張 坤，曲 正，鐘 興，李京宸，張 茜

（1.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都 610207；2.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.長光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，吉林 長春 130102）

1 引 言

變焦光學(xué)系統(tǒng)調(diào)節(jié)凸輪能夠使鏡頭的焦距連續(xù)地變化，從而使被觀測(cè)物體的成像倍率連續(xù)地變大［1］。因此，變焦光學(xué)系統(tǒng)不僅可以對(duì)感興趣的目標(biāo)進(jìn)行廣域的搜索，而且還能進(jìn)行精密的跟蹤和詳細(xì)的觀察［2-3］。變焦光學(xué)系統(tǒng)在目標(biāo)跟蹤、無人機(jī)光電吊艙、安防監(jiān)測(cè)以及攝影等諸多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用［4-6］。

變焦光學(xué)系統(tǒng)的變焦類型可分為4種：光學(xué)式變焦、機(jī)械補(bǔ)償式變焦、雙組聯(lián)動(dòng)式變焦和全動(dòng)型變焦。同其他變焦類型相比，機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)通過改變變倍組和補(bǔ)償組的相對(duì)位置，可以連續(xù)地改變整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的焦距，具有結(jié)構(gòu)簡單和研制成本低廉等優(yōu)點(diǎn)。然而，機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展了幾十年，卻仍然存在大變倍比和輕小型的設(shè)計(jì)矛盾［7-9］。2019年，張健等［10］利用正組補(bǔ)償結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一款焦距為30～300 mm的機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)，通過引入非球面和漸暈的方法把整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量從937 g減小到了584 g，但整個(gè)系統(tǒng)的長度仍然高達(dá)330 mm，其凸輪曲線也出現(xiàn)了拐點(diǎn)。2020年，劉圓等［11］設(shè)計(jì)了一款焦距為50～1 000 mm的機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)，該光學(xué)系統(tǒng)由28片球面透鏡組成，最大口徑為100 mm，總長為399.9 mm。2020年，劉云鵬等［12］設(shè)計(jì)了一款50倍五組變焦光學(xué)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的第二組元和第三組元是運(yùn)動(dòng)組元，第四個(gè)組元是一個(gè)可替換透鏡組元。整個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊，但論文中并沒有對(duì)該系統(tǒng)是否具有50倍連續(xù)變焦的功能進(jìn)行分析。

為了解決機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)大變倍比和輕小型設(shè)計(jì)之間的矛盾，本文對(duì)大變倍比變焦光學(xué)系統(tǒng)的光焦度分配方式進(jìn)行了理論分析，并利用平滑換根取段和變F數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)輕小型設(shè)計(jì)，從而提出了一種大倍率輕小型機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，使用全球面透鏡設(shè)計(jì)了一款焦距為7～210 mm的機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)，該變焦系統(tǒng)的最大口徑為67 mm，全長為190 mm。

2 原 理

2.1 大倍率變焦光學(xué)系統(tǒng)的光焦度分配

機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)應(yīng)用非常廣泛，其光學(xué)系統(tǒng)僅有兩條凸輪曲線，即一條直線和一條曲線。同雙組聯(lián)動(dòng)型變焦光學(xué)系統(tǒng)和全動(dòng)型變焦光學(xué)系統(tǒng)［12］相比，機(jī)械結(jié)構(gòu)更加簡單、研發(fā)成本更低。然而，機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)分為負(fù)組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)和正組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)兩種結(jié)構(gòu)，負(fù)組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)是整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的口徑大、長度短，正組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)的特點(diǎn)是整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的口徑小、長度長［13］。機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)中，前固定組、變倍組、補(bǔ)償組和后固定組的光焦度分配有多種形式［14］。

當(dāng)密接薄透鏡組位于空氣中時(shí)，透鏡組的位置色差和倍率色差分別為：

其中：N為薄透鏡組中薄透鏡的個(gè)數(shù)，φ為薄透鏡的光焦度，υ為透鏡的阿貝數(shù)，h為透鏡的半通光口徑，hz為主光線在透鏡表面上的入射高度。根據(jù)式（1）和式（2）可知，變焦光學(xué)系統(tǒng)前固定組的口徑越大，前固定組的色差越大。為了減小前固定組的色差，前固定組的光焦度越小越好，即焦距越大越好。

負(fù)組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)的口徑大、長度短。根據(jù)式（1）和式（2）可知，光學(xué)系統(tǒng)的口徑越大色差越大，色差校正越困難。根據(jù)球差方程：

其中：n為透鏡的折射率，i，i'分別表示光線的入射角和出射角，u為第一近軸光線的孔徑角。變焦光學(xué)系統(tǒng)的口徑越大，h越大，光學(xué)系統(tǒng)的球差越難校正。正組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)的口徑小、長度長。因此，與負(fù)組補(bǔ)償變焦光學(xué)系統(tǒng)相比，正組補(bǔ)償變焦光學(xué)系統(tǒng)對(duì)色差和球差的校正能力更強(qiáng)。綜上分析可知，在不使用特殊光學(xué)元件的時(shí)候，正組補(bǔ)償結(jié)構(gòu)更適合大倍率變焦光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

正組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)前固定組的光焦度通常為正值，后固定組的光焦度可為正值也可為負(fù)值。當(dāng)后固定組的光焦度為正值時(shí)，為了滿足光焦度分配方程，前固定組的正光焦度將變小。由式（1）和式（2）可知，前固定組的光焦度越小，位置色差和倍率色差就越小。因此，后固定組的光焦度為正值的正組補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)更有利于色差校正。

綜上所述，當(dāng)機(jī)械補(bǔ)償式變焦系統(tǒng)的前固定組、變倍組、補(bǔ)償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時(shí)，更有利于大倍率變焦光學(xué)系統(tǒng)的像差校正。

2.2 初始結(jié)構(gòu)計(jì)算

當(dāng)機(jī)械補(bǔ)償式變焦系統(tǒng)的前固定組、變倍組、補(bǔ)償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時(shí)，變焦光學(xué)系統(tǒng)的變焦原理如圖1所示。從圖1可知，機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)有4個(gè)組元，分別為前固定組、變倍組、補(bǔ)償組和后固定組，各組元對(duì)應(yīng)的光焦度分別為φ1，φ2，φ3和φ4。當(dāng)變焦光學(xué)系統(tǒng)位于短焦位置時(shí)，變倍組距離前固定組最近，補(bǔ)償組距離后固定組最近。當(dāng)變焦光學(xué)系統(tǒng)逐漸由短焦向長焦變化時(shí)，變倍組將逐漸向右遠(yuǎn)離前固定組，補(bǔ)償組向左遠(yuǎn)離后固定組，最后變倍組和補(bǔ)償組的距離達(dá)到最小值，此時(shí)光學(xué)系統(tǒng)的焦距最長。

在計(jì)算變焦光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)時(shí)，為了避免相鄰組元在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生碰撞，相鄰組元之間必須留有足夠的間距。這里利用高斯光學(xué)來計(jì)算變焦光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)［15］。

圖1 正組補(bǔ)償變焦光學(xué)系統(tǒng)原理Fig.1 Principle diagram of positive group compensation zoom optical system

在變焦光學(xué)系統(tǒng)中，假設(shè)變倍組和補(bǔ)償組的歸一化焦距分別為f2'和f3'，根據(jù)長焦距時(shí)變倍組和補(bǔ)償組的歸一化倍率m2l和m3l，可得變倍組與補(bǔ)償組之間的距離為：

變倍組從長焦距變化到短焦的總移動(dòng)距離為：

短焦時(shí)變倍組的倍率為：

根據(jù)變焦微分方程可得短焦距時(shí)補(bǔ)償組的倍率m3s：

補(bǔ)償組從長焦距變化到短焦的總移動(dòng)距離為：

變焦光學(xué)系統(tǒng)的總變倍比可表示為：

當(dāng)變焦光學(xué)系統(tǒng)在短焦時(shí)，前固定組和變倍組的距離為d12s，補(bǔ)償組與后固定組的距離為d34s，后固定組的倍率為m4s，則光學(xué)系統(tǒng)前固定組的焦距f1'為：

其中：l'3s表示光學(xué)系統(tǒng)在短焦時(shí)補(bǔ)償組的像距。

根據(jù)式（7）可知，變倍組的一個(gè)位置對(duì)應(yīng)補(bǔ)償組的兩個(gè)位置。因此，利用補(bǔ)償組的這兩個(gè)位置可以進(jìn)行換根，變焦光學(xué)系統(tǒng)的平滑換根原理如圖2所示。圖中，A1-A2-A3為變倍組的運(yùn)動(dòng)軌跡，B1-B2-B3和C1-C2-C3為補(bǔ)償組對(duì)應(yīng)的兩條運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖2 平滑換根原理Fig.2 Schematic diagram of smooth root exchange

若要保證補(bǔ)償組的運(yùn)動(dòng)曲線不出現(xiàn)拐點(diǎn)，必須使補(bǔ)償組的兩條運(yùn)動(dòng)曲線相切以實(shí)現(xiàn)平滑換根，即在B2和C2處相切。此時(shí)，相切處補(bǔ)償組的放大倍率m3m應(yīng)滿足：

平滑換根的補(bǔ)償組仍然具有兩條運(yùn)動(dòng)曲線，即B1-B2-B3和C1-B2-B3。從A1運(yùn)動(dòng)到A3的過程中，變倍組放大率的絕對(duì)值一直在增大。從C1運(yùn)動(dòng)到B2再運(yùn)動(dòng)到B3的過程中，補(bǔ)償組放大率的絕對(duì)值也一直在增大。因此，當(dāng)補(bǔ)償組的運(yùn)動(dòng)曲線為C1-B2-B3時(shí)，光學(xué)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)快速變焦。

綜上所述，根據(jù)式（4）～式（13）并利用參數(shù)設(shè)定的方法，可計(jì)算出f1'，f2'，f3'，f4'和各組元之間的距離。

3 變焦光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)指標(biāo)

光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)與用戶使用的要求和所選探測(cè)器的參數(shù)相關(guān)。本文所選探測(cè)器的像元尺寸為4.8μm×4.8μm，其對(duì)應(yīng)的奈奎斯特頻率為104 lp/mm。為了滿足廣域搜索和高分辨率觀察的應(yīng)用需求，變焦光學(xué)系統(tǒng)的詳細(xì)設(shè)計(jì)指標(biāo)如表1所示。

表1 變焦光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)Tab.1 Design parameters of zoom optical system

3.2 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

根據(jù)2.2節(jié)可知，式（4）～式（13）屬于欠定方程組，因此機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)具有多重解。為了快速有效地解算出較佳的初始結(jié)構(gòu)，本文提出了利用參數(shù)設(shè)定和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件聯(lián)合解算的方法。解算步驟如下：

（1）為了實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償組平滑換根，以變倍組和補(bǔ)償組的放大倍率為-1作為計(jì)算的起始狀態(tài)，假設(shè)變倍組的焦距為-1，計(jì)算出補(bǔ)償組的焦距、補(bǔ)償組與變倍組的物像距離和它們之間的間距；

（2）設(shè)定長焦時(shí)變倍組的放大率，求取長焦時(shí)變倍組的物距、像距和沿光軸的移動(dòng)量，再通過變倍比計(jì)算出短焦時(shí)變倍組和補(bǔ)償組的放大倍率等參數(shù)；

（3）以起始狀態(tài)為基準(zhǔn)（變倍組和補(bǔ)償組的放大率為-1），計(jì)算短焦時(shí)光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)；

（4）選取短焦?fàn)顟B(tài)，計(jì)算出前固定組的焦距；

（5）選取短焦?fàn)顟B(tài)，設(shè)定后固定組的放大率，再計(jì)算出后固定組的焦距；

（6）通過系統(tǒng)參數(shù)縮放，獲得長焦、中焦和短焦時(shí)各組元之間的距離；

（7）把計(jì)算出的參數(shù)帶入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，對(duì)系統(tǒng)的光闌位置和F數(shù)等參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并保證光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)緊湊和變焦曲線平滑無拐點(diǎn)。

利用上述計(jì)算方法，對(duì)30倍變焦光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行解算和優(yōu)化，最后得到變焦光學(xué)系統(tǒng)中各組元的焦距，如表2所示。

表2 四組元的初始焦距Tab.2 Focal length of four groups in initial structure

變焦光學(xué)系統(tǒng)的焦距分別在7，60和210 mm處各組元之間的間距如表3所示。

表3 四組元之間的間距Tab.3 Spacing between four groups

變焦光學(xué)系統(tǒng)的理想結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。變焦光學(xué)系統(tǒng)的總長為180 mm，孔徑光闌位于補(bǔ)償組前方1 mm處。在連續(xù)變焦的過程中，孔徑光闌與補(bǔ)償組同步運(yùn)動(dòng)，孔徑光闌的口徑保持不變，光學(xué)系統(tǒng)的F數(shù)會(huì)隨著焦距的變化不斷改變。

從圖3可知，光學(xué)系統(tǒng)的焦距從7 mm連續(xù)變化到210 mm的過程中，變倍組逐漸遠(yuǎn)離前固定組，補(bǔ)償組逐漸靠近前固定組。在連續(xù)變焦的過程中，兩條變焦曲線沒有出現(xiàn)拐點(diǎn)。

把表2和表3中的數(shù)據(jù)代入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中進(jìn)行透鏡替換，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的變焦光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。變焦光學(xué)系統(tǒng)的全長為190 mm，最大口徑為67 mm。

圖3 變焦光學(xué)系統(tǒng)的理想模型Fig.3 Ideal model of zoom optical system

圖4 變焦光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure diagram of zoom optical system

4 系統(tǒng)評(píng)價(jià)與分析

4.1 像質(zhì)評(píng)價(jià)

調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF）、點(diǎn)列圖和畸變是評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的重要指標(biāo)。MTF表示光學(xué)系統(tǒng)成像的調(diào)制度變化情況，通過MTF曲線可以比較全面地評(píng)價(jià)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。圖5為變焦光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線，由圖5可知，當(dāng)變焦光學(xué)系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時(shí)，奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場(chǎng)的平均MTF均大于0.25。

圖5 變焦光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線Fig.5 MTF curves of zoom optical system

點(diǎn)列圖可以比較準(zhǔn)確地反應(yīng)出光學(xué)系統(tǒng)成像光線的彌散情況。點(diǎn)列圖中的均方根（Root Mean Square，RMS）彌散斑半徑越小，光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量就越好。圖6為變焦光學(xué)系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時(shí)的點(diǎn)列圖。

圖7為變焦光學(xué)系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時(shí)的場(chǎng)曲和畸變曲線。從圖7可知，光學(xué)系統(tǒng)全焦段的畸變都小于3%。

圖6 點(diǎn)列圖Fig.6 Spot diagram

4.2 公差分析

公差分析是變焦光學(xué)鏡頭加工裝配前的重要分析環(huán)節(jié)之一，利用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中的公差分析功能，可以快速有效地評(píng)估出變焦鏡頭的制造難度。綜合考慮變焦光學(xué)系統(tǒng)在短焦、中焦和長焦處時(shí)各光學(xué)透鏡的公差靈敏度，最終確定變焦光學(xué)系統(tǒng)的公差分配情況，如表4所示。

圖7 場(chǎng)曲和畸變曲線Fig.7 Field and distortion curves

根據(jù)蒙特卡洛分析可得，當(dāng)采用表4的分配公差時(shí)，變焦光學(xué)系統(tǒng)在奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場(chǎng)的平均MTF分布規(guī)律如圖8所示。蒙特卡洛分析表明，80%的系統(tǒng)在全焦段內(nèi)的MTF均大于0.14。

表4 變焦光學(xué)系統(tǒng)的公差分配Tab.4 Tolerance distribution of zoom optical system

圖8 蒙特卡洛分析概率Fig.8 Probability of Monte Carlo analysis

4.3 變焦曲線

在變焦光學(xué)系統(tǒng)中，若變焦曲線出現(xiàn)了拐點(diǎn)，極可能會(huì)出現(xiàn)變焦卡死的現(xiàn)象。因此，為了能夠保證變焦鏡頭平滑變焦，變焦曲線盡量不要出現(xiàn)拐點(diǎn)［16-17］。此外，機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)在變焦曲線設(shè)計(jì)的過程中，為了降低凸輪的加工難度，一條變焦曲線設(shè)計(jì)為直線，另外一條變焦曲線設(shè)計(jì)為高次曲線。

本文的30倍變焦光學(xué)系統(tǒng)采用變倍組線性運(yùn)動(dòng)，補(bǔ)償組非線性運(yùn)動(dòng)的方式進(jìn)行連續(xù)變焦。當(dāng)變焦鏡頭的凸輪直徑為50 mm時(shí)，變倍組和補(bǔ)償組與凸輪旋轉(zhuǎn)角度的變化曲線如圖9所示。

圖9 凸輪擬合曲線Fig.9 Fitting cam curves

5 結(jié) 論

為了緩解機(jī)械補(bǔ)償式變焦光學(xué)系統(tǒng)大變倍比和輕小型設(shè)計(jì)之間的矛盾，本文提出采用平滑換根的“+，-，+，+”光焦度分配方式，結(jié)合變F數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)輕小型設(shè)計(jì)，并提出利用結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件聯(lián)合解算的方法，來合理地分配各組元的光焦度，保證變焦曲線平滑無拐點(diǎn)，從而快速有效地解算出變焦光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，提高光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的成功率。利用全球面透鏡設(shè)計(jì)了一款焦距為7～210 mm的30倍連續(xù)變焦光學(xué)系統(tǒng)，可匹配1/2英寸的探測(cè)器，該變焦系統(tǒng)的最大口徑為67 mm，全長為190 mm，在奈奎斯特頻率處全視場(chǎng)的MTF均大于0.25，該系統(tǒng)還具有全視場(chǎng)無漸暈、變焦曲線無拐點(diǎn)、制造成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，在目標(biāo)跟蹤、安防監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。