tǒng)S可以簡單地理解為一個(gè)函數(shù)關(guān)系,記為s,即

圖1 單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)

s:X→Y,xy?s(x).

(1)

這樣,可以將該系統(tǒng)形式化地記為s=S(X,Y).

(2)

用隨機(jī)的觀點(diǎn)看上述問題有這樣的含義,在X中隨機(jī)抽取一點(diǎn)x丟入系統(tǒng)S的輸入通道,進(jìn)入系統(tǒng)后,在系統(tǒng)的輸出通道應(yīng)有一個(gè)輸出y(x)與之對(duì)應(yīng),但y(x)在Y中取哪一個(gè)元素?zé)o法預(yù)先知道,這意味著對(duì)該系統(tǒng)S來說存在兩個(gè)隨機(jī)變量ξ和η,它們分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度.

其中φ取自一類Borel可測函數(shù)空間.熟知,條件數(shù)學(xué)期望即可滿足此要求[1],即應(yīng)置

(4)

注 1.1根據(jù)(4)式,要證(3)式當(dāng)且僅當(dāng)證明:對(duì)于上述任何Borel可測函數(shù)φ,均有

事實(shí)上,

E[(η-φ(ξ))2]=

E{[(η-E(η|ξ))+(E(η|ξ)-φ(ξ))]2}=

E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]+

2E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))].

顯然有E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))]=0,從而

E[(η-φ(ξ))2]=

E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]≥

ξ:Ω→R， (x,y)ξ(x,y)?ξ(x),

η:Ω→R， (x,y)η(x,y)?η(y),

這樣,(ξ,η)便成為聯(lián)合概率空間(Ω,F,P)上的二維隨機(jī)向量.這時(shí),任取x∈X,當(dāng)ω∈{ω∈Ω|ξ=x}時(shí)有

(5)

如果掌握(ξ,η)的全部概率信息,特別能知道(ξ,η)的概率密度f(x,y),則(5)式從形式上變?yōu)榫唧w可操作的計(jì)算式

(6)

這里自然要求?x∈X,滿足條件

顯然在實(shí)際計(jì)算中,(6)式應(yīng)為

(7)

(8)

2 單輸入單輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理意義

為了方便,須明確幾個(gè)概念.給定某個(gè)論域X,A={Ai|1≤i≤n}為X上的一族正規(guī)Fuzzy集,即?i∈{1,2,…,n},有?xi∈X使得μAi(xi)=1,其中xi叫做Ai的峰點(diǎn);當(dāng)然,峰點(diǎn)不必唯一.A為X的一個(gè)Fuzzy劃分,如果滿足條件

(9)

不難驗(yàn)證具有這樣特性的Fuzzy集滿足Kronecker性質(zhì)[4-6]

μAi(xj)=δ

此外,為了證明下面的主要定理,先給出3個(gè)引理.這3個(gè)引理均與含參積分有關(guān).

引理 2.1設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,對(duì)于如下的含參積分

來說必有這樣的結(jié)論：任意取定ε>0,總存在一個(gè)與參數(shù)x無關(guān)的公共的δ>0,使得對(duì)于Y的任意劃分a2=y0

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,

其中

Δyi?yi-yi-1,i=1,2,…,n,

且ξi在[yi-1,yi]中任取.

證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,….可證一定存在一個(gè)k使δ=δk滿足該引理的結(jié)論.若不然,則對(duì)每個(gè)k,存在xk∈X,并存在Y的劃分

a2=y(k)0

λk?max{Δy(k)i|i=1,2,…,nk}<δk,

但|I(x注意{xk}為有界點(diǎn)列,必有收斂的子序列{xkj},使得

xkj→x*∈X，j→∞.

注意到δkj→0(j→∞),有

這是明顯的矛盾,這便證明了該引理.

引理 2.2設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,對(duì)于如下含參積分

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ?

證明首先,注意到

因此存在I(x)的最小點(diǎn)x0∈X,使得有

I(x)≥I(x0), ?x∈X.

取ε=I(x0),由引理2.1知,存在δ>0,使得對(duì)于Y的任意劃分

a2=y0

λ<δ?

這時(shí)有

I(x0)-ε=0

對(duì)一切x∈X一致地成立,故該引理的結(jié)論為真.

根據(jù)引理2.2并采用類似引理2.1的證明方法立即可以得到下面的引理2.3.

引理 2.3設(shè)f(x,y)為X×Y上的二元連續(xù)函數(shù),其中

X=[a1,b1],Y=[a2,b2]

均為有限實(shí)區(qū)間,滿足條件

任意取定ε>0,總存在一個(gè)與參數(shù)x無關(guān)的公共的δ>0,對(duì)于Y的任意劃分

a2=y0

只要λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,則對(duì)所有x∈X一致地成立

其中Δyi?yi-yi-1,且ξi在[yi-1,yi]中任取.

定理 2.1任意給定一個(gè)連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間.如果?x∈X有

則存在一組Fuzzy推理規(guī)則：

IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n,

(10)

證明作區(qū)間Y上的劃分

P:a2=y0

記γ?(y1,y2,…,yn),以及

Δyi=yi-yi-1,i=1,2,…,n,

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n},

于是

其中已經(jīng)規(guī)定

μ

(11)

根據(jù)劃分P構(gòu)造n+1個(gè)Y上的Fuzzy集Bj,j=0,1,…,n,要求諸Bj組成Y的一個(gè)Fuzzy劃分且在Y上連續(xù).這相當(dāng)于把諸清晰點(diǎn)yj,j=0,1,…,n模糊化,比如Bj可取“三角波”型隸屬函數(shù)[7-9](見圖2)：

圖2 由Bj形成的一組Fuzzy 劃分

μ

μ

j=1,2,…,n-1;

μ

再構(gòu)造Ai(i=1,2,…,n)如下

μAi(x)?f(x,y

(12)

置A?{Ai|1≤i≤n},B?{Bi|1≤i≤n},視A、B為語言變量,它們分別在自身中取值,于是可形成Fuzzy推理規(guī)則組(10)式,將按CRI算法來構(gòu)造一個(gè)Fuzzy系統(tǒng),過程如文獻(xiàn)[10].

首先由(10)式中第i條Fuzzy推理規(guī)則形成一個(gè)X×Y上的Fuzzy關(guān)系Ri?Ai×Bi,隸屬函數(shù)為

?(x,y)∈X×Y,

μRi(x,y)=μAi(x)∧μBi(y).

?(x,y)∈X×Y,

μ

任取A∈F(X),通過R應(yīng)獲得Fuzzy推理結(jié)果B∈F(Y),這相當(dāng)于由Fuzzy關(guān)系R誘導(dǎo)一個(gè)從F(X)到F(Y)的Fuzzy變換,記為“°”,即

°:F(X)→F(Y),AB=°(A)?A°R.

隸屬函數(shù)規(guī)定為:?y∈Y,

μ

(13)

對(duì)任意指定的輸入x′∈X,為能使用(13)式,需將x′Fuzzy化,可以規(guī)定單點(diǎn)Fuzzy集A′∈F(X):

μA′(x)?χ{x′}(x).

(14)

代入(13)式得到Fuzzy推理結(jié)果B′∈F(Y):?y∈Y,

μ

(15)

B′是個(gè)Fuzzy集,故需經(jīng)清晰化方法得到確切的量y′∈Y.由(15)式易知μB′(y)在Y上分段連續(xù),故滿足條件:

μ

μAi0(x′)∧μBi0(y),

由此可知,μBi0(y)=0,a.e.,這與諸Bj為連續(xù)的正規(guī)Fuzzy集的規(guī)定相沖突.這樣一來,可令

根據(jù)引理2.2有

?δ3>0,λ<δ3??x∈X,

注意(16)式的Riemann和并注意Bi滿足Kronecker性質(zhì),有

(17)

其中已置

μ

從(17)式及引理2.3知?δ4>0,使得δ4<δ3,當(dāng)λ<δ4時(shí),對(duì)所有的x∈X一致地有

這樣一來可取δ=min{δ2,δ4}并注意(11)式,當(dāng)λ<δ時(shí),對(duì)所有的x∈X一致地有

注 2.1在定理的證明中,構(gòu)造Fuzzy集Ai采用了(12)式.其實(shí)亦可采用下式

μAi(x)?f(x,yi)/M,i=1,2,…,n,

(18)

其中

M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

這時(shí)同樣可以證明該定理,證明細(xì)節(jié)從略.不過定理3.1的證明使用了這種證法.

如果取r2=0.5,a1=0,a2=0,σ1=0.5,σ2=1.5,則上式為

根據(jù)3σ原則,X與Y可近似地取為有限區(qū)間,如X按6σ1取有限區(qū)間[-3,3],Y按4σ2取有限區(qū)間[-6,6],根據(jù)定理2.1有

其圖像見圖3.

圖3 連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的輸出曲線圖像

圖4 Fuzzy集Bj的隸屬函數(shù)

諸μAi(x)的表達(dá)式如(12)式

μ

其圖像見圖5.

圖5 Fuzzy集Ai的隸屬函數(shù)

來計(jì)算

圖6 Fuzzy系統(tǒng)的輸出曲線

圖7 h=1時(shí)與的比較

y0=-6,y1=-5.5,y2=-5, …,y24=6.

圖8 h=0.5時(shí)與的比較

圖9 h=0.1時(shí)與的比較

3 雙輸入單輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy 推理表示

考慮圖10所示的雙輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量x與y分別在輸入論域X和Y中取值,輸出變量z在輸出論域Z中取值.如果該系統(tǒng)S是個(gè)確定性系統(tǒng),可用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型(如偏微分方程模型),再用某種方法獲得解z(x,y)后,則認(rèn)為掌握了該系統(tǒng).這時(shí)該系統(tǒng)S可以理解為一個(gè)二元函數(shù)關(guān)系,仍記為s,即

圖10 雙輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)

s:X×Y→Z，

(x,y)z?s(x,y).

(19)

于是該系統(tǒng)可記為s=S(X×Y,Z).

當(dāng)S是一個(gè)不確定性系統(tǒng)時(shí),雖然很難得到“準(zhǔn)確的”函數(shù)關(guān)系(19),卻常?？梢栽O(shè)法獲得一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系

(x,y)

(20)

設(shè)X、Y、Z均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,ξ、η、ζ分別為定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上的隨機(jī)變量,其中B1、B2、B3分別為X、Y、Z上的Borelσ-域,P1、P2、P3分別為B1、B2、B3上的概率測度,取Ω?X×Y×Z以及

F?B1×B2×B3,P?P1×P2×P3,

其中F為B1、B2、B3的卡氏積生成的Borelσ-域,P為乘積概率測度.這樣便得到聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號(hào),重新把ξ、η、ζ定義為Ω上的隨機(jī)變量:

ξ:Ω→R，

(u,v,w)ξ(u,v,w)?ξ(u),

η:Ω→R，

(u,v,w)η(u,v,w)?η(v),

ζ:Ω→R，

(u,v,w)ζ(u,v,w)?ζ(w).

這樣(ξ,η,ζ)便成為聯(lián)合概率空間(Ω,F,P)上的三維隨機(jī)向量.任取(x,y)∈X×Y,當(dāng)

ω∈{ω∈Ω|ξ=x,η=y}

時(shí),可令

(21)

假如能知道(ξ,η,ζ)的連續(xù)概率密度f(x,y,z),那么條件數(shù)學(xué)期望(21)式具體化為

(22)

這里要求?(x,y)∈X×Y,滿足

(23)

為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個(gè)引理.

引理 3.1設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,對(duì)于含雙參積分

來說必有這樣的結(jié)論:任意取定ε>0,總存在一個(gè)與參數(shù)(x,y)無關(guān)的公共的δ>0,對(duì)于Z的任意劃分

a3=z0

只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,那么I(x,y)的Riemann和必滿足條件:

對(duì)所有的(x,y)∈X×Y一致地成立,其中,Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n)且ξi在[zi-1,zi]中任取.

證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,…,可證一定存在一個(gè)k使δ=δk滿足該引理的結(jié)論.事實(shí)上,倘若不然,則對(duì)每個(gè)k,存在(xk,yk)∈X×Y,并存在Z的劃分

a3=z(k)0

|I(xk,y

注意{(xk,yk)}中{xk}為有界點(diǎn)列,必有收斂的子序列{xkj},使得xkj→x*∈X(j→∞).另外{ykj}也為有界點(diǎn)列,故也有收斂的子序列{ykjp},使得

ykjp→y*∈Y,p→∞.

注意到δkjp→0(p→∞),有

0<ε≤

這是明顯的矛盾,從而該引理的結(jié)論正確.證畢.

引理 3.2設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,對(duì)于含雙參積分

來說,如果?(x,y)∈X×Y有I(x,y)>0,則存在δ>0,使得對(duì)于Z的任意劃分：

a3=z0

λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ?

其中Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n).

證明思路如同引理3.1,從略.此外,還有類似引理2.3的下述引理.

引理 3.3設(shè)f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續(xù)函數(shù),其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實(shí)區(qū)間,滿足條件

任意取定ε>0,總存在一個(gè)與參數(shù)(x,y)無關(guān)的公共的δ>0,對(duì)于Z的任意劃分

a3=z0

只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,便對(duì)所有(x,y)∈X×Y一致地成立

其中,Δzi=zi-zi-1,i=1,2,…,n,并且ξi在閉區(qū)間[zi-1,zi]中任取.

則存在一組Fuzzy推理規(guī)則

If(x,y)isDithenzisCi,

i=1,2,…,n,

(25)

證明作區(qū)間Z的一個(gè)劃分：

a3=z0

記Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n),以及

λ=max{Δzi|i=1,2,…,n},

由此得到兩個(gè)Riemann和:

由該定理?xiàng)l件及引理3.2,?δ1>0,當(dāng)λ<δ1時(shí)有

于是

其中已經(jīng)定義

μDi(x,y)?f(x,y,zi)/M,

(26)

這里

M?max{f(x,y,z)|(x,y,z)∈X×Y×Z},

μ

任意指定一個(gè)逼近精度ε>0,因f(x,y,z)連續(xù),故由引理3.3,?δ2>0,使得δ2<δ1,當(dāng)λ<δ2時(shí),對(duì)所有的(x,y)∈X×Y一致地有

利用分點(diǎn)zj(j=0,1,…,n)構(gòu)造n+1個(gè)Z上的Fuzzy集Cj(j=0,1,…,n),使得它們?cè)赯上連續(xù)且組成Fuzzy劃分,比如仍可用“三角形”模糊化方法(參考圖2).置

D={Di|1≤i≤n},

C={Ci|1≤i≤n},

視D、C為語言變量,可形成Fuzzy推理規(guī)則組

If(x,y)isDithenzisCi,

i=1,2,…,n.

(27)

μRi(x,y,z)=μDi(x,y)∧μCi(z).

μ

任取D∈F(X×Y),通過R應(yīng)獲得Fuzzy推理結(jié)果C∈F(Z),這里C?D°R,即

μ

對(duì)任何(x′,y′)∈X×Y,先作 Fuzzy化

μD′(x,y)?χ{(x′,y′)}(x,y),

再代入(28)式得推理結(jié)果C′∈F(Z),

μC′(z)=μR(x′,y′,z)=

易知μC′(z)>0.令

(29)

?(x,y)∈X×Y

及引理3.2,?δ3>0,當(dāng)λ<δ3時(shí)有

?(x,y)∈X×Y.

注意(29)式的Riemann和,并注意Ci滿足Kronecker性質(zhì),有

μ

再由引理3.3,?δ4>0,使得δ4<δ3,當(dāng)λ<δ4時(shí),對(duì)所有的(x,y)∈X×Y一致地有

注 3.1在定理的證明中,構(gòu)造Fuzzy集Di采用了(26)式.其實(shí)亦可采用下式

μ

(30)

按(30)式同樣可以證明該定理,證明細(xì)節(jié)從略.不過定理2.1的證明使用了這種證法.

例 3.1給定連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

X=Y=Z=[0,2π],

根據(jù)定理3.1有下式(其圖像見圖11):

圖11 連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的輸出曲面

z0=0,z1=0.2π,z2=0.4π, …,

z9=1.8π,z10=2π,

然后作Fuzzy集Ci(i=0,1,…,10),見圖12.

圖12 Fuzzy集Ci的隸屬函數(shù)曲線

諸Di(x,y)的表達(dá)式(26)式

μ

其中M=1/4π3,Di(x,y)的圖像見圖13.來計(jì)算

圖13 Fuzzy集Di的隸屬函數(shù)曲面

圖14 Fuzzy系統(tǒng)的輸出曲面

圖15 h=0.2π時(shí)的誤差曲面

圖16 h=0.1π時(shí)的誤差曲面

圖17 h=0.01π時(shí)的誤差曲面

4 多輸入多輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy 推理表示

現(xiàn)在考慮p個(gè)輸入q個(gè)輸出的開環(huán)系統(tǒng)S,輸入變量xi在輸入論域Xi中取值i=1,2,…,p,輸出變量yj在輸出論域Yj中取值j=1,2,…,q.如果該系統(tǒng)S是個(gè)確定性系統(tǒng),可用機(jī)理建模法建立系統(tǒng)S的數(shù)學(xué)模型,再用某種方法獲得該模型的一組解

yj=yj(x1,x2,…,xp),j=1,2,…,q

s

(x1,x2,…,xp)yj?sj(x1,x2,…,xp),

(31)

再記s?(s1,…,sq),則(31)式可以更緊湊地寫為向量值函數(shù)形式

(x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

s(x1,x2,…,xp)=

(s1(x1,x2,…,xp),…,sq(x1,x2,…,xp)).

(32)

于是該系統(tǒng)可記為

當(dāng)S是一個(gè)不確定性系統(tǒng)時(shí),雖然很難得到“準(zhǔn)確的”函數(shù)關(guān)系組(31),卻常?？梢栽O(shè)法獲得一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系組

(x1,x2,…,xp)y

(33)

(x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

(34)

仍考慮用條件數(shù)學(xué)期望來實(shí)現(xiàn)上述逼近的思想.

Ω

P

這樣得到q個(gè)聯(lián)合概率空間

(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q.

不換記號(hào),重新把諸ξi,i=1,2,…,p定義為每個(gè)Ωj,j=1,2,…,q上的隨機(jī)變量：

ξi:Ωj→R,

(u1,u2,…,up,vj)

ξi(u1,u2,…,up,vj)?ξi(ui),

而把ηj只重新定義在與其具有同樣指標(biāo)的Ωj上：

ηj:Ωj→R,

(u1,u2,…,up,vj)

ηj(u1,u2,…,up,vj)?ηj(vj),

這樣得到在(Ωj,Fj,Pj)上有定義的p+1維隨機(jī)向量(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.任取

(x1,x2,…,x

當(dāng)ωj∈{ωj∈Ωj|ξi=xi,i=1,2,…,p}時(shí),可令

E(ηj|ξ1=x1,x2,…,ξp=xp).

(35)

如果掌握了(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj)的連續(xù)概率密度fj(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q,那么條件數(shù)學(xué)期望(35)式具體化為

j=1,2,…,q.

j=1,2,…,q.

(37)

如果記

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)?

(f1(x1,x2,…,xp,y1),…,fq(x1,x2,…,xp,yq)),

則可以把(37)式緊湊地寫為向量形式

(39)

注 4.1如果取

則得到統(tǒng)一的聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號(hào),重新把諸ξi,i=1,2,…,p,ηj,j=1,2,…,q定義為Ω上的隨機(jī)變量

ξi:Ω→R,

(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

ξi(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ξi(ui),

ηj:Ω→R,

(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

ηj(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ηj(vj).

獲得在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機(jī)向量

(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

當(dāng)知道(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的連續(xù)概率密度f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)時(shí),(39)式更應(yīng)記為

f1(x1,x2,…,xp,y1)=

f2(x1,x2,…,xp,y2)=

…,

fq(x1,x2,…,xp,yq)=

即fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q不過是

f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)

的邊緣概率密度.于是(40)式很容易變?yōu)?38)式,但反之不然.好在知道諸邊緣概率密度fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q之后對(duì)于構(gòu)造連續(xù)隨機(jī)逼近系統(tǒng)已足夠了.

為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個(gè)類似引理3.1和引理3.2那樣的引理.由于基本表述形式類似,從略.

定理 4.1任意給定一個(gè)p輸入q輸出連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)(38),其中

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實(shí)區(qū)間.如果滿足條件:

?(x1,x2,…,x

則存在q組Fuzzy推理規(guī)則：

If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

(41)

其中,

A

kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

證明記Aj?{Akjj|1≤kj≤nj}以及

Bj?{Bkjj|1≤kj≤nj},j=1,2,…,q,

那么上述q組Fuzzy推理規(guī)則可簡寫為

Aj→Bj,j=1,2,…,q.

按照定理3.1的方法由Aj→Bj,j=1,2,…,q可以構(gòu)造q個(gè)子Fuzzy系統(tǒng)

j=1,2,…,q.

它們分別能逼近q個(gè)子隨機(jī)系統(tǒng)

j=1,2,…,q

(42)

Aj→Bj,j=1,2,…,q,

(43)

5 離散型隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示

先考慮單輸入單輸出不確定性系統(tǒng)s=S(X,Y).假定已經(jīng)知道有關(guān)系統(tǒng)S的一些概率信息,自然應(yīng)從隨機(jī)的角度去考察該系統(tǒng).設(shè)X、Y均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,輸入隨機(jī)變量ξ和輸出隨機(jī)變量η分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度,如同第一節(jié)那樣構(gòu)造聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η)便為(Ω,F,P)上的隨機(jī)向量.無妨認(rèn)為掌握的概率信息就是該系統(tǒng)的離散型概率分布

{P(xi,yj)|1≤i≤n,1≤j≤m},

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],以及

a1≤x1

y0?a2

它視為系統(tǒng)S在得到輸入xi后的響應(yīng).這樣,若記

注 5.1按通常的習(xí)慣,總把P(xi,yj)記為pij,即pij?P(xi,yj),這樣表達(dá)起來簡便,故下面采用簡便表達(dá)法.

定理 5.1任意給定一個(gè)離散隨機(jī)系統(tǒng)

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則：

Δyj?yj-yj-1,j=1,2,…,m.

證明首先考慮如何構(gòu)造Fuzzy推理規(guī)則組(45)式.Fuzzy集Bj∈F(Y)最易獲得,事實(shí)上只需按圖2 做成“三角波”型隸屬函數(shù),只不過將下標(biāo)n改為m即可.于是就得到語言變量

B={Bj|1≤j≤m}.

再來構(gòu)造Fuzzy集Aj∈F(X).先按圖2那樣構(gòu)造充當(dāng)基函數(shù)用的一組Fuzzy集αi∈F(X),i=1,2,…,n:

μ

μ

i=2,3,…,n-1;

μ

用上述Fuzzy集αi(i=1,2,…,n)的加權(quán)平均來構(gòu)造Fuzzy集Aj,

μ

j=1,2,…,m,

(46)

其中權(quán)向量組{(a1j,a2j,…,anj)|1≤j≤m}待定.這樣形式地得到語言變量

A={Aj|1≤j≤m},

于是便形成了Fuzzy推理規(guī)則組(45)式:

IfxisAj，thenyisBj,j=1,2,…,m.

(47)

因?yàn)棣藺j(xi)=aij,所以

(48)

比較(44)式與(48)式,可取

aij=P(xi,yj)M/Δyj,

令

ε?max

則最終得到

此外,任意取定精度ε>0,由(48)式知,?δ>0,當(dāng)λ<δ時(shí),對(duì)所有xi,i=1,2,…,n有

再考慮雙輸入單輸出不確定性系統(tǒng)s=S(X×Y,Z).設(shè)X、Y、Z均為實(shí)數(shù)空間R上的可測集,輸入隨機(jī)變量ξ、η和輸出隨機(jī)變量ζ分別定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上,其中B1、B2和B3分別為X、Y與Z上的Borelσ-域,P1、P2和P3分別為B1、B2和B3上的概率測度,可構(gòu)造聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η,ζ)便為(Ω,F,P)上的隨機(jī)向量.已知離散型概率分布

{P(xi,yj,zk)|1≤i≤n,1≤j≤m,1≤k≤p}，

其中,

X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2],

以及

a1≤x1

a2≤y1

z0?a3

(49)

(50)

定理 5.2任意給定一個(gè)離散隨機(jī)系統(tǒng)(50),其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則：

If(x,y)isDk，thenzisCk,

k=1,2,…,p，

(51)

?i∈{1,2,…,n}, ?j∈{1,2,…,m},

證明類似定理5.1的情況,從略.

Ω

P

按照連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)的處理方法可構(gòu)造q個(gè)聯(lián)合概率空間

(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q,

使得諸ξi,i=1,2,…,p為在每個(gè)Ωj上有定義的隨機(jī)變量,ηj為只在與其具有同樣指標(biāo)的Ωj上有定義的隨機(jī)變量(j=1,2,…,q).這樣便得到在(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q上有定義的p+1維隨機(jī)向量(ξ1,ξ2<…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.進(jìn)一步假設(shè)

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實(shí)數(shù)區(qū)間.已知q組離散型概率分布

{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)|1≤k1≤n1,…,

1≤kp≤np;1≤lj≤mj},j=1,2,…,q,

其中

ai≤xi1

cj≤yj1

假定?(k1,k2,…,kp),有

記

E(ηj|ξi=xiki,i=1,2,…,n)=

(52)

將它視為系統(tǒng)S在得到輸入(x1k1,x2k2,…,xpkp)后關(guān)于輸出變量yj的響應(yīng).再置

{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)}(1≤ki≤ni,i=1,2,…,p;1≤lj≤mj),

j=1,2,…,q).

(54)

定理 5.3任意給定一個(gè)p輸入q輸出離散隨機(jī)系統(tǒng)(54),其中

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實(shí)區(qū)間,一定存在q組Fuzzy推理規(guī)則

If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q,

其中，

A

kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q，

{yjlj|1≤lj≤mj},j=1,2,…,q

的分割間隔越小,逼近的精度越高.

證明類似定理5.1及定理4.1的情況,從略.

注 5.2如果取

則得到統(tǒng)一的聯(lián)合概率空間(Ω,F,P).不換記號(hào),重新把諸ξi(i=1,2,…,p)和ηj(j=1,2,…,q)定義為Ω上的隨機(jī)變量便得到在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機(jī)向量

(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

當(dāng)知道關(guān)于該不確定性系統(tǒng)S的隨機(jī)向量(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的離散概率分布

{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,…,xqlq)|1≤k1≤n1,

1≤k2≤n2,…,1≤kp≤np;1≤l1≤m1,

1≤l2≤m2,…,1≤lq≤mq}

時(shí),(54)式更應(yīng)記為

{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}).

(55)

P1(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1)=

P2(x1k1,x2k2,…,xpkp,y2l2)=

Pq(x1k1,x2k2,…,xpkp,yqlq)=

即{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)},j=1,2,…,q不過是{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}的邊緣概率分布.于是于是(55)式很容易變?yōu)?54)式.

6 Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的還原性

以單輸入單輸出開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y)為例來討論Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的還原性問題,暫限于連續(xù)系統(tǒng),至于離散系統(tǒng)的討論是其特例,處理起來并不困難,這里X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實(shí)區(qū)間.

先假定已知一個(gè)Fuzzy系統(tǒng)

其中A={Ai|1≤i≤n}和B={Bi|1≤i≤n}分別為X與Y上的Fuzzy劃分,視A與B為語言變量便可構(gòu)成一組Fuzzy推理規(guī)則

IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n.

為了方便將這樣的Fuzzy推理規(guī)則組簡記為

A→B，

(56)

其中θ為Fuzzy蘊(yùn)涵算子,滿足條件

θ(a,1)=a,θ(a,0)=0, ?a,b∈[0,1].(58)

再根據(jù)文獻(xiàn)[1],存在一個(gè)聯(lián)合概率空間(Ω,F,P),其中

Ω=X×Y, F=F1×F2,P=P1×P2,

隨機(jī)變量ξ與η分別定義在概率空間(X,F1,P1) 和 (Y,F2,P2)中;經(jīng)過將ξ與η重新定義在概率空間(Ω,F,P)后得到隨機(jī)向量(ξ,η),它服從由下列概率密度確定的概率分布

H(2,n,θ,∨)=

(59)

根據(jù)(8)式又得到一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)

它的輸入輸出函數(shù)關(guān)系為

x1

可構(gòu)造Fuzzy推理規(guī)則組

M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

注意到

M=max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}=

即MH(2,n,θ,∨)=1.易證?i∈{1,2,…,n},有

μ

自然得到B′=B.可見恢復(fù)了原本的Fuzzy推理規(guī)則組A→B.這是一方面的還原性.

(60)

其中,λ=max{Δyj|j=1,2,…,n},Ai采用(12)式或(18)式構(gòu)造,而Bi可取三角波形隸屬函數(shù)(見圖2).這時(shí)Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出函數(shù)一般為(注意比(16)式廣泛)

這里Fuzzy蘊(yùn)涵算子θ仍要滿足條件(58)式.根據(jù)文獻(xiàn)[1],得到一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)

這里H(2,n,θ,∨)的意義同前.以下分兩種情況考察還原性.

情況1按(18)式規(guī)定

Ai(x)?f(x,yi)/M,

這時(shí)在Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)上有

f′(x,y

α(n)f(x,yj),

(61)

對(duì)任意取定的劃分,n固定,故α(n)為常數(shù).(61)式說明在每個(gè)節(jié)點(diǎn)yj(j=1,2,…,n),f′(x,yj)除了一個(gè)常數(shù)因子α(n)外還原為f(x,yj).由于λ可任意減小,從而認(rèn)為f′(x,y)除了一個(gè)常數(shù)因子外近似地還原為f(x,y).

情況 2按(12)式規(guī)定

μ

這時(shí)要求Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)構(gòu)成Y的等距劃分,即Δyj=h,j=1,2,…,n.于是在Y的分點(diǎn)yj(j=1,2,…,n)上有

f′(x,y

β(h)fη|ξ=x(yj|x),

(62)

f

為條件概率密度.根據(jù)上式,認(rèn)為f′(x,y)除了一個(gè)常數(shù)因子外近似地還原為條件概率密度

fη|ξ=x(y|x).

注 6.1從常數(shù)β(h)?h/H(2,n,θ,∨)的定義看,兩個(gè)參數(shù)h與n是相關(guān)的.因此β(h)也可寫成β(n),而不必寫成β(h,n).

注 6.2注意f′(x,y)是個(gè)連續(xù)函數(shù),不難從(61)式看出,f′(x,y)相當(dāng)于在邊緣Y中有定義的結(jié)點(diǎn)組

{(yj,α(n)f(x,yj))|j=1,2,…,n}

上的插值函數(shù).在節(jié)點(diǎn)yj處,f′(x,y)嚴(yán)格地等于結(jié)點(diǎn)函數(shù)值α(n)f(x,yj).那么在非節(jié)點(diǎn)y處f′(x,y)對(duì)α(n)f(x,y)逼近的精度如何？這是個(gè)有趣的問題.另外,對(duì)于(62)式有類似的理解.

注 6.3上述情況2只還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),似乎不令人滿意.其實(shí)Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換重在逼近程度優(yōu)劣,如果完全還原或近似還原固然結(jié)果漂亮.不過還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),也說明透過fη|ξ=x(y|x)揭示了f′(x,y)與f(x,y)之間的緊密聯(lián)系.

7 具有一維隨機(jī)變量的不確定性系統(tǒng)及其表示

從本文及文獻(xiàn)[1]的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：所涉及的概率密度至少是二維的,即至少涉及二維隨機(jī)向量(ξ,η),其中ξ本質(zhì)上定義在輸入論域X,而η本質(zhì)上定在輸出論域Y.這并不奇怪,因?yàn)橐粋€(gè)不確定系統(tǒng)至少是一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng).

然而在學(xué)習(xí)概率論時(shí)見過很多的隨機(jī)試驗(yàn)只涉及一個(gè)隨機(jī)變量ξ,如其有密度函數(shù),則是個(gè)一維密度函數(shù)f(x).

自然會(huì)問：什么樣的不確定性系統(tǒng)只涉及一個(gè)隨機(jī)變量,或者具有一維概率密度？可以猜想,這樣的不確定性系統(tǒng)一定具有某種特殊性或具有某種意義的平凡性,而這樣的系統(tǒng)會(huì)有很多.所以只能就幾個(gè)典型情況來考察.

典型情況 1(純粹確定性系統(tǒng)) 正如普通集可視為特殊的Fuzzy 集一樣,確定性系統(tǒng)亦可看作特殊的不確定性系統(tǒng).考慮一個(gè)特殊的開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y),其中X=[a,b],Y={y0}為一個(gè)單點(diǎn)集.已經(jīng)知道符號(hào)s具有雙重含義,既抽象地代表一個(gè)系統(tǒng),又具體地表示該系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,即

s:X→Y,xy=s(x)?y0.

a=x1

將諸分點(diǎn)Fuzzy化,可按圖2構(gòu)造三角形Fuzzy集Ai∈F(X)(i=1,2,…,n)(注意要將圖2中的n+1個(gè)下標(biāo)0,1,…,n改為n個(gè)下標(biāo)1,2,…,n).從而得到X上的Fuzzy劃分

A={Ai|i=1,2,…,n}.

再作Y上的Fuzzy集

Bi?Y={y0},i=1,2,…,n,

這里IY表示集合Y的示性函數(shù)(也叫特征函數(shù),為了避免與概率論中隨機(jī)變量的特征函數(shù)相混淆,寧可稱其為示性函數(shù)).又得到

B={Bi|i=1,2,…,n}.

于是獲得Fuzzy推理規(guī)則組:A→B.這樣便得到了一個(gè)Fuzzy系統(tǒng)

為了簡單,把Fuzzy蘊(yùn)涵算子θ取為常用的∧,有

p(x,y)=p(x,y0)=

這時(shí)該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

令

f(x)?f(x,y0)=

(63)

這樣應(yīng)該存在概率空間(X,F,P)上的隨機(jī)變量

ξ:X→R,xξ(x)

服從概率密度為f(x)的概率分布,其中F為X上的 Borelσ-域.注意到,若令

Ω?X×{y0},

則F可視為Ω上的Borelσ-域,ξ視為定義在Ω上的隨機(jī)變量,即不換記號(hào)重新定義

ξ:Ω→R,

ω=(x,y0)ξ(ω)=ξ(x,y0)?ξ(x),

只是形式上的表達(dá),因?yàn)閅為單點(diǎn)集,其測度為零,故?x∈X,

從而

即

無意義.不過這并不難處理.事實(shí)上,任取ε>0,易知

p(x,y0)>0, ?x∈X，

由此可知,?x∈X,有

p(x,y0)ε>0;

于是?x∈X,又有

例 7.1考慮一個(gè)照明系統(tǒng),為了簡單,假定該系統(tǒng)只有一盞燈.通常在傍晚時(shí)將燈打開,假定開燈時(shí)刻介于a與b之間.令X=[a,b],視它為輸入論域,那么取x∈X,則表示在時(shí)刻x把燈的開關(guān)閉合,這時(shí)燈亮,可記為1,視1為輸出,自然取輸出論域?yàn)閅={y0}={1}.當(dāng)然燈用畢后要關(guān)上,而關(guān)閉動(dòng)作不計(jì)其內(nèi).顯然輸入輸出關(guān)系為

s:X→Y，

xy=s(x)?y0=1.

這當(dāng)然是個(gè)純粹的確定性系統(tǒng).有理由要問:既然這個(gè)系統(tǒng)是確定性系統(tǒng),那么為何出來個(gè)隨機(jī)變量ξ以及它服從的概率密度為f(x)的概率分布?這也不難解釋.如果把注意力集中在“究竟在X中的哪個(gè)時(shí)刻x把燈打開”,這又是個(gè)隨機(jī)性問題,而這與確定性的輸入輸出關(guān)系

s:X→Y,xy=s(x)?y0=1

并不矛盾.知道“傍晚在何時(shí)將燈打開”依賴許多因素,比如地區(qū)不同,開燈的時(shí)刻便不同.通過隨機(jī)實(shí)驗(yàn),可以大致知道在若干時(shí)刻附近,比如5點(diǎn)左右,6點(diǎn)左右,7點(diǎn)左右等有限種情況.一般化,可認(rèn)為在x1左右,x2左右,…,xn左右開燈.記a=x1,b=xn,將諸xi(i=1,2,…,n)Fuzzy化,得到諸Fuzzy集

Ai∈F(X),i=1,2,…,n.

再作Y上的Fuzzy集

Bi?Y={y0},

μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

又得到B={Bi|i=1,2,…,n}.于是獲得Fuzzy推理規(guī)則組:A→B.這樣便得到了一個(gè)Fuzzy系統(tǒng)

這便回到了獲得(63)式的渠道.往下就不說自明了.

典型情況 2(純粹隨機(jī)系統(tǒng)) 考慮另外一個(gè)特殊的開環(huán)系統(tǒng)s=S(X,Y),其中X?{x0}為一個(gè)單點(diǎn)集,Y=[a,b].它的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

s:X→Y,x0y0=s(x0).

然而,由于該系統(tǒng)的不確定性,x0對(duì)應(yīng)Y中哪一個(gè)y0無法預(yù)先確知.所以s=S(X,Y)是一個(gè)純粹的隨機(jī)系統(tǒng).當(dāng)輸入x0后,經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理有這樣幾種情況：輸出在y1左右,輸出在y2左右,…,輸出在yn左右.無妨假定

a=y0

將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

Bi∈F(Y),i=0,1,…,n，

且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

Ai?X={x0},

μAi(y)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

并記A={Ai|i=1,2,…,n},以及B={Bi|i=1,2,…,n}(注意這里不用B0),得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B,于是獲得Fuzzy系統(tǒng)

按CRI方法有

p(x,y)=p(x0,y)=

因?yàn)?y∈Y有p(x0,y)>0,所以

令

g(y)?g(x0,y)=

(64)

注意

該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系應(yīng)該為

這樣應(yīng)該存在概率空間(Y,F,P)上的隨機(jī)變量η,它服從概率密度為g(y)的概率分布,其中F為Y上的Borelσ-域.同樣,若令Ω?{x0}×Y,則F可視為Ω上的Borelσ-域,η視為定義在Ω上的隨機(jī)變量,而P亦可視為(Ω,F,P)上的概率.于是又得到隨機(jī)系統(tǒng)

它的輸入輸出關(guān)系同樣為

記Δyj?yj-yj-1(j=1,2,…,n),有

(65)

a=y0

Δyj=h,j=1,2,…,n

為等距時(shí),又有

(66)

例 7.2考慮一個(gè)射擊系統(tǒng),為了簡單假定該系統(tǒng)只有一只槍.每一次試驗(yàn),即每一次操作,亦即每一次射擊打一發(fā)子彈,子彈記為x0(因?yàn)橥愋偷臉尨蛲愋偷淖訌?而同類型的子彈之間可不加區(qū)別,均記為x0),這樣得到該系統(tǒng)輸入論域X?{x0}.每一次射擊,子彈x0打向靶子理解為向該系統(tǒng)輸入,靶子上的彈著點(diǎn)是該系統(tǒng)對(duì)于輸入x0的響應(yīng),對(duì)于該響應(yīng)的測量有多種方式;這里取彈著點(diǎn)到靶心的距離y為系統(tǒng)的輸出.如果不算脫靶,彈著點(diǎn)到靶心的距離肯定有界,一個(gè)恰當(dāng)?shù)纳辖缬洖閎(比如靶心到靶邊緣的最大距離,在實(shí)際應(yīng)用中要比它小),下界顯然為a=0,于是又獲得輸出論域Y=[a,b].當(dāng)該系統(tǒng)獲得輸入x0后,其相應(yīng)的輸出y0不能預(yù)先確知,故這是一個(gè)純粹的隨機(jī)問題.假如考察一個(gè)具有n個(gè)人的射擊隊(duì)的團(tuán)體射擊水平,經(jīng)實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)每個(gè)射擊隊(duì)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離分別為y1左右,y2左右,…,yn左右.無妨假定

a=y0

將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

Bi∈F(Y),i=0,1,…,n,

且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

Ai?X={x0},

μAi(x)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

并記A?{Ai|i=1,2,…,n},以及

B?{Bi|i=1,2,…,n},

現(xiàn)在考慮具有一維概率密度函數(shù)的隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示及其對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)的逼近問題.亦分兩種情況.

典型情況 1*該情況與前述的典型情況1對(duì)偶.給定一個(gè)連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機(jī)變量ξ服從概率密度為

f(x)?f(x,y0)

的概率分布,其中Ω?X×{y0}.從前面的討論已知該隨機(jī)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

其中假定?x∈X有f(x,y0)>0,可見

作X的劃分a=x1

Ai∈F(X),i=1,2,…,n,

使其構(gòu)成X的Fuzzy劃分.再作

Bi?Y={y0},

μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

置A?{Ai|i=1,2,…,n}以及

B?{Bi|i=1,2,…,n}，

得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B.于是便有Fuzzy系統(tǒng)

因?yàn)锳?{Ai|i=1,2,…,n}為X的Fuzzy劃分,所以

該Fuzzy系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

典型情況 2*該情況與前述的典型情況2對(duì)偶.給定一個(gè)連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機(jī)變量η服從概率密度為

g(y)=g(x0,y)

的概率分布,其中Ω?{x0}×Y.注意到

從前面的討論知該隨機(jī)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為

定理 7.1任意給定一個(gè)連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)

一定存在一組Fuzzy推理規(guī)則:A→B,其中,

A={Ai|i=1,2,…,n},

B={Bi|i=1,2,…,n},

Ai∈F(X),Bi∈F(Y),i=1,2,…,n,

證明首先作Y的劃分

a=y0

構(gòu)作三角形Fuzzy集

令M?max{g(y)|y∈Y},再作分點(diǎn)yi,i=0,1,…,n的Fuzzy化:

μ

顯然Bi∈F(Y)(i=0,1,…,n).取

Ai?{x0},i=1,2,…,n,

A?{Ai|i=1,2,…,n},

B?{Bi|i=1,2,…,n}，

得到Fuzzy推理規(guī)則組A→B.于是做成Fuzzy系統(tǒng)

它的輸入輸出關(guān)系有下列表示:

因?yàn)?/p>

與

λ=max{Δyi=yi-yi-1|i=1,2,…,n}<δ,

就同時(shí)有

8 不確定性系統(tǒng)的統(tǒng)一性

上一節(jié)的結(jié)論表明,Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)換中還具有還原性.這意味著在系統(tǒng)的觀點(diǎn)下,Fuzzy系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)是統(tǒng)一的,它們好像一個(gè)天平上的兩個(gè)等量的砝碼,各置該天平的托盤之一,其中一個(gè)砝碼舊一點(diǎn),而另一個(gè)砝碼新一點(diǎn).舊砝碼意指概率論;新砝碼則代表Fuzzy系統(tǒng)理論.它們各有側(cè)重,互為補(bǔ)充,絕不相互排斥.

值得指出的是,面對(duì)一個(gè)不確定性系統(tǒng),在概率論中要想獲得關(guān)于該不確定性系統(tǒng)的概率分布是件相當(dāng)困難的事情;然而,對(duì)于該不確定性系統(tǒng),得到一組Fuzzy推理規(guī)則并不困難;由既得的Fuzzy推理規(guī)則組便可轉(zhuǎn)化為該不確定性系統(tǒng)的概率密度,這是件極有意義的事情.

9 結(jié)論

本文詳細(xì)討論了隨機(jī)系統(tǒng)的Fuzzy推理表示問題,揭示了隨機(jī)系統(tǒng)與Fuzzy推理之間有著緊密聯(lián)系.主要結(jié)果如下.

1) 相對(duì)于不確定性系統(tǒng),給出了隨機(jī)系統(tǒng)的定義,它視為從隨機(jī)系統(tǒng)的角度對(duì)一個(gè)不確定系統(tǒng)的逼近.

5) 面對(duì)一個(gè)不確定性系統(tǒng),在概率論中要想獲得關(guān)于該不確定性系統(tǒng)的概率分布是件相當(dāng)困難的事情;然而,對(duì)于該不確定性系統(tǒng),得到一組Fuzzy推理規(guī)則并不困難;由既得的Fuzzy推理規(guī)則組便可轉(zhuǎn)化為該不確定性系統(tǒng)的概率分布,從而概率論中成熟的工具便可發(fā)揮作用了,這是件極有意義的事情.