石俊剛，秦曇，李響，楊立興，楊曉光,3

(1.華東交通大學，交通運輸工程學院，南昌 330013；2.北京交通大學，軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044；3.同濟大學，交通運輸工程學院，上海 201804)

0 引言

地鐵系統(tǒng)因其容量大、方便、快捷等特點，逐漸在各個城市得到廣泛應(yīng)用。隨著地鐵網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展，越來越多的乘客選擇地鐵出行，客流的不斷增長使地鐵運營承受著巨大壓力。雖然受疫情影響，2020年以來地鐵客流量有所下降，但北京、上海、廣州的日均客流量仍超過800 萬人次，且逐步得到恢復。面對規(guī)模龐大的客流，部分地鐵線路時常出現(xiàn)過飽和情況，造成部分車站客流嚴重擁堵，為運營安全帶來較大風險。

為緩解線路擁堵，列車時刻表優(yōu)化和調(diào)整是目前常用的手段。其主要是根據(jù)客流需求，對列車運行計劃進行優(yōu)化調(diào)整，以減少乘客的等待時間，緩解車站客流擁堵。旅客列車時刻表優(yōu)化通常以運營成本、列車運行安全、客運服務(wù)水平等為優(yōu)化目標。Yang 等[1]建立關(guān)于列車能源消耗和乘客總旅行時間最小化的雙目標函數(shù)模型。Niu等[2]以等待乘客數(shù)量和站臺剩余乘客數(shù)量最小化為目標。通過對現(xiàn)有研究進行歸納，可以發(fā)現(xiàn)，目前主要從調(diào)整列車運行交路、優(yōu)化車站停留時間及發(fā)車時刻等角度入手，為線路上的瓶頸區(qū)段提供更充足的運能，其中包括采用大小交路、向擁堵車站加開備車等方式。其中，冉昕晨等[3]構(gòu)建了關(guān)于大小交路和列車放空運行的運行圖優(yōu)化模型，以此達到列車節(jié)能和乘客節(jié)時的目的。然而上述研究僅對時刻表這一因素進行優(yōu)化，學者們從全局的角度出發(fā)，考慮時刻表與列車停站方案或客流控制的協(xié)同優(yōu)化。孟凡婷等[4]基于跳停策略對列車運行圖和車站限流進行協(xié)同優(yōu)化。盧亞菡等[5]考慮換入客流，對時刻表和車站客流控制進行協(xié)同優(yōu)化，有效提高列車服務(wù)水平。對于工作日及節(jié)假日高峰時段，許多學者關(guān)注面向時變客流的列車時刻表優(yōu)化問題，根據(jù)乘客的時變需求對列車時刻表進行優(yōu)化，從而實現(xiàn)服務(wù)客運服務(wù)質(zhì)量的提升。祁奇等[6]運用時空網(wǎng)絡(luò)的方法將時刻表優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為路徑選擇，并分別考慮均衡客流和非均衡客流情況下時刻表優(yōu)化模型，有效降低乘客的等待時間。許得杰等[7]考慮乘客時變需求，從多交路角度對列車時刻表問題進行優(yōu)化。對列車時刻表進行優(yōu)化能夠有效地提高線路運輸能力，緩解地鐵線路的擁擠情況。但在客流量極度飽和的地鐵線路，特別是一些市郊通勤線路，即使最大化列車的發(fā)車頻率仍然無法緩解部分車站的客流超擁堵現(xiàn)象，如北京大興線、昌平線等。

為緩解過飽和線路局部車站的極端擁堵情況，本文從線路層面出發(fā)，提出一種簡單新穎的車廂容量分配方法，以均衡各車站客流聚集，確保擁堵車站乘客得到公平服務(wù)，進而提高整個線路運營安全性。具體的，通過控制每列服務(wù)列車在各車站投入運營的車廂數(shù)來動態(tài)分配各列車在各車站的可用列車容量，綜合協(xié)調(diào)各車站內(nèi)得到服務(wù)的乘客數(shù)(即登車人數(shù))，實現(xiàn)各車站客流的均衡聚集，從線路層面提高總體運營安全性，并盡可能保證服務(wù)水平。

1 問題描述

地鐵通勤客流具有較強的潮汐現(xiàn)象，如早高峰大部分乘客均從郊區(qū)方向前往市區(qū)通勤。此時，在上游車站由于列車容量較為充足，絕大部分乘客均能登上列車，不會造成客流擁堵。當列車駛向下游車站時，由于剩余容量逐漸減小，導致下游車站乘客難以上車，極易引發(fā)嚴重的客流擁堵。為緩解下游車站的極端擁堵情況，本文通過合理分配車廂容量來均衡線路上各車站客流聚集，以到達“削峰填谷”效果，提高線路的整體運營安全性。以圖1 為例，圖中矩形方塊代表車站，采用集合S表示，列車從車站1駛向終到站 |S|。列車內(nèi)矩形方塊代表列車車廂，帶有交叉符號的矩形方塊代表為下游車站預留的車廂。以圖1 中2 列列車為例，列車1 從車站1出發(fā)并預留3節(jié)車廂，當其到達車站m時釋放2節(jié)車廂并于車站|S|-1 釋放1節(jié)車廂。同樣地，列車2在起點站預留2節(jié)車廂，當其到達車站|S|-1時釋放所有預留車廂。

圖1 列車容量分配說明圖Fig.1 Illustration of train capacity allocation

為方便實際運營，每列車僅在始發(fā)站預留車廂，在運行的后續(xù)車站，只需要根據(jù)需求進行車廂釋放。因此，車廂的預留數(shù)會隨著列車的運行逐漸減少。本文通過構(gòu)建數(shù)學模型，求解合理的車廂預留與釋放方案，以均衡線路的客流聚集，提高線路的整體運營安全性。

2 模型的構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

為方便問題模型構(gòu)建，設(shè)置如下假設(shè)條件：

假設(shè)1 對于任意列車，在某個車站登上該列車的人數(shù)中前往不同目的地的客流比例固定。當線路處于過飽和狀態(tài)，存在大量二次等待情況，考慮乘客出行起訖點來推算列車載客量會導致問題存在非線性特性，難以求解。此假設(shè)能夠大大簡化列車在斷面載客量的推算，能夠?qū)栴}構(gòu)建成易于求解的線性規(guī)劃問題。需要說明的是，高峰時段內(nèi)乘客大都以通勤為目的，客流出行目的地相對穩(wěn)定，此假設(shè)具有一定的合理性，類似假設(shè)在Gao等[8]，Wang等[9]研究中同樣被使用。

假設(shè)2 在容量分配策略下，所有乘客都不會改變自己的出行計劃，即不考慮乘客放棄出行，或反向繞行的情況。Meng等[10]在研究關(guān)于過飽和地鐵線路協(xié)同客流控制方法時做出了同樣的假設(shè)。

假設(shè)3 為方便將模型建立成線性整數(shù)規(guī)劃模型，本文將連續(xù)的時間軸離散成若干微小的時間顆粒，采用集合T表示。

假設(shè)4 僅考慮一個方向上的列車容量分配。由于雙向運行的地鐵線路是在兩個方向上分別為乘客提供運輸服務(wù)，所以可以用同樣的方法解決另一個方向上的容量分配計劃。

2.2 模型約束條件

2.2.1 容量分配約束

實際運營中，預留過多的車廂數(shù)一方面會增加運營成本，同時也會增加乘客的等待時間。為了不過多增加車站內(nèi)乘客的等待時間，對最大預留車廂數(shù)進行限制，即

式中：cl,s為列車l離開車站s時預留的車廂數(shù)量；cmax為可預留的最大車廂數(shù)；L為運營列車集合。

由于列車運營至終點站時，所有乘客均需下車，列車駛離終點站完成此次運營。因此，列車在終點站無需進行車廂預留，其對應(yīng)的預留的車廂數(shù)應(yīng)為0，即

實際運營過程中，預留車廂一旦被釋放，其無法再次被預留用于后續(xù)的旅程。因此，列車的預留車廂數(shù)量應(yīng)在整個旅程中不斷減少，即

2.2.2 乘客運載約束

為清晰描述乘客在地鐵系統(tǒng)中動態(tài)加載過程，構(gòu)建相關(guān)的乘客運載約束。

列車到達車站時登上列車的乘客數(shù)主要由當前等待乘客數(shù)與剩余列車容量之間的最小值決定。

式中：bl,s為在車站s登上列車l的乘客數(shù)；wl,s為在s站等待列車l的乘客數(shù)；rl,s為列車l在s站的剩余容量。

在過飽和狀態(tài)下，車站的等待乘客數(shù)量wl,s包括前一輛列車離開時遺留在站臺的乘客數(shù)和當前列車出發(fā)前新到達的乘客數(shù)。對于首列車而言，等待登上列車的乘客數(shù)即為該列車出發(fā)前到達車站的累積人數(shù)。

式中：tl,s,d為列車l離開車站s的時刻；ps(t)為在t時刻到達車站s的客流數(shù)量；fl,s為列車l離開車站s時遺留的乘客數(shù)。

列車剩余容量主要由決策變量預留車廂數(shù)cl,s、列車l離開s-1 站時列車裝載乘客數(shù)zl,s-1和在s站從列車l下車的人數(shù)al,s決定，即

式中：Q為列車的編組數(shù)量；C為每節(jié)車廂的容量。

由于本文假設(shè)乘客在各車站s登上列車l的人數(shù)中，前往各目的站的比例固定，采用δm,s,l表示。則在車站s從列車l下車乘客數(shù)為

對于首列車而言，列車載離的乘客數(shù)量即為各車站上車乘客數(shù)，此為列車區(qū)間載客人數(shù)推算的起始點。后續(xù)區(qū)間的載客人數(shù)則可以通過列車離開上一個車站時裝載的乘客數(shù)量、本站的下車乘客數(shù)量和上車乘客數(shù)量來進行推算，即

過飽和線路內(nèi)列車經(jīng)常無法運送完站臺上所有等待乘客，部分等待乘客因無法登上列車而被遺留在站臺，其值為等待乘客數(shù)與上車乘客數(shù)之差，即

2.2.3 乘客聚集均衡性約束

本文通過容量分配策略，均衡各車站客流聚集，以提高線路整體安全性。因此，在本文的策略下，對各車站每趟列車的最大等待人數(shù)Mmax進行約束，以實現(xiàn)各車站聚集乘客數(shù)的均衡，以及服務(wù)公平性，即設(shè)置客流聚集約束為

2.2.4 乘客的平均等待時間約束

車站s內(nèi)等待乘客數(shù)的動態(tài)變化過程如圖2所示。當服務(wù)列車到達s站時，列車內(nèi)目的地為s站的乘客下車，同時車站內(nèi)候車乘客登上列車，等待乘客數(shù)量下降。乘客的等待時間即為曲線所圍成的不規(guī)則面積。為計算乘客的等待時間，可將連續(xù)的時間軸離散為若干間隔相等的時間點，采用T表示時間點集合。那么曲線所圍成的不規(guī)則面積可近似等于圖3 中 |T|個矩形面積之和，即近似為乘客的總等待時間。

圖2 車站s 內(nèi)乘客等待時間說明圖Fig.2 Iillustration of passenger waiting time at station s

圖3 時間范圍離散化示意圖Fig.3 Time range discretization diagram

引入二進制變量φl,s,t表示列車l在t時刻之前是否離開車站s，當列車l在t時刻前離開s站時φl,s,t的值為1，否則φl,s,t值為0。車站s在時間點t的等待乘客數(shù)ws(t)等于在t時刻之前所有累積到達的總乘客數(shù)和t時刻前各列車總登車人數(shù)之差，即

式中：ps(τ)為在時刻τ到達s站的乘客數(shù)量。

在車廂容量分配策略下，通過為擁堵車站分配一定的車廂容量，能夠有效緩解車站擁堵，減少乘客等待時間，但同時也會增加部分上游客流的等待時間。為保證運輸服務(wù)水平，對各車站的乘客平均等待時間進行約束，即

式中：Nmax為各車站乘客的最大平均等待時間。

2.3 線性化處理

盡管在上述過程中對考慮的問題施加了嚴格約束，但是其中約束式(3)為非線性約束，這使得所構(gòu)建的模型無法采用傳統(tǒng)的分支定界、分支割平面算法進行求解，也無法采用成熟的優(yōu)化求解器(如CPLEX、GROUBI等)進行求解。因此，需對該約束進行線性化處理。首先，引入二進制變量ul,s表示rl,s與wl,s之間的大小關(guān)系，M為較大正數(shù)。其中，當rl,s≤wl,s時，ul,s的值為1；否則，ul,s的值為0。約束式(3)可以被等價線性化為

2.4 預留車廂優(yōu)化模型

因非線性約束都已經(jīng)線性化，故對過飽和地鐵線路進行容量分配優(yōu)化的模型最終可構(gòu)建成線性整數(shù)規(guī)劃模型為

3 案例分析

3.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文以2018年北京地鐵八通線下行方向為例，共13 個車站，線路如圖4所示。分析某工作日AFC數(shù)據(jù)，將其對應(yīng)的客流量加載到本文所提出的模型中，并對其進行容量分配優(yōu)化計算。研究時段為7:00-10:40，在此期間對所有運行的列車進行容量分配，該時段內(nèi)共運行地鐵列車53 列，7:00-9:00發(fā)車間隔為3 min，其他為4 min；離散時間間隔為1 min。

圖4 北京地鐵八通線線路示意圖Fig.4 Schematic diagram of Beijing Metro Batong Line

考慮到高峰時段的超載情況，將車廂容量C設(shè)置為280 人·節(jié)-1，列車編組數(shù)量Q為6 節(jié)。車站的最大安全容納人數(shù)Mmax為1500 人，乘客的最大平均等待時間Nmax為15 min，最大預留車廂的數(shù)量Cmax為3節(jié)。以下的實驗均在1臺AMD R7 2.90 GHz,16 G 內(nèi)存，window 10 操作系統(tǒng)的計算機上進行，本文模型采用IBM CPLEX 12.3 優(yōu)化器進行求解，計算終止條件為上下界Gap為0.5%。

3.2 計算結(jié)果與分析

首先，對不采取容量分配策略下的線路乘客聚集情況進行推算，結(jié)果如圖5(a)所示?？梢钥闯觯谡＿\營策略下，雙橋和傳媒大學站出現(xiàn)較為嚴重的客流聚集，特別是傳媒大學站，最大等待客流數(shù)達到3642 人，車站客流極為擁堵。線路乘客的總等待時間為418027 min，傳媒大學站的乘客平均等待時間達到31 min。

圖5 對實際案例進行容量分配前后的乘客聚集情況Fig.5 Passenger accumulation at stations without capacity allocation for real-world case

采用容量分配模型進行優(yōu)化求解，經(jīng)過65 s計算，獲得Gap 為0.5%的較優(yōu)方案，如圖6所示。由于求解結(jié)果中僅其中20 輛列車進行了容量分配，故僅給出20輛進行容量分配列車對應(yīng)的容量分配方案。圖6 的橫坐標為案例中地鐵線路的13 個車站，縱坐標為進行容量分配列車的發(fā)車時刻，矩形代表各列車經(jīng)過各車站時列車容量分配的情況，其內(nèi)部較小的矩形代表預留車廂的數(shù)量。例如，圖6中第1 趟列車于7:24 從土橋站出發(fā)并預留1 節(jié)車廂，最終在傳媒大學站釋放預留車廂。從方案中可以看出，所求解方案很好地考慮了客流的時變特性，車廂的分配數(shù)在不同車站和列車中呈現(xiàn)變化特性。

圖6 實際案例的容量分配方案圖Fig.6 Diagram of capacity allocation plan about actual case

為進一步分析容量分配策略的效果，將該策略下乘客在各車站的聚集情況展示在圖5(b)中。對比發(fā)現(xiàn)，對過飽和線路進行容量分配優(yōu)化后，傳媒大學站的聚集乘客數(shù)量大幅降低，最大等待乘客數(shù)由3642人降低至1345人，約降低63%，車站的極度擁擠得到了有效緩解。此外，為下游擁擠車站預留車廂時，由于上游車站部分乘客無法照常登車，果園站、通州北苑站、八里橋站和管莊站等上游車站的聚集乘客數(shù)量有一定程度增加，但所有車站的聚集乘客數(shù)均小于1500 人?？梢钥闯?，容量分配方法很好地均衡了各車站客流聚集，達到了預先設(shè)想的提升運營安全性的目的。在容量分配策略下，列車經(jīng)過管莊、雙橋等車站時列車滿載率明顯下降，而在傳媒大學和高碑店站列車滿載率大致不變，證明擁堵車站內(nèi)登上列車的乘客數(shù)量增加，容量分配策略有效分配列車運力并緩解擁堵情況。

在客運服務(wù)水平方面，容量分配策略下，乘客的總等待時間為420099 min，相對于正常運營情況下，僅增加了0.5%。同時，采取容量分配策略前后線路內(nèi)各車站乘客平均等待時間如圖7所示，其中在不采取容量分配策略的情況下，傳媒大學站的乘客平均等待時間為31 min，顯著高于其余車站的乘客平均等待時間。采取容量分配策略后，傳媒大學站的乘客平均等待時間降低至15 min，約降低51%，并且線路內(nèi)所有車站的乘客平均等待時間均小于15 min。可以看出，在容量分配策略下，擁堵車站的客運服務(wù)質(zhì)量得到大幅提升，同時其余各站的客運服務(wù)水平也能得到較好保障，服務(wù)的公平性得到很好提升。

圖7 采取容量分配策略前后乘客平均等待時間對比圖Fig.7 Comparison chart of average waiting time of passengers with and without capacity allocation

3.3 不同最大等待乘客數(shù)的靈敏度分析

為分析不同的最大等待乘客數(shù)量下容量分配優(yōu)化模型的表現(xiàn)，分別設(shè)定不同車站最大等待數(shù)閾值Mmax，其余基本參數(shù)保持不變，對提出的模型進行測試，計算結(jié)果如表1所示。實驗結(jié)果表明，在不同最大等待乘客數(shù)量下，所提出模型均能計算出對應(yīng)的較優(yōu)容量分配方案。通過結(jié)果可以看出，隨著Mmax的增加，乘客總等待時間不斷減少。可見，隨著對于安全閾值的放寬，乘客的等待時間能夠在一定程度下降，但客流擁堵情況會隨之變得惡劣。因此，在實際運營中需根據(jù)需要，設(shè)定合理的最大等待乘客數(shù)，從而在運營安全和服務(wù)質(zhì)量間進行合理權(quán)衡。

表1 不同最大等待乘客數(shù)量下的乘客總等待時間Table 1 Total waiting time of passengers under different maximum number of waiting passengers

3.4 不同最大預留車廂數(shù)的靈敏度分析

通過設(shè)置不同的最大預留車廂數(shù)Cmax分析其對容量分配模型結(jié)果的影響。其中，最大等待人數(shù)閾值參數(shù)隨車廂數(shù)的增多而減少，其他參數(shù)保持不變，計算結(jié)果如表2所示。通過分析發(fā)現(xiàn)，隨著最大預留車廂數(shù)量增加，乘客總等待時間和最大等待乘客數(shù)均不斷降低。這說明隨著可預留車廂數(shù)的增加，問題的優(yōu)化空間得到提升，乘客等待時間和車站擁擠程度均能夠進一步優(yōu)化。但同時也可以看出，乘客等待時間的提升幅度會不斷減少，車站內(nèi)最大等待乘客數(shù)的降低幅度也不斷減小。實際運營中，預留車廂數(shù)過多會給上游車站乘客的乘車帶來極大不便，應(yīng)根據(jù)實際情況設(shè)置合理的最大可預留車廂數(shù)。

表2 不同最大預留車廂數(shù)量下的乘客總等待時間Table 2 Total waiting time of passengers under different maximum number of reserved carriages

3.5 不同最大平均等待時間的靈敏度分析

通過設(shè)置不同最大平均等待時間Nmax，分析其在不同取值情況下對容量分配優(yōu)化模型計算結(jié)果所產(chǎn)生的影響，計算結(jié)果如表3所示。可以看出，隨著Nmax取值增大，乘客總等待時間不斷降低。這說明在更多犧牲上游車站乘客服務(wù)水平時，線路總體服務(wù)水平能夠得到更好地提升。因此，在實際運營過程中，需根據(jù)客流情況設(shè)置適當?shù)淖畲笃骄却龝r間閾值，在犧牲上游車站服務(wù)水平和提升整體線路服務(wù)水平之間做出權(quán)衡。

表3 不同最大平均等待時間下的乘客總等待時間Table 3 Total waiting time of passengers under different maximum number of average waiting time

4 結(jié)論

為緩解過飽和地鐵線路中極度擁堵的情況，本文從安全角度出發(fā)，提出一種新穎的車廂容量分配方法協(xié)同控制各車站上車人數(shù)，建立該問題的線性整數(shù)規(guī)劃模型。以北京八通線為例，對所提模型進行測試，實驗結(jié)果表明：

(1)容量分配策略能夠很好地均衡線路上各車站的客流聚集量，使極度擁堵車站的客流聚集量大幅下降，線路運營安全性得到很大程度地提高。

(2)在客運服務(wù)水平方面，容量分配策略下，乘客的總等待時間僅增加0.5%，同時所有車站的平均等待時間都能夠控制在15 min內(nèi)，各站服務(wù)水平均能得到較好保證。

(3)通過靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，本文模型具有較好的穩(wěn)定性，針對不同的最大等待乘客數(shù)閾值，均能生成較優(yōu)的容量分配方案，研究成果能夠為實際運營提供很好的參考。