許 潔, 陳 巖

(1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院, 吉林 吉林 132022; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 長春 130012)

0 引言

時滯是自然界中廣泛存在而又不可避免的一種現(xiàn)象,在時滯問題的研究中,過去的歷史對解決當(dāng)前問題的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用,如果忽略掉時滯的存在，會使問題無法解決或解決的結(jié)果與實際具有一定偏差.對一個系統(tǒng)而言,當(dāng)觀測與調(diào)控之間有時間差或者控制有滯后性時，就會出現(xiàn)系統(tǒng)延遲,我們稱之為時滯系統(tǒng),刻畫含有時滯狀態(tài)的方程稱為時滯方程.系統(tǒng)中時滯變量的存在會引起系統(tǒng)相應(yīng)性能的變化,許多工程理論問題相繼出現(xiàn),并迫切需要解決,為時滯控制理論的發(fā)展注入動力[1-5].最大值原理為求解最優(yōu)控制問題做出巨大貢獻,如何利用最大值原理的思想，結(jié)合時滯系統(tǒng)的特點,更好地刻畫時滯系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題成為研究的關(guān)鍵.文獻[6]中討論了一類被稱為超前倒向隨機微分方程的新型倒向隨機微分方程,為解決時滯問題提供新的思路.文獻[7]利用此類方程對倒向隨機系統(tǒng)的時滯問題進行研究,給出了時滯系統(tǒng)的最優(yōu)控制所滿足的必要條件，并將其應(yīng)用到消費生產(chǎn)模型,得出最優(yōu)消費率的顯示表達式.受此研究思路的啟發(fā),我們嘗試對線性時滯二次最優(yōu)控制問題進行探索,希望對此時系統(tǒng)對應(yīng)的最優(yōu)控制的形式進行刻畫.

1 準(zhǔn)備工作

時滯重隨機微分方程的一般形式為：

(1)

根據(jù)實際問題的不同,f和g取不同的形式.討論時滯重隨機線性系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)對應(yīng)的狀態(tài)方程為:

(2)

其中δ1、δ2和δ3是不同的時滯變量.

目標(biāo)泛函為

〈R(t)y(t),y(t)〉+〈S(t)u(t),u(t)〉]dt+

〈Qx(T),x(T)〉}.

(3)

定義

U[0,T]:=

最優(yōu)控制問題可以看成在U[0,T]上最小化目標(biāo)泛函,即尋找最優(yōu)控制u*(·)使其滿足

J(u*(·))=

(4)

此時對應(yīng)的(x*(·),y*(·),u*(·))被稱為最優(yōu)三元組.

對應(yīng)地,此時系統(tǒng)的伴隨方程為

(5)

其中δ=max{δ1,δ2,δ3}.

給出假設(shè)條件：

(A1) 假設(shè)系數(shù)矩陣Ai,Bi,Ci,Di,Ei,Fi(i=1,2)是適當(dāng)維數(shù)的矩陣過程；

(A2) 設(shè)Q:Ω→Rn×n是非負有界對稱Ft適應(yīng)矩陣過程；

(A3) 所有系數(shù)矩陣均有界,且K(t)、R(t)和Q是對稱非負正定的,S(t)是對稱一致正定的.

討論線性系統(tǒng),由假設(shè)條件(A3)可知,所有關(guān)于f、g的偏導(dǎo)數(shù)都是有界的,且f和g直接滿足Lipschitz條件,這使得我們的假設(shè)變得簡單了很多.

2 主要結(jié)論

定理 1在假設(shè)條件(A1)～(A3)下,

E

是時滯重隨機線性二次最優(yōu)控制問題的唯一最優(yōu)控制,其中(x*(·),y*(·),p(·),q(·))是對應(yīng)(2)和(5)式的解.

證明方程(2)解的存在性和唯一性可以由文獻[8]中的定理3.1直接推得.方程(5)解的存在性和唯一性可以由文獻[9]的定理3.2保證.首先證明u*(t)是系統(tǒng)對應(yīng)的最優(yōu)控制.對任意的v(·)∈U[0,T],設(shè)(x*(·),y*(·))、(xv(·),yv(·))分別是對應(yīng)控制u*(t)和v(t)的軌跡,則

J(v(·))-J(u*(·))=

〈K(t)x*(t),x*(t)〉+

〈R(t)yv(t),yv(t)〉-

〈R(t)y*(t),y*(t)〉+〈S(t)v(t),v(t)〉-

〈S(t)u*(t),u*(t)〉+

〈Qx(T),x(T)〉-〈Qx*(T),x*(T)〉]dt=

xv(t)-x*(t)〉+

〈S(t)(v(t)-u*(t)),v(t)-u*(t)〉+

〈R(t)(yv(t)-y*(t)),yv(t)-y*(t)〉+

〈Q(xv(T)-x*(T)),xv(T)-x*(T)〉+

2〈K(t)x*(t),xv(t)-x*(t)〉+

2〈R(t)y*(t),yv(t)-y*(t)〉+

2〈S(t)u*(t),v(t)-u*(t)〉+

2〈Qx*(T),xv(T)-x*(T)〉]dt.

(6)

由條件(A3)知道K(t)、R(t)和Q是對稱非負定的,S(t)是對稱且一致正定的,因此

J(v(·))-J(u*(·))≥

〈S(t)u*(t),v(t)-u*(t)〉+

〈R(t)y*(t),yv(t)-y*(t)〉+

〈Qx*(T),xv(T)-x*(T)〉]dt.

(7)

應(yīng)用Ito公式并注意其初始條件和終端條件,可得

〈Qx*(T),xv(T)-x*(T)〉=

〈-p(T),xv(T)-x*(T)〉,

E〈p(T),xv(T)-x*(T)〉=

B1(t)(xv(t-δ1)-x*(t-δ1))+

C1(t)(yv(t)-y*(t))+

D1(t)(yv(t-δ2)-y*(t-δ2))+

E1(t)(v(t)-u*(t))+

F1(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉dt-

E

E

K(t)x*(t),xv(t)-x*(t)〉dt+

B2(t)(xv(t-δ1)-x*(t-δ1))+

C2(t)(yv(t)-y*(t))+

D2(t)(yv(t-δ2)-y*(t-δ2))+

E2(t)(v(t)-u*(t))+

F2(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉dt+

E

yv(t)-y*(t)〉dt.

(8)

x*(t-δ1))〉-〈E

xv(t)-x*(t)〉}dt=

B1(t)(xv(t-δ1)-x*(t-δ1))〉dt-

類似可有

〈E

x*(t)〉}dt=0,

〈E

y*(t)〉}dt=0,

〈E

y*(t)〉}dt=0.

因此，可得

E〈-p(T),xv(T)-x*(T)〉=

〈-R(t)y*(t),yv(t)-y*(t)〉+

〈-p(t),E1(t)(v(t)-u*(t))+

F1(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉+

〈-q(t),E2(t)(v(t)-u*(t))+

F2(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉]dt.

(10)

則

J(v(·))-J(u*(·))≥

〈-p(t),E1(t)(v(t)-u*(t))+

F1(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉+

〈-q(t),E2(t)(v(t)-u*(t))+

F2(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉]dt.

(11)

由u*(t)的定義,可得

E

將其代入不等式(11),可得

J(v(·))-J(u*(·))≥

E

〈-p(t),E1(t)(v(t)-u*(t))+

F1(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉+

〈-q(t),E2(t)(v(t)-u*(t))+

F2(t)(v(t-δ3)-u*(t-δ3))〉}dt=

〈-p(t),F1(t)(v(t-δ3)-

u*(t-δ3))〉+〈-q(t),F2(t)(v(t-δ3)-

u*(t-δ3))〉}dt.

(12)

類似前面的證明可得

u*(t)〉+〈-p(t),F1(t)(v(t-δ3)-

u*(t-δ3))〉}dt=0,

u*(t)〉+〈-q(t),F2(t)(v(t-δ3)-

u*(t-δ3))〉}dt=0，

因此，有

J(v(·))-J(u*(·))≥0.

對任意v(·)∈U[0,T]成立,則可證得u*(t)是最優(yōu)控制.

J(u1(·))=J(u2(·))=α≥0,

則

2α=J(u1(·))+J(u2(·))=

再由S(t)的正定性,可推得u1(·)=u2(·),唯一性得證.定理1證畢.

由定理1的結(jié)論可知,系統(tǒng)的最優(yōu)控制是與控制中的時滯變量有關(guān),那么如果控制變量中不含有時滯變量,可以直接得到下面的推論.

推論 1假設(shè)(A1)～(A3)成立,則

t∈[0,T]

是時滯重隨機線性二次最優(yōu)控制問題的唯一最優(yōu)控制,其中(x*(·),y*(·),p(·),q(·))是系統(tǒng)

的解,其中δ=max{δ1,δ2}.

證明此推論的證明可以由定理1直接推得,當(dāng)δ1=δ2時,也可以由文獻[8]的最大值原理直接推得.本文結(jié)論討論了時滯變量各不相同的情況,推廣了文獻[8]的部分結(jié)果.

由上面的結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制的形式與伴隨方程的解具有密切關(guān)系,這是一類新型的超前重隨機微分方程,本文利用此類方程的解對最優(yōu)控制的形式進行了刻畫.

為了更好地研究時滯問題,可嘗試從不同角度對此類問題進行探索,文獻[10]利用Riccati方程對一類隨機哈密頓系統(tǒng)的解進行研究,受此研究思路的啟發(fā),利用Riccati方程對時滯重隨機系統(tǒng)的最優(yōu)控制形式進行研究,從定理1的結(jié)論中,發(fā)現(xiàn)控制變量中的時滯變量對系統(tǒng)最優(yōu)控制的形式具有重要的作用,討論一個特殊的系統(tǒng),只考慮控制變量中含有時滯的情況，且狀態(tài)變量的初值η是確定性的.

此時的時滯系統(tǒng)可以寫成

仍然探討目標(biāo)泛函是(3)式的最優(yōu)控制問題(4),利用定理1可以直接得出此時系統(tǒng)對應(yīng)的最優(yōu)控制形式,即

u*(t)=

S-1(t)E

t∈[0,T].

(16)

下面借助Riccati方程的解對最優(yōu)控制的形式進行探索,首先定義此系統(tǒng)對應(yīng)的Riccati方程:

(17)

定理 2在假設(shè)條件(A1)～(A3)下,如果Riccati方程(17)的解(G(·),M(·),N(·))存在,則系統(tǒng)(15)具有唯一解(x(t),y(t),p(t),q(t))=(x(t),G(t)x(t),M(t)x(t),N(t)x(t)),其中x(t)是下面方程的解,

C1(t)y(t)+F1(t)u(t-δ)]dt+

M(t)[A2(t)x(t)+C2(t)y(t)+

F2(t)u(t-δ)]dW(t)-M(t)y(t)dB(t).(19)

將Riccati方程(17)中的第一和第二個方程代入到(19)式,可得

dW(t)-M(t)y(t)dB(t).

(20)

再由Riccati方程(17)可知

(21)

則(20)式可以寫成

(22)

(23)

(24)

定理 3在假設(shè)條件(A1)～(A3)下,設(shè)(G(·)、M(·)和N(·))滿足Riccati方程,則時滯重隨機線性二次最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制具有如下形:

(25)

且

(26)

證明由已知(G(·)、M(·)和N(·))是Riccati方程(17)的解,且令y(t)=G(t)x(t),p(t)=M(t)x(t),q(t)=N(t)x(t).對p(t)應(yīng)用Ito公式,可得

M(t)C1(t)y(t)+M(t)F1(t)u(t-δ)]dt+

[M(t)A2(t)x(t)+M(t)C2(t)y(t)+

M(t)F2(t)u(t-δ)]dW(t)-

M(t)y(t)dB(t),t∈[0,T].

(27)

再由Riccati方程(17),有

M(t)A1(t)x(t)+M(t)C1(t)y(t)+

M(t)F1(t)u(t-δ)}dt+

{[N(t)-M(t)C2(t)G(t)-

M(t)F2(t)u(t-δ)}dW(t)-

(28)

即

K(t)x(t)]dt+[R(t)y(t)-

q(t)dW(t),t∈[0,T].

(29)

因此，系統(tǒng)(15)的解滿足公式y(tǒng)(t)=G(t)x(t),p(t)=M(t)x(t),q(t)=N(t)x(t),則最優(yōu)控制可直接由(25)式給出.

下面利用Riccati方程的解以及狀態(tài)變量的初值條件給出對應(yīng)最優(yōu)控制的目標(biāo)泛函J(u*(·)).對〈x(t),p(t)〉應(yīng)用Ito公式并取期望,可得

E[〈x(T),p(T)〉-〈x(0),p(0)〉]=

E[〈x(T),-Qx(T)〉-〈η,M(0)η〉],

(30)

E[〈x(T),p(T)〉-〈x(0),p(0)〉]=

〈F1(t)u(t-δ),p(t)〉+

〈F2(t)u(t-δ),q(t)〉]dt=

EFt〈F2(t+δ)u(t),q(t+δ)〉+

〈K(t)x(t),x(t)〉+〈R(t)y(t),y(t)〉]dt.(31)

將(30)和(31)式代入J(u(·)),可得

〈R(t)y(t),y(t)〉+〈S(t)u(t),u(t)〉]dt+

(32)

定理3證畢.

本文從不同角度對時滯重隨機線性二次系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制形式進行了刻畫,根據(jù)實際問題的不同,采用不同的研究方法,可以從不同角度更好地解決問題.