張建華,蔣哲華,童 華，徐 寧

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院 物理系，安徽 合肥 230026)

2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)一半授予真鍋淑郎(Syukuro Manabe)和克勞斯·哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)，表彰他們關(guān)于“地球氣候的物理建模、量化可變性和可靠地預(yù)測(cè)全球變暖”的工作；另一半授予喬治·帕里西(Giorgio Parisi)，表彰其“發(fā)現(xiàn)了從原子到行星尺度的物理系統(tǒng)中無(wú)序和漲落之間的相互影響”. 前者的工作奠定了氣候模型的發(fā)展基礎(chǔ)，并證明了溫室效應(yīng)是人類排放CO2的結(jié)果；后者的工作在無(wú)序的復(fù)雜系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了隱藏模式，為人類理解和描述不同領(lǐng)域中的復(fù)雜材料和現(xiàn)象提供了可能方法. 本文從復(fù)雜系統(tǒng)的概念出發(fā)，對(duì)2021年諾獎(jiǎng)獲得者的代表性工作進(jìn)行介紹.

1 復(fù)雜系統(tǒng)的典型特征

復(fù)雜系統(tǒng)無(wú)處不在，小到原子、分子系統(tǒng)，大到人類活動(dòng)、氣候變化以及行星的運(yùn)動(dòng)等. 到底什么樣的體系可以被稱為復(fù)雜系統(tǒng)呢？盡管復(fù)雜性科學(xué)已被用來(lái)理解蟻群行為、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和氣候變化等現(xiàn)象，但人們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的基本定義仍未達(dá)成統(tǒng)一. 關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)，最著名論斷來(lái)源于亞里士多德(Aristotle)，他認(rèn)為復(fù)雜系統(tǒng)“整體大于部分之和”. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，組元(部分)的集體行為將會(huì)表現(xiàn)出系統(tǒng)(整體)的某些宏觀性質(zhì)，而且這些宏觀性質(zhì)幾乎無(wú)法從組元的屬性中推斷出來(lái). 《Science》于1999年4月發(fā)行了關(guān)于“復(fù)雜系統(tǒng)”的特刊，下面將總結(jié)復(fù)雜系統(tǒng)的典型特征.

1.1 非線性

非線性通常被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)必不可少的條件之一. 如果系統(tǒng)是線性的，那么將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的任意多個(gè)解疊加或者任意解乘以1個(gè)因子可以得到其他解. 非線性意味著疊加原理將不再適用，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可能無(wú)法精確求解，只能得到近似解. 非線性帶來(lái)的有趣結(jié)果是系統(tǒng)的發(fā)散，例如當(dāng)位置和動(dòng)量作為運(yùn)動(dòng)方程的輸入?yún)⒘繒r(shí)，初始條件的微小差異可能會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果的巨大偏差.

1.2 反饋機(jī)制

反饋機(jī)制是復(fù)雜系統(tǒng)的另一必要條件. 系統(tǒng)的一部分在接收反饋時(shí)如何與其鄰居相互作用取決于早期該部分與其鄰居之間的作用形式. 以遷徙中的候鳥(niǎo)為例，群體中的每只候鳥(niǎo)都有自己的路線，這取決于周圍鳥(niǎo)類的方位和距離，但是如果某只候鳥(niǎo)調(diào)整了路線，那么其鄰居都會(huì)改變飛行計(jì)劃，因此，鄰居的狀態(tài)在一定程度上可反映該鳥(niǎo)的早期行為.

1.3 自發(fā)形成的序和魯棒性

復(fù)雜系統(tǒng)研究的基本思想是探尋系統(tǒng)行為中的序，它是系統(tǒng)中大量基本元素之間相互作用的集中體現(xiàn). 1950年，朗道(L. D. Landau)和金茲堡(V. L. Ginzburg)用序參量的概念來(lái)描述系統(tǒng)在相變前后的狀態(tài)[1]. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，由于可能涉及對(duì)稱性、結(jié)構(gòu)、周期性、確定性和模式等，因而系統(tǒng)序參量的定義并非易事. 復(fù)雜系統(tǒng)在外界擾動(dòng)下會(huì)穩(wěn)定存在，因此認(rèn)為復(fù)雜系統(tǒng)具有魯棒性. 地球氣候變化是體現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性的典型例子，雖然局部的氣候變化可能非常劇烈，但整體氣候變化是相對(duì)穩(wěn)定的，并具有規(guī)律性和周期性.

1.4 層展現(xiàn)象和層級(jí)結(jié)構(gòu)

還原論的假設(shè)在哲學(xué)家中仍然是富有爭(zhēng)議的話題，其基本思想是復(fù)雜的系統(tǒng)、現(xiàn)象可以通過(guò)將其化解為各部分之組合的方法，從而加以理解和描述. 人們談?wù)搹?fù)雜性科學(xué)時(shí)常常將其與還原論的局限性聯(lián)系起來(lái). 20世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展分為2種潮流：內(nèi)涵性研究和外延性研究[2]. 內(nèi)涵性研究探求基本定律，而外延性研究致力于按照已知的基本定律來(lái)解釋現(xiàn)象. 安德森(P. W. Andeson)在批評(píng)科學(xué)界過(guò)于注重內(nèi)涵性研究時(shí)指出：大量和復(fù)雜的基本粒子集合體的行為，并不能按照少數(shù)基本粒子性質(zhì)的簡(jiǎn)單外推來(lái)理解. 事實(shí)上，在復(fù)雜性的每個(gè)層次，都會(huì)有嶄新的性質(zhì)出現(xiàn)，這就是層展現(xiàn)象. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，通常有許多不同層級(jí)的結(jié)構(gòu)，例如地球上的生態(tài)系統(tǒng)，不同層級(jí)結(jié)構(gòu)包括群落、種群、個(gè)體、組織、細(xì)胞等.

1.5 多而不同

安德森強(qiáng)調(diào)層級(jí)結(jié)構(gòu)對(duì)于理解復(fù)雜系統(tǒng)的重要性，指出整體不僅大于而且可能迥異于部分之和. 在每個(gè)層級(jí)上，新的定律、概念和原理都必不可少，并且其需要的想象力與創(chuàng)造力絲毫不亞于前一個(gè)層級(jí)，即量變產(chǎn)生質(zhì)變. 上述討論清楚地表明復(fù)雜性和復(fù)雜的系統(tǒng)并不簡(jiǎn)單，而且具有潛在的哲學(xué)意義. 下面以氣候變化和玻璃化轉(zhuǎn)變?yōu)槔?，討論研究?fù)雜系統(tǒng)的方法及重要意義.

2 氣候變化

人類生活在正在發(fā)生重大變化的氣候系統(tǒng)中，科學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并證明了人類活動(dòng)與氣候變化的密切關(guān)系，例如大氣中CO2濃度會(huì)導(dǎo)致氣候變暖.

2.1 現(xiàn)代天氣預(yù)報(bào)的建立

天氣預(yù)報(bào)作為公共服務(wù)，已經(jīng)滲透人們?nèi)粘Ｉ钪? 最初天氣預(yù)報(bào)的建立與戰(zhàn)爭(zhēng)有關(guān)，1853年-1856年英法等國(guó)與沙俄為爭(zhēng)奪巴爾干半島爆發(fā)了克里米亞戰(zhàn)爭(zhēng)[3]. 雖然戰(zhàn)爭(zhēng)以英法勝利告終，但英法聯(lián)軍在1854年11月的黑海戰(zhàn)役中卻損失慘重，原因是風(fēng)暴突然降臨黑海，海上狂風(fēng)大作，巨浪滔天，英法艦隊(duì)幾乎全軍覆沒(méi). 事后，法國(guó)軍方要求巴黎天文臺(tái)對(duì)這次風(fēng)暴進(jìn)行調(diào)查. 巴黎天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)勒維耶(U. Le Verrier)與世界各地的天文學(xué)家合作，收集氣象報(bào)告，發(fā)現(xiàn)這場(chǎng)看似突然的風(fēng)暴是有跡可循的，風(fēng)暴自西向東運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)黑海之前，已經(jīng)影響了西班牙和法國(guó)等地. 經(jīng)過(guò)思考分析后，法國(guó)建立了世界上第一個(gè)天氣服務(wù)系統(tǒng)，現(xiàn)代天氣預(yù)報(bào)由此誕生.

2.2 蝴蝶效應(yīng)

美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲(E. N. Lorenz)在 1961年的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)初始條件的微小改變會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的巨大差異. 洛倫茲研究大氣對(duì)流的模型[4]如下：

(1)

其中，x為對(duì)流運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度，y為上升和下降氣流的溫度差，z為垂直溫度曲線的線性偏差.控制參量普朗特?cái)?shù)σ反映流體的物理性質(zhì)，瑞利數(shù)Ra為與浮力驅(qū)動(dòng)對(duì)流相關(guān)的無(wú)量綱數(shù)，β為表征空間幾何性質(zhì)的常量.

洛倫茲系統(tǒng)雖然簡(jiǎn)單，但為研究低維復(fù)雜系統(tǒng)提供了豐富的模型框架. 圖1所示為該模型的數(shù)值解在相空間中的軌跡[控制參量(σ,β,Ra)=(10,8/3,33.5)]，可以看到數(shù)值解是有邊界的.

圖1 洛倫茲模型的數(shù)值解的空間分布[5]

從圖2可以看出該模型的解高度依賴初始條件時(shí)[控制參量(σ,β,Ra)=(10,8/3,24.9)]，初始時(shí)刻x僅相差0.1(圖2中藍(lán)線初始值為10，紅線初始值為10.1)，隨著時(shí)間的推移形成了巨大的偏差.

圖2 洛倫茲模型的數(shù)值解x隨時(shí)間的變化情況[6]

1972年，洛倫茲在科學(xué)會(huì)議上發(fā)表了題為“可預(yù)測(cè)性：巴西一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀，能否在得克薩斯州掀起一場(chǎng)龍卷風(fēng)”的演講[7]. 此現(xiàn)象被稱為蝴蝶效應(yīng)，即事物發(fā)展的結(jié)果對(duì)初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的微小改變，可能導(dǎo)致完全不同的結(jié)果. 時(shí)至今日，蝴蝶效應(yīng)的內(nèi)涵遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出氣候變化的范疇，對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、哲學(xué)等諸多領(lǐng)域均產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 蝴蝶效應(yīng)也是復(fù)雜系統(tǒng)的典型示例，表明氣候變化的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性.

2.3 真鍋淑郎和哈塞爾曼的工作

真鍋淑郎的探究工作是大氣中CO2濃度的增加是如何促使地球表面溫度升高的. 1960年，真鍋淑郎開(kāi)展了對(duì)地球氣候物理模型的開(kāi)發(fā)與研究工作. 作為首個(gè)探索輻射平衡與氣團(tuán)的垂直輸送之間相互作用的學(xué)者，該工作為氣候模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)[8]. 真鍋淑郎的模型 (圖3)證實(shí)了大氣確實(shí)是由于CO2濃度的增加而被加熱.

圖3 真鍋淑郎的氣候模型[9]

地面接收到的太陽(yáng)熱量中，一部分以紅外熱輻射的形式向大氣反射；經(jīng)過(guò)大氣層時(shí)部分熱量輻射到外太空，部分反射回地面. 一方面，來(lái)自地面的紅外熱輻射部分被大氣吸收，使空氣和地面變暖; 另一方面，熱空氣比冷空氣輕，通過(guò)對(duì)流會(huì)向上爬升. 熱空氣中還攜帶著水蒸氣，水蒸氣是一種強(qiáng)大的溫室氣體，空氣越暖，其濃度就越高. 再往上，大氣較冷的地方會(huì)形成雨滴，釋放儲(chǔ)存在水蒸氣中的潛熱[9]. 該模型預(yù)測(cè)出越靠近地面溫度越高，越遠(yuǎn)離地面溫度越低. 60年前，計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度比現(xiàn)在慢幾十萬(wàn)倍，只有相對(duì)簡(jiǎn)單的模型，才能進(jìn)行計(jì)算模擬. 真鍋淑郎的一維模型雖簡(jiǎn)單但卻抓住了關(guān)鍵，從一維模型出發(fā)，真鍋淑郎于 1975 年發(fā)表了三維的氣候模型，成為了解氣候道路上的又一里程碑[10].

大約10年后，哈塞爾曼建立了將天氣和氣候聯(lián)系起來(lái)的模型，進(jìn)而回答了為什么氣候模型在天氣多變且混亂的情況下仍然可靠的問(wèn)題[11]. 哈塞爾曼的方法已經(jīng)被用于證明人類排放的CO2確實(shí)是大氣溫度升高的原因.

天氣是非常復(fù)雜的. 通過(guò)創(chuàng)建隨機(jī)氣候模型，哈塞爾曼成功地將天氣和氣候聯(lián)系起來(lái)，向人們展示了如何將混亂變化的天氣現(xiàn)象描述為快速變化的隨機(jī)過(guò)程，從而為長(zhǎng)期氣候預(yù)測(cè)奠定了堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ). 完成氣候變化模型后，哈塞爾曼還開(kāi)發(fā)了可以識(shí)別自然現(xiàn)象和人類活動(dòng)在氣候中留下印記特定信號(hào)和獨(dú)特標(biāo)記的方法[12-13]，即識(shí)別人類對(duì)氣候影響的方法，使得人們可以單獨(dú)觀測(cè)人類對(duì)氣候影響的痕跡.

3 玻璃化轉(zhuǎn)變

玻璃質(zhì)材料在自然和人類工藝中普遍存在[14]，已知的最早類似玻璃的釉料出現(xiàn)在大約公元前12 000年的埃及. 距今5 000多年前人們已經(jīng)佩戴純玻璃制作的護(hù)身符. 玻璃是人類制作使用最早的人造材料之一，人們對(duì)玻璃的認(rèn)知和應(yīng)用仍在不斷更新. 玻璃同時(shí)具有固體和液體的特性，一方面，玻璃和固體都具有剛性；另一方面，玻璃和液體在微觀粒子層面上都具有無(wú)序結(jié)構(gòu). 這種混合的特性使得玻璃的研究更加復(fù)雜.

3.1 玻璃的形成

一般通過(guò)對(duì)液體降溫到玻璃化轉(zhuǎn)變溫度Tg以下制備得到玻璃. 需要注意的是，制備過(guò)程中的降溫必須足夠快從而避免液體結(jié)晶. 圖4所示為恒定壓強(qiáng)下，液體的體積和能量對(duì)溫度的依賴關(guān)系. 液體降溫至結(jié)晶溫度Tm以下時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)開(kāi)始變緩，進(jìn)入過(guò)冷液體區(qū). 繼續(xù)降溫，粒子重排變得非常緩慢，導(dǎo)致液體不能被充分取樣，液體的結(jié)構(gòu)在實(shí)驗(yàn)時(shí)間尺度上出現(xiàn)凍結(jié)，該過(guò)程被稱為玻璃化轉(zhuǎn)變，最終產(chǎn)生的物質(zhì)就是玻璃. 降溫速率越慢，液體在各個(gè)溫度下的弛豫時(shí)間就越長(zhǎng)，結(jié)果導(dǎo)致Tg隨降溫速率增加而增加. 降溫速率較慢時(shí)在Tga處發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變，降溫速率較快時(shí)在Tgb處發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變[14]. 因此玻璃的性質(zhì)依賴于制備過(guò)程.

圖4 液體體積和能量對(duì)溫度的依賴關(guān)系[14]

研究發(fā)現(xiàn)，Tg對(duì)降溫速率的依賴比較小(降溫速率變化幾個(gè)量級(jí)，Tg僅改變3～5 K)，因此，即使Tg不扮演相變溫度的角色，也是重要的材料特性. 當(dāng)降溫至低于Tg時(shí)，物質(zhì)仍會(huì)朝著平衡態(tài)緩慢演化，但在實(shí)驗(yàn)時(shí)間尺度上，物質(zhì)永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到平衡態(tài)，物質(zhì)的物理性質(zhì)隨著時(shí)間緩慢演化，這個(gè)過(guò)程被稱為老化(Aging).

黏度η是流體黏滯性的量度，是流體流動(dòng)對(duì)其內(nèi)部摩擦現(xiàn)象的一種表現(xiàn). 在室溫下，水的黏度較小，為10-2Pa·s量級(jí). 實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)降溫至Tg附近時(shí)，過(guò)冷液體的黏度快速增加，可以達(dá)到1014Pa·s甚至更高. 為了方便比較不同材料的性質(zhì)，定義玻璃化轉(zhuǎn)變?yōu)檫^(guò)冷液體黏度達(dá)到η(Tg) =1012Pa·s. 將黏度隨溫度變化的關(guān)系作圖，橫軸用Tg重新歸一(Angell-畫(huà)法)，如圖5所示. 可以發(fā)現(xiàn)黏度對(duì)溫度有很強(qiáng)的依賴關(guān)系. 在對(duì)數(shù)-線性坐標(biāo)下，圖5中的直線近似滿足阿雷尼厄斯行為，這類體系被稱為“強(qiáng)”過(guò)冷液體；下凹曲線滿足超阿雷尼厄斯行為，稱為“脆”過(guò)冷液體. 圖中黏度的數(shù)值跨越了16個(gè)量級(jí)[15].

圖5 不同過(guò)冷液體的黏度對(duì)溫度倒數(shù)的依賴關(guān)系[15]

3.2 玻璃的典型特征

在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理中，材料的結(jié)構(gòu)決定其動(dòng)力學(xué). 例如，液體是無(wú)序的，因此可以流動(dòng)和弛豫；晶體是有序的，因此不能流動(dòng)和弛豫. 材料結(jié)構(gòu)的改變會(huì)導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)的變化，例如液體到晶體的熱力學(xué)相變. 但是玻璃化轉(zhuǎn)變顯然不符合這一物理現(xiàn)象，由于其結(jié)構(gòu)被禁錮，過(guò)冷液體的動(dòng)力學(xué)變慢，但此時(shí)仍然維持液體結(jié)構(gòu). 這就在玻璃研究領(lǐng)域產(chǎn)生了非?；A(chǔ)的問(wèn)題：玻璃化轉(zhuǎn)變中觀測(cè)到的結(jié)構(gòu)禁錮只是動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，還是液體到玻璃態(tài)的熱力學(xué)相變導(dǎo)致的結(jié)果？玻璃化轉(zhuǎn)變伴隨著一些獨(dú)特的現(xiàn)象，如何解釋這些現(xiàn)象是所有玻璃化轉(zhuǎn)變理論必須面對(duì)的問(wèn)題.

3.2.1 動(dòng)力學(xué)變慢

玻璃化轉(zhuǎn)變前后，巨大的動(dòng)力學(xué)變化可以用中級(jí)散射函數(shù)Fs(k,t)來(lái)表征

(2)

靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子是連接實(shí)驗(yàn)分析與數(shù)值模擬的重要物理量，用來(lái)表征粒子位置的空間關(guān)聯(lián).圖6所示為不同溫度下倫納德-瓊斯系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子

(3)

S(k)對(duì)溫度只有微弱的依賴關(guān)系.如圖6所示，在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度附近，粒子運(yùn)動(dòng)變緩，最終被凍結(jié)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)發(fā)生了巨大變化，弛豫時(shí)間τ增加了3個(gè)數(shù)量級(jí)，結(jié)構(gòu)卻幾乎不變，這給理解玻璃化轉(zhuǎn)變帶來(lái)了更大的挑戰(zhàn).

圖6 倫納德-瓊斯系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子[16]

3.2.2 動(dòng)力學(xué)異質(zhì)性

隨著溫度降低或者密度增加，系統(tǒng)弛豫逐漸變慢.圖7所示為二維過(guò)冷液體的空間軌跡圖，其中粒子移動(dòng)超過(guò)粒子直徑標(biāo)為深紅色，粒子沒(méi)有移動(dòng)標(biāo)為深藍(lán)色.可以明顯看到，移動(dòng)快的粒子聚集在一起，移動(dòng)慢的粒子同樣聚集在一起.這是玻璃化轉(zhuǎn)變的另一個(gè)典型特征——?jiǎng)恿W(xué)異質(zhì)性.

圖7 二維過(guò)冷液體中的粒子軌跡圖[17]

為了說(shuō)明這一點(diǎn)，可以計(jì)算系統(tǒng)單粒子均方位移，Δi(t)=|ri(t)-ri(0)|2，結(jié)果如圖8所示.系統(tǒng)的平均均方位移如圖8中光滑的直線所示，而單粒子均方位移展現(xiàn)了系統(tǒng)在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度附近的更多特征.可以發(fā)現(xiàn)，粒子的軌跡分為長(zhǎng)時(shí)間圍繞其自身的振動(dòng)和由于動(dòng)力學(xué)漲落而造成的快速跳躍.

圖8 系統(tǒng)在接近玻璃化轉(zhuǎn)變溫度時(shí)的單粒子均方位移圖[18]

3.2.3 反常的熱力學(xué)響應(yīng)

鄰三聯(lián)苯是有機(jī)溶劑，因其易于形成玻璃態(tài)而在實(shí)驗(yàn)中被廣泛使用.實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)鄰三聯(lián)苯在降溫或者升溫 (從過(guò)冷液體進(jìn)入或者離開(kāi)非平衡的玻璃態(tài))過(guò)程中出現(xiàn)明顯的滯回現(xiàn)象[19].如圖9所示，在降溫過(guò)程中，比熱的值從液體區(qū)域下降到類似固體區(qū)域.比熱的變化量ΔCp在某種程度上被看作玻璃形成能力的重要指標(biāo)，也可以根據(jù)液體的彈性響應(yīng)來(lái)理解.

圖9 鄰三聯(lián)苯的比熱隨溫度的變化關(guān)系[19]

圖9可以看出降溫和升溫過(guò)程中比熱不對(duì)稱.在升溫過(guò)程中，比熱曲線先出現(xiàn)1個(gè)峰再回到液體的值.這種不對(duì)稱表明實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的液體到玻璃的轉(zhuǎn)變是非平衡現(xiàn)象.其他熱力學(xué)響應(yīng)，例如比熱容、折射系數(shù)等，也表現(xiàn)出類似行為.

3.3 帕里西的工作

3.3.1 自旋玻璃體系

自旋玻璃是本身無(wú)序，并且在轉(zhuǎn)變溫度Tf處出現(xiàn)凍結(jié)轉(zhuǎn)變的一類無(wú)序磁性體系.自旋玻璃中的玻璃來(lái)源于其類似于玻璃化轉(zhuǎn)變的、凍結(jié)的無(wú)序結(jié)構(gòu)，并且這種無(wú)序性導(dǎo)致了相互沖突的磁矩排布，即阻挫.例如，用非磁性原子稀釋近鄰是鐵磁相互作用，稀釋次近鄰是反鐵磁相互作用的伊辛模型.這時(shí)帶有磁性的原子隨機(jī)擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，使得磁性原子隨機(jī)占據(jù)格點(diǎn)位置，形成自旋玻璃，如圖10所示.在低溫時(shí)(T0)，虛線表示次近鄰間帶有反鐵磁相互作用(Jnnn<0).原來(lái)所有格點(diǎn)都有磁性原子，稀釋得到自旋玻璃以后，磁性原子隨機(jī)占據(jù)每個(gè)格點(diǎn)，并且導(dǎo)致局域自旋的阻挫.

圖10展示了自旋玻璃相是無(wú)序結(jié)構(gòu)的原因：?jiǎn)蝹€(gè)磁矩周圍的近鄰和次近鄰格點(diǎn)位置隨機(jī)地被磁性原子占據(jù)，局域上看有的地方鐵磁作用起效，有的地方反鐵磁作用起效，形成阻挫，但總體加起來(lái)沒(méi)有長(zhǎng)程有序的宏觀狀態(tài)存在.阻挫現(xiàn)象是自旋玻璃的特征之一.

圖10 鐵磁體經(jīng)過(guò)非磁性原子稀釋后，體系從鐵磁體轉(zhuǎn)變?yōu)樽孕Ａ20]

用簡(jiǎn)單的例子來(lái)展現(xiàn)阻挫現(xiàn)象.如圖11所示，在只有3個(gè)格點(diǎn)的伊辛模型中，施加小的外場(chǎng)，如果3個(gè)格點(diǎn)上的磁矩都滿足鐵磁相互作用，這時(shí)所有格點(diǎn)上的磁矩都朝向外場(chǎng)所指方向；如果磁矩滿足反鐵磁相互作用，圖11中能量最低態(tài)需要所有相鄰格點(diǎn)的自旋取向相反，那么無(wú)論如何搭配，均無(wú)法避免阻挫.例如，如果位于左下頂點(diǎn)的自旋方向向上，由于反鐵磁相互作用，位于上頂點(diǎn)的自旋方向應(yīng)該向下，這時(shí)位于右下頂點(diǎn)的自旋不論向上或向下，都無(wú)法同時(shí)滿足另外2個(gè)已定的自旋方向.

圖11 三格點(diǎn)情況下反鐵磁體展現(xiàn)出的阻挫現(xiàn)象[9]

相比于位置無(wú)序的結(jié)構(gòu)玻璃體系，只有格點(diǎn)無(wú)序的自旋玻璃體系相對(duì)簡(jiǎn)單，但已經(jīng)體現(xiàn)出復(fù)雜系統(tǒng)的諸多特性，也催生出了對(duì)于非平衡態(tài)系統(tǒng)的許多思考，因而從20世紀(jì)70年代開(kāi)始，吸引了大批凝聚態(tài)物理學(xué)家的關(guān)注.

3.3.2 無(wú)序系統(tǒng)中的平均與副本方法

平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中，平衡態(tài)體系的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)的時(shí)間尺度.因此，一般認(rèn)為平衡態(tài)體系具有各態(tài)歷經(jīng)性，此時(shí)觀測(cè)量的平均值既可以用時(shí)間平均，也可以用系綜平均的方法得到，二者等價(jià).

處在非平衡態(tài)的自旋玻璃，情況更加復(fù)雜.從3.3.1的論述中發(fā)現(xiàn)，自旋玻璃需要同時(shí)用自旋磁矩μi和磁性原子占據(jù)格點(diǎn)位置的隨機(jī)變量xi來(lái)描述.對(duì)于某一觀測(cè)量A，計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值時(shí),先固定1組隨機(jī)變量{xi}對(duì)應(yīng)的位形，得到A的時(shí)間平均〈A〉T，然后用不同的{xi}產(chǎn)生的若干位形，進(jìn)行位形平均[〈A〉T]av.

一般來(lái)講，xi也可以發(fā)生漲落.當(dāng)xi的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)時(shí)間時(shí)，無(wú)序帶來(lái)的影響可以寫(xiě)入體系的哈密頓量中，配分函數(shù)可以寫(xiě)成簡(jiǎn)潔的形式，導(dǎo)致體系簡(jiǎn)化為純的統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)，外加帶有無(wú)序的有效哈密頓量.這時(shí)觀測(cè)量的統(tǒng)計(jì)平均與平衡態(tài)時(shí)的函數(shù)形式一樣，這種平均被稱為退火平均.例如體系的平均自由能F可以用

Fann=-kBTln [Z{xi}]av

(4)

來(lái)計(jì)算，其中Z{xi}為位形的配分函數(shù).

如果xi的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)時(shí)間，體系的無(wú)序結(jié)構(gòu)被凍住，1個(gè)位形的隨機(jī)變量固定在1組{xi}上不變，觀測(cè)量只能采用[〈A〉T]av來(lái)計(jì)算，這種平均叫做淬火平均.此時(shí)式(4)變?yōu)?/p>

[F]av=-kBT[lnZ{xi}]av，

(5)

注意到這里是對(duì)lnZ進(jìn)行位形平均.

在計(jì)算自由能的統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)，位形平均作用在lnZ，而非配分函數(shù)Z本身上，這也是無(wú)序系統(tǒng)理論的困難之處.為了解決這個(gè)問(wèn)題，愛(ài)德華茲(S. F. Edwards)等人提出了副本技巧[21-22]. 副本技巧依賴于

(6)

3.3.3 謝林頓-柯克帕特里克模型與副本對(duì)稱解

從實(shí)驗(yàn)抽象出正確的理論模型需要考慮很多問(wèn)題.如果模型太簡(jiǎn)化，可能無(wú)法定性地符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果；太符合實(shí)際，又會(huì)因?yàn)檫^(guò)于復(fù)雜而無(wú)法求解.一般地，可以從相對(duì)粗粒化，同時(shí)略去許多微觀細(xì)節(jié)的模型入手.愛(ài)德華茲和安德森于1975年開(kāi)拓性地提出了愛(ài)德華茲-安德森模型[22]，指出自旋玻璃的模型可以基于伊辛格點(diǎn)模型，而格點(diǎn)的相互作用常量按照合理的分布給出，例如

(7)

(8)

通過(guò)3.3.2提到的副本方法，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，愛(ài)德華茲-安德森模型有簡(jiǎn)單的解.但是當(dāng)把n連續(xù)化并求趨向于0的極限時(shí)，這個(gè)模型不能繼續(xù)下去.

1975年，謝林頓(D. Sherrington)和柯克帕特里克(S. Kirkpatrick)提出了自旋玻璃的平均場(chǎng)理論模型，即謝林頓-柯克帕特里克模型[23]. 他們指出，在愛(ài)德華茲-安德森模型的基礎(chǔ)上，如果把相互作用長(zhǎng)度改為無(wú)窮遠(yuǎn)，以致于所有格點(diǎn)間的相互作用常量的P(Jik)對(duì)于任意1對(duì)格點(diǎn)都相等，這時(shí)平均場(chǎng)得到的解是精確解.該模型與愛(ài)德華茲-安德森模型一樣，在把副本方法中的n變?yōu)檫B續(xù)實(shí)數(shù)時(shí)遇到了困難，這時(shí)序參量qαβ是無(wú)窮維的矩陣，其中α,β為副本的指標(biāo)，0≤α,β≤n，并且是連續(xù)實(shí)數(shù).通過(guò)做出副本對(duì)稱假設(shè)來(lái)解決該問(wèn)題，即序參量qαβ=q，其中α≠β.該模型在某些方面定性地符合自旋玻璃的實(shí)驗(yàn)，例如磁化率在Tf處出現(xiàn)的尖端等. 然而該模型表現(xiàn)出許多問(wèn)題：在TTf時(shí)，能量圖景中只有1個(gè)熱力學(xué)意義上極大概率的谷；而在T

圖12 自旋玻璃的自由能隨相空間坐標(biāo)的變化[20]

3.3.4 副本對(duì)稱性破缺與帕里西解

帕里西也意識(shí)到能量圖景的多谷狀態(tài)和溫度降低時(shí)體系所發(fā)生的副本對(duì)稱性破缺的問(wèn)題，并從序參量入手來(lái)改進(jìn)謝林頓-柯克帕特里克模型，通過(guò)一系列工作最終得到謝林頓-柯克帕特里克模型的精確解[24]. 重新定義序參量來(lái)反映能量圖景中的多谷性質(zhì)，如下

(9)

其中α,β為副本的指標(biāo)，并且0≤α,β≤n，所以qαβ是無(wú)窮維度的矩陣.qαβ的對(duì)角元給出了某個(gè)副本的重疊程度，非對(duì)角元度量了α和β副本的相似程度.

帕里西解說(shuō)明：在T

4 結(jié)束語(yǔ)

玻璃態(tài)材料作為一類典型的復(fù)雜系統(tǒng)，其研究領(lǐng)域既古老又活躍，安德森認(rèn)為“理解玻璃以及玻璃化轉(zhuǎn)變的物理本質(zhì)是極為困難的，這是固體理論中最高深、最有趣的待解決問(wèn)題”[25]. 而氣候變化與人類生存息息相關(guān). 霍金(S. Hawking)在給畢業(yè)生的建議中提到21世紀(jì)是復(fù)雜系統(tǒng)的時(shí)代. 美國(guó)科學(xué)史家、科學(xué)哲學(xué)家?guī)於?T. Kuhn)指出某學(xué)科成熟的標(biāo)志是建立科學(xué)范式，而復(fù)雜系統(tǒng)的研究仍在快速發(fā)展中，至今沒(méi)有與之相適應(yīng)的范式，缺乏完備的理論基礎(chǔ). 2021年的3位諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者為人們從微觀到整體理解復(fù)雜系統(tǒng)的物理機(jī)制做出了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，也激勵(lì)了廣大科研工作者繼續(xù)探索神秘而有趣的復(fù)雜系統(tǒng).