安 林，韓保山，李 鵬,2，代振華,3，王新苗

(1.中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西 西安 710077；2.西安科技大學 地質與環(huán)境學院，陜西 西安 710054；3.煤炭科學研究總院，北京 100013)

煤礦智能化、少人化是實現煤礦安全的重要途徑之一。目前，煤礦智能化建設的新高潮正在全國興起[1-2]。煤礦智能化經歷可視遠程干預、工作面自動找直、基于透明工作面智能割煤、全智能化自適應開采4 個階段[3-4]，目前正處于透明工作面智能割煤技術關鍵階段。透明工作面智能割煤技術通過三維地震、井巷和鉆孔測量等探測手段獲取工作面的實際展布情況，在分析上述數據后，利用不同的插值算法建立工作面模型，進而指導采煤機開采工作[5]。在三維地質建模過程中，采樣數據是工作面建模的基礎，插值是工作面模型實現的必經途徑。采樣數據量的大小和插值算法在不同程度上影響工作面模型的精確度，定量研究工作面模型精確度影響因素將對插值算法優(yōu)選和采樣數據獲取量提供重要的參考價值。

空間插值是一種通過這些離散的空間采樣數據計算未知空間數據的方法[6-7]，目前常用的空間插值方法有函數插值[8]、克里金插值[9-11]和光滑離散插值(Discrete Smooth Interpolation，DSI)。由于地質信息的不確定性，函數插值算法在地學模擬上鮮有應用。而克里金算法較為符合地學規(guī)律，因此，目前運用于地學建模軟件的插值多以克里金插值算法為主。DSI 插值算法[12-13]是依賴于網格節(jié)點的拓撲關系，不以空間坐標為參數，是一個無維數的插值方法，能夠很好地解決逆斷層、陷落柱等多Z(同一位置具有多個Z值)的插值問題，但實現難度較大，鮮有應用。目前，行業(yè)內對于地質模型精確性主要集中在插值算法對模型精確度的影響研究[13-14]，因而存在著數據量越大模型越精確的共識，但鮮有人定量研究數據量對于模型精度的影響。

筆者在收集工作面探測資料的基礎上，通過交叉驗證的方法，計算函數插值、DSI 插值、克里金插值平均絕對誤差和均方根誤差，對比分析不同插值算法對模型精度的影響。為分析數據量大小對模型精度的影響，提出了相對間距誤差。通過計算1%～90%數據量的相對間距誤差，得到數據量大小與相對間距誤差之間的關系，從而為不同網格間距下最低采樣數據量提供參考。

1 智能工作面建模

1.1 建模數據來源及流程

透明工作面建模[15-16]主要包括3 個部分：實測數據獲取、地質資料分析、地質模型建立。首先，通過巷道實測、地面鉆孔、本煤層鉆孔、孔中雷達、三維地震、槽波探測等方法獲取實測數據。然后根據工作面的沉積條件、構造起伏等地質條件分析工作面內是否存在地質異常。最后在實測數據導入和地質分析的基礎上，通過插值計算，建立工作面透明模型。

1.2 建模插值算法

1) 函數插值算法

函數插值的基本原理是：假定區(qū)間[a,b]上的實值函數f(x) 在該區(qū)間上n+1 個互不相同點x0,x1,···,xn處的值是f(x0),f(x1),···,f(xn)，要求估算f(x)在[a,b]中某點x*的值?；舅悸肥牵赫业揭粋€函數P(x)，在x0,x1,···,xn的節(jié)點上與f(x)函數值相同(有時，甚至一階導數值也相同)，用P(x*)的值作為函數f(x*)的近似。比如反距離加權(Inverse Distance Weighted，IDW) 插值法[17]、趨勢面法[18]、樣條函數法[19]等。

2) 克里金插值算法

克里金插值算法也稱為空間自協方差最佳插值法，它是以南非礦業(yè)工程師D.G.Krige[20]的名字命名的一種最優(yōu)內插法，以變異函數理論和結構分析為基礎，適用于區(qū)域化變量存在空間相關性。假設存在空間相關性且所有隨機誤差都具有二階平穩(wěn)性。其表達式為：

3) DSI 插值算法

DSI 插值算法是法國南錫大學J.L.Mallet 教授[12-13]提出的。通過對一個離散化的自然體模型，建立相互之間聯絡的網絡，如果網絡上的點的值滿足某種約束條件，則未知結點的值可以通過解一個線性方程組得到。該方法依賴于網格節(jié)點間的拓撲關系，不以空間坐標為參數，是一個無維數的插值方法。

針對網格節(jié)點上φ值的估計問題，DSI 插值算法建立了計算網格節(jié)點φ最優(yōu)解目標函數：

式中：R(φ)為 全局粗糙度函數，ρ(φ)為線性約束違反度函數。

為使目標函數R*(φ)達到最小，需要達到以下2 個條件：(1) 使全局粗糙度函數R(φ)達到最小，從而盡可能使在任意節(jié)點上的函數值逼近該點鄰域內節(jié)點的均值，即使每個節(jié)點的φ值盡可能平滑。(2) 將原始采樣數據轉化成定義在一些節(jié)點上的線性約束，使線性約束的違反度ρ(φ)達到最小，即使線性約束符合程度達到最大，從而使相關節(jié)點的φ值盡可能逼近采樣數據。

2 誤差分析方法

本次研究通過采用交叉驗證[20]的方法來評價插值方法的優(yōu)劣。該方法首先假設某些值未知，用周圍站點的實測數據通過空間插值來估算該待估點的值，輪流變換待估點，如此反復之后，得出與實測值一一對應的值。將實測值和預測值的均方根誤差(ERMS)、平均絕對誤差(EMA)作為結果的檢驗標準[21-22]，EMA可以估算預測值可能的誤差范圍，ERMS可以反映利用樣點數據的估值靈敏度和極值效應。因此，通過計算平均絕對誤差和均方根誤差，可為基于模型精度的插值算法優(yōu)選提供參考。

式中：ERMS為均方根誤差，EMA為平均絕對誤差，xi為第i個點的預測值，yi為第i個點的實測值，n為檢驗點的個數。

工作面模型要求精度較高，網格大小要求厘米級甚至毫米級。在這種情況下，對網格上全部點進行采樣，進而分析數據量的大小對插值誤差的影響是不切實際的。因此，本文利用衛(wèi)星高程數據模擬地層高程進行等間距取樣，以此研究數據量的大小對于模型精度的影響。

為了消除衛(wèi)星高程數據采樣密度大(通常為120、90、30 m)與實際工作面間距不匹配，難以用絕對平均誤差和均方根誤差評價模型誤差大小。因此，本文提出相對間距誤差(EWA)，作為評價模型精確度的方法，用于表明在同等間距條件下，不同數據量大小對模型精度的影響。并且可以通過相對間距誤差計算工作面采樣密度下的模型誤差大小，以此為采樣數據密度和采樣數據量提供參考。

式中：L為網格間距。

3 誤差分析

3.1 插值算法

利用全站儀獲取某工作面的平面坐標和高程，工作面長度為800 m，每隔20 m 獲取1 個點，全站儀測量誤差為0.001 m，平均高程為838.326 m，最小高程為826.893 m，最大高程為849.142 m，共81 個數據點。

對這81 個點按順序進行編號，依次抽取3、11、19、27、35、43、51、59、67、75 號點，將剩余的71 個高程點分別作為10 個數據組。這10 組數據利用函數插值、克里金插值和DSI 插值3 種插值算法計算得到抽出點的高程值，將3 種插值算法計算得到的估計值與實際值進行對比。

其中，函數插值和克里金插值由surfer 軟件計算生成?？死锝鸩逯捣椒ㄟx用的是簡單克里金插值，默認插值參數；函數插值選用的插值方法是多項式插值(Polynomial Regression)，參數設置選用三次曲面(Cubic Surface)；DSI 插值使用自編的Matlab 程序，設置各點權函數值為1。通過3 種插值算法得到各點估計值，計算結果對比如圖1 所示。

從圖1 可以發(fā)現，通過3 種插值算法得到的估計值與實際值相差較小，這是由于采樣距離間距小，煤層起伏變化不大。為進一步分析3 種插值算法對模型精確度的影響，按照式(3)、式(4)分別計算3 種不同插值算法的平均絕對誤差和均方根誤差，結果見表1。

圖1 不同插值算法計算結果對比Fig.1 Comparison of interpolation results of different methods

通過分析表1，可以得到：DSI 插值的平均絕對誤差EMA、均方根誤差ERMS值要小于函數插值和克里金插值，因此，DSI 插值算法的可靠性最好，獲得的插值曲線更光滑，與地層的實際情況更加相符。

表1 不同插值算法誤差計算結果Table 1 Error calculation results of different interpolation algorithms 單位：m

3.2 數據量大小誤差分析

獲取未經插值某地衛(wèi)星高程原始數據，數據采樣密度為90 m×90 m，共206 080 個數據高程點。將上述高程數據進行均勻采樣，獲取采樣比例分別為1%、2%、3%、4%、5%、6%、7%、8%、9%、10%、40%、70%、90%的13 組數據。由于克里金插值算法相對DSI 插值算法更加成熟，計算量更大，而兩者誤差比較接近。因此，將13 組數據分別進行克里金插值計算，得到與原始數據量同等大小的估算數據。

為進一步分析數據量對模型精度的影響，按照式(5)分別計算不同采樣比例下的EWA值，得到不同采樣數據量的相對間距誤差分析圖，如圖2 所示。

圖2 不同采樣數據量的相對間距誤差分析Fig.2 Analysis of relative spacing error of different sample data volume

由圖2 和式(5)分析可知：

(1) 隨著采樣數據量的增加，模型的相對間距誤差逐漸減小。當采樣數據量為1%時，相對間距誤差在60%以上；當采樣數據量大于30%時，相對間距誤差降至10%以下。而且當采樣數據量大小為1%時，如果模型網格密度為1 m，模型的誤差大于0.6 m。因此，可以看出采樣數據量對插值誤差的影響很大。

(2) 當采樣數據量小于10%時，相對間距誤差下降幅度很大；但當采樣數據量大于10%時，其下降幅度趨于平緩，因此，建議在構建工作面模型時選取數據量大于10%。

4 實例應用

在透明工作面實際構建過程中，工作面模型精度對透明工作面效果具有重要的影響。插值算法和數據量大小是工作面模型精度2 個重要因素。因此，建議在透明工作面構建過程中，一方面，宜采用DSI 插值算法；另一方面，需要提高工作面數據量，為高精度模型提供數據支撐。

插值算法的選用容易實現，如何提高工作面數據量實現較為困難。根據相對間距誤差分析可知，對于300 m×1 000 m 的工作面，如果模型誤差要求為0.1 m，假設網格密度為1 m，所需數據量大于10%，則要選取采樣點大于30 000 個采樣點。而目前工作面兩巷的數據按照10 m 一個測量點計算，兩巷與切眼的測量數據總共為230 個點，相對于能夠達到目標精度所需的采樣點數量，目前已有數據量低于1%，達不到目標精度所需數據量。

因此，在構建地質模型過程中，必須要對模型進行局部動態(tài)更新，提高模型局部數據量，以此提高模型精度。隨著工作面不斷回采，不斷采集切眼處的數據，從而使工作面局部數據量得到增加，局部區(qū)域達到目標所需的數據量。如圖3 所示，a 區(qū)域的單位面積內數據量大于b 區(qū)域單位面積內的數據量，因此，插值后a區(qū)域的模型精度大于b 區(qū)域的模型精度。即切眼處的數據量大于工作面內部的數據量。為保證模型的精度，可以在回采過程中，不斷地補充切眼的數據，提高局部數據量，對模型進行更新。

圖3 工作面地質模型采樣數據Fig.3 Schematic diagram of the sampling data of the working surface geological model

在構建地質模型過程中，為了采樣數據量大于10%，可以根據工作面長、寬，計算得到最佳更新距離和切眼數據采樣間距。例如，對300 m 寬的工作面(模型誤差要求為0.1 m，假設網格密度為10 m)，距離切眼50 m 范圍內，數據總量為180 個點，采樣數據大于10%，即采樣數據大于18 個點，兩巷具有12 個數據點，因此，在切眼采樣數應大于6 個，切眼采樣間距應小于50 m 進行采樣。

5 結 論

a.根據交叉驗證法，對比分析克里金插值算法、函數插值算法、DSI 插值算法的平均絕對誤差、均方根誤差，得到3 種插值算法的穩(wěn)定性：DSI 插值算法的可靠性最好、克里金插值算法次之，函數差值算法最差。

b.采用提出的相對間距誤差，分析采樣數據量對模型精度的影響，研究發(fā)現：采樣數據量對插值誤差的影響較大；建議在構建工作面模型時，采樣數據量大于總數據量的10%。這解決了透明工作面建模采樣量大的問題，滿足了透明工作面建模高精度要求。

c.在實際構建地質模型過程中，宜采用DSI 插值算法作為透明工作面的插值算法。同時，為了采樣數據量大于總數據量的10%，可根據工作面長、寬，采樣數據量分析得到最佳更新距離和切眼數據采樣間距，提高工作面的局部數據量，對模型進行更新，提高模型精度。