盧英杰，徐金輝，陳麗潔，吳科延，黃曼莉，羅國平，古 迪

(廣東石油化工學(xué)院 理學(xué)院，廣東 茂名 525000)

折射和擴散現(xiàn)象在生活中十分常見，液相的折射率及擴散系數(shù)是液相物質(zhì)的重要參量，借助液相折射率可了解液相的光學(xué)性能、濃度、色散和純度等性質(zhì)，而擴散系數(shù)是描繪不同濃度的液相之間的質(zhì)量傳遞行為的物理量，反映了物質(zhì)分子或原子等擴散速率的大小，在化學(xué)電池、生物燃料、生物化學(xué)和細胞生物學(xué)等科學(xué)及工程領(lǐng)域均有著重要應(yīng)用[1-4]. 擴散系數(shù)可基于菲克第二定律間接求解由溶液擴散引起的濃度變化而得，該方法屬于通過分析測量溶液濃度變化而得到擴散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)測量法[5]，其測量結(jié)果較為準(zhǔn)確. 常用于液體折射率測量方法包括阿貝折射儀測試法[6]、激光折射法[7-9]和等高度測量法[5,10]等. 本文在高等測量法的基礎(chǔ)上，利用三棱柱液柱透鏡對光線的折射作用，測量特定時刻特定高度的擴散層的折射率，即可求解待測液體的擴散系數(shù). 此外，本實驗項目可作為大學(xué)物理設(shè)計性實驗或拓展實驗，可有效鍛煉學(xué)生的實驗操作能力，還能培養(yǎng)學(xué)生開展實驗的探究性思維.

1 實驗原理

菲克第一定律由菲克于1855年提出，表述為：在單位時間內(nèi)通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質(zhì)流量J(稱為擴散通量)與該截面處的濃度梯度成正比.其表達式為

(1)

擴散物質(zhì)在擴散介質(zhì)中的濃度分布隨時間發(fā)生變化的擴散常稱為非穩(wěn)定擴散，其擴散通量隨位置與時間變化.對于非穩(wěn)態(tài)擴散，可根據(jù)物質(zhì)的平衡關(guān)系建立第二擴散微分方程.在非穩(wěn)態(tài)擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等于該處的擴散通量隨距離變化率的負值，即菲克第二定律，其表達式為

(2)

如果擴散系數(shù)D隨x變化不大，可近似看成常量，則式(2)可寫為

(3)

其中,t為擴散時間.固溶體中溶質(zhì)原子的擴散系數(shù)D隨濃度變化，但為了方便求解擴散方程，可將D看作恒量處理.根據(jù)初始條件和邊界條件，采用變量代換法求解擴散方程可得：

(4)

E(β)=0.007 3β6-0.085 9β5-0.373 8β4-

0.661 1β3+0.084β2+1.124 5β-0.005.

(5)

在實驗過程中通過測得擴散液體高度x及對應(yīng)時間t，即可求得擴散系數(shù)D.

2 實驗裝置

本實驗裝置如圖1(a)所示，包括：紅光一字型激光發(fā)射器(650 nm，5 mW),焦距為30 cm的凸透鏡,41 mm×35.5 mm×49.8 mm的中空三棱柱液柱透鏡(厚度為2.491 mm)和光屏. 具體實驗過程如下：1)由激光器發(fā)射的線狀光束經(jīng)凸透鏡轉(zhuǎn)化為平行光束后，穿過透鏡內(nèi)的液體后會發(fā)生折射，最后到達光屏；由于光通過液柱透鏡時發(fā)生折射，將在光屏D上顯示出光束隨著時間變化的曲線；2)利用VCdemo(維視采集卡演示程序)軟件控制攝像機(內(nèi)置CMOS)拍攝固定位置處180個時間間隔(固定間隔為30 s)的實驗圖像，通過MV-U2000圖像采集卡采集并存儲每個時刻的照片數(shù)據(jù)，觀察并分析不同時刻的數(shù)據(jù),最終得到液體擴散系數(shù).

“1959年，我與石魯奉調(diào)北京創(chuàng)作革命歷史畫。我們一起住在雨兒胡同白石老人的故居。當(dāng)時我接到的創(chuàng)作題目是《毛澤東同志在廣州農(nóng)民運動講習(xí)所》，他接到的題目是《轉(zhuǎn)戰(zhàn)陜北》。開始創(chuàng)作時，我就遇到技術(shù)上的問題，農(nóng)講所頂樓的大塊瓦片怎么才能表現(xiàn)出層次？石魯告訴我，不要考慮那么多西洋畫的透視觀念，他讓我用傳統(tǒng)國畫的方法，一層層地按照瓦片的結(jié)構(gòu)畫。為此他還給我示范，邊講邊畫，畫了農(nóng)講所，還畫了石頭、竹子等南方景觀，我于是受到啟發(fā)。至今他為我畫的這幅草稿還藏在我家里?！?/p>

如圖1(b)～(c)所示，由于本實驗配置的鹽水濃度較小，三棱柱液柱透鏡內(nèi)液體的擴散可簡化為一維問題來處理，可看作擴散僅在豎直方向上發(fā)生，則同一高度處的液面薄層濃度近似相等，因此由激光器發(fā)射而來的光束僅在平行于y-O-z面的平面內(nèi)發(fā)生折射. 圖1(b)～(c)中的a表示三棱柱內(nèi)表面的距離，本實驗器材中的a最大為34.64 mm，遠小于光線在擴散層內(nèi)發(fā)生較大且明顯彎曲的值[11].

(a)實物圖

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 鹽水折射率的測量

實驗過程中，先將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內(nèi)；接著用膠頭滴管將純水緩緩注入鹽水表面；純水注入完畢后靜置一段時間，再開始記錄實驗圖像. 同時，激光發(fā)出的光束經(jīng)過凸透鏡后平行于水平面，在液體不同深度均有光線通過. 由于鹽水與純水的濃度差，隨著2種液體擴散，形成擴散層，液體分界面將變得模糊. 擴散層中的液體，不同深度則濃度不同，其折射率隨深度增加而變化，形成動態(tài)分層. 由圖1(b)所示，實驗前測量出實驗儀器的相關(guān)參量：中空三棱柱液柱透鏡的厚度d=2.491 mm,入射棱柱面與y軸的夾角α=28.93°,出射棱柱面與y軸的夾角β=30.63°,內(nèi)頂點與x軸的垂直距離y0=32.0 mm,發(fā)射光源與x軸的垂直距離y1=29.0 mm,光屏與坐標(biāo)系原點的水平距離x5=260.0 mm.根據(jù)光穿過液柱透鏡發(fā)生折射而產(chǎn)生的偏移量|y1-y5|與待測液體的折射率n3之間的關(guān)系，得到待測液體折射率n3,實現(xiàn)了測量特定時間、特定位置處的液體薄層的折射率的目的.

如圖2所示，將測量數(shù)據(jù)輸入光路模擬程序中，即可得到|y1-y5|與折射率n3之間的關(guān)系曲線.

圖2 |y1-y5|與折射率n3的關(guān)系曲線

經(jīng)指數(shù)擬合得到|y1-y5|=0.392 3e4.319 2n3，從而可推出其反函數(shù)為

(6)

顯然，只需測出光發(fā)生折射后所產(chǎn)生的偏移量|y1-y5|，將其代入式(6)，即可得到液體的折射率n3.

3.2 鹽水在純水中擴散系數(shù)的測量

本實驗屬于非穩(wěn)態(tài)液相擴散系數(shù)的測定方法. 實驗步驟如下：1)將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內(nèi)；2)靜置一段時間后用膠頭滴管將純水緩緩沿內(nèi)壁注入鹽水表面；3)將純水與鹽水剛接觸時的時間記為t=0 s[圖3(a)]，每30 s采集擴散圖像，共采集180組數(shù)據(jù)圖像. 在純水緩慢注入的過程中；當(dāng)t=330 s時，鹽水和純水的折射曲線較為穩(wěn)定，邊界清晰，如圖3(b)所示.

(a)0 s (b)330 s

圖3(a)～(d)為光屏所記錄不同時刻的折射曲線，不同時刻折射曲線的彎曲程度不同，得到了鹽水在純水?dāng)U散的動態(tài)過程. 實驗過程中，通過不同時刻的折射曲線，進一步測得其偏移量. 如圖4所示，左上方的1條豎線(直線MN)為直接穿過液柱透鏡的空氣部分的光束在光屏上的投影，右側(cè)曲線(曲線ABCDE)為穿過三棱柱液柱透鏡中擴散液體時發(fā)生折射后所產(chǎn)生的折射率分布曲線圖.a.清水部分(直線AB)的折射率因液體濃度未改變而一直呈1條豎直的直線，從清水下方的擴散層開始至分界面附近(曲線BC)，折射率梯度將逐漸增大，即隨深度的增加而光線向下彎曲的程度越大直至最大(即曲線的拐點處)，接著從分界面處至鹽水上方的擴散層處(曲線CD)，折射率梯度將逐漸減小，即隨深度的增加，光線向下彎曲的程度越小；b)鹽水部分(直線DE)因液體濃度未變而呈1條直線.

圖4 偏移量的測量示意圖

由于實驗條件的限制，實驗裝置本身存在的儀器誤差難以避免，導(dǎo)致所得數(shù)據(jù)和理論值之間存在誤差.所以，該實驗選取了4組不同濃度的鹽水進行校準(zhǔn).通過測量實測值和理論值之間的誤差，對本實驗所測得的數(shù)據(jù)進行修正，從而得到更準(zhǔn)確的實驗效果.因此，在測得光經(jīng)過擴散液體而發(fā)生折射的偏移量|y1-y5|后，需利用表2測得的誤差平均值(-5.8 mm)對其進行校準(zhǔn)，從而得到更準(zhǔn)確的實驗數(shù)據(jù).

表1 理論值與測量值的誤差

實驗過程中所選擇的溶液高度要適當(dāng)，如過高，溶液濃度變化較小，導(dǎo)致圖像的寬度變化較小，易造成較大的計算誤差；如過低，溶液濃度梯度變化較大，此時擴散系數(shù)D是關(guān)于濃度的函數(shù)，不能將其看作常量，此時菲克第二定律不成立. 為確定合適的高度觀測范圍，隨機選取不同高度處的液面薄層在4個不同時刻的測量數(shù)據(jù)，將其作為已知量代入式(3)，分別得到對應(yīng)時刻、不同高度處液面薄層的擴散系數(shù)，并與參考文獻值進行比較，可得到相對誤差. 最后將這些誤差進行線性擬合，得到4個時刻不同高度處液面薄層測得的擴散系數(shù)相對誤差擬合直線，如圖5所示. 若使測得數(shù)據(jù)的相對誤差接近于0，x應(yīng)選取2.2～2.9 mm范圍為宜. 因此，選取10組處于2.2～2.9 mm高度范圍內(nèi)的液面薄層計算其擴散系數(shù)，并統(tǒng)計擴散系數(shù)的平均值，如圖6所示.

(a)1 800 s

圖6 不同高度處測得的擴散系數(shù)

擴散系數(shù)均勻分布在1.37×10-3～1.63×10-3mm2/s之間，且10組擴散系數(shù)的統(tǒng)計平均值為1.50×10-3mm2/s，與文獻值1.49×10-3mm2/s[5]相近，說明該實驗具有可行性.

4 結(jié)束語

本文通過三棱柱液柱透鏡中液相擴散層的光束折射到光屏上獲得折射率分布曲線，由折射率分布曲線計算出液體的折射率；根據(jù)菲克第二定律在一維無限長擴散下的解，測得2 mol/L鹽水在純水中的擴散系數(shù)為D=1.50×10-3mm2/s，該實驗測量值與文獻參考值1.49×10-3mm2/s相一致. 該方法所需儀器簡單，實驗結(jié)果準(zhǔn)確性較高. 在測量液體折射率和擴散系數(shù)的基礎(chǔ)上，可以在食品、日用化學(xué)產(chǎn)品及制藥工業(yè)等領(lǐng)域有較好的應(yīng)用潛力.