王煜，苗蕾

(1.中國鐵道科學(xué)研究院，電子計算技術(shù)研究所，北京 100044；2.中國國家鐵路集團(tuán)有限公司，北京 100081)

0 引言

隨著近年來鐵路改革向深水區(qū)推進(jìn)，以市場化為導(dǎo)向的發(fā)展趨勢越來越明顯。為了充分利用價格手段提高鐵路的市場競爭力，急需打破原來一成不變的票價策略，實(shí)施以票價差異化為代表的高鐵旅客列車定價方案[1]。自2020年12月23日開始，鐵路運(yùn)輸企業(yè)在京滬高速線上實(shí)施差異化定價方案，即設(shè)置數(shù)檔折扣，形成折扣檔位，每趟列車同一席別在整個預(yù)售期內(nèi)選擇其中一檔折扣檔位執(zhí)行，從而在不同的列車間呈現(xiàn)出不同的票價。差異化票價方案改變了之前一成不變的票價現(xiàn)狀，滿足各群體旅客乘車需求，對于均衡運(yùn)輸資源，調(diào)節(jié)客流需求，提高高鐵競爭力無疑有重要的意義。

現(xiàn)有已公開發(fā)表的交通運(yùn)輸領(lǐng)域定價理論方法或模型內(nèi)容豐富。Belobaba P.P.[2]最早將期望邊際座位收益概念應(yīng)用于航空收益管理，開創(chuàng)了后來基于期望收益研究定價問題的淵源。文獻(xiàn)[3]繼承期望收益概念，發(fā)現(xiàn)以期望收益最大化來判斷是否要出售折扣票。文獻(xiàn)[4]著重考慮了旅客出行選擇行為。文獻(xiàn)[5]假設(shè)顧客根據(jù)多項(xiàng)Logit模型進(jìn)行購買決策，在此基礎(chǔ)上研究一個具有網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)的多產(chǎn)品動態(tài)定價問題。文獻(xiàn)[6]利用博弈論模型研究相關(guān)替代品之間的動態(tài)定價問題。文獻(xiàn)[7]假設(shè)需求是價格的函數(shù)，構(gòu)建指數(shù)表達(dá)需求函數(shù)，得到了最優(yōu)值函數(shù)的封閉解。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了基于多列車多停站的票額和票價綜合優(yōu)化模型，根據(jù)模型特點(diǎn)設(shè)計混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，從而得到不同列車在不同區(qū)段的不同定價，解決差異化定價的問題。文獻(xiàn)[9]以企業(yè)利潤和旅客福利作為高鐵定價目標(biāo)，利用分層序列思想分解多目標(biāo)問題，最終確定多目標(biāo)定價最優(yōu)策略。文獻(xiàn)[10]利用潛在類別模型對高鐵旅客進(jìn)行細(xì)分，得到旅客對平行車次不同服務(wù)屬性，引入收益管理，以多列車整體收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建平行車次動態(tài)差別定價模型。文獻(xiàn)[11]以時間敏感性，價格敏感性及出發(fā)時段偏好為基礎(chǔ)，對旅客進(jìn)行分類，再研究同一區(qū)段兩列平行列車的動態(tài)定價問題。文獻(xiàn)[12-13]首先模擬旅客需求函數(shù)，得到描述客運(yùn)產(chǎn)品的需求與票價的數(shù)學(xué)關(guān)系，再逐步構(gòu)建高鐵動態(tài)票價優(yōu)化模型并求解。以上理論方法嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，具有很好的借鑒意義。但在以下幾個方面仍缺乏考慮：(1)現(xiàn)階段大多數(shù)定價理論將重點(diǎn)放在符合收益管理思想的動態(tài)定價上，即將預(yù)售期劃分為多個時段，票價在預(yù)售期內(nèi)浮動調(diào)整，而本文研究的差異化定價中同一列車在預(yù)售期內(nèi)價格保持不變，是基于旅客分類和選擇的差別定價；(2)目前大多數(shù)定價理論模型輸出的最優(yōu)定價結(jié)果為連續(xù)值，很少研究從價格制定者角度出發(fā)的基于離散價格(價格集)的差異化定價模型并構(gòu)建求解算法[14]；(3)由于以價格維度衡量的非集計旅客數(shù)據(jù)較難獲取，現(xiàn)有理論模型較少精確考慮構(gòu)建基于價格敏感性的旅客分類，以及在此分類基礎(chǔ)上的總體彈性需求函數(shù)；(4)現(xiàn)有理論模型在構(gòu)造旅客效用函數(shù)時，較少考慮乘車出發(fā)、到達(dá)時間在不同時間段給旅客帶來的額外機(jī)會成本?；谝陨蠋c(diǎn)分析，本文提出一種基于離散價格的高鐵動車組差異化定價優(yōu)化模型[15-16]。

1 變量定義與假設(shè)

為簡化問題，減少模型求解的計算量，本文做出如下假設(shè)：

(1)不考慮退票、改簽對本文定價過程的影響。

(2)不考慮上車補(bǔ)票等超售行為。

主要參數(shù)及其含義如表1所示。

表1 主要參數(shù)及定義Table 1 Main parameters and definitions

2 問題描述與價格離散化

假設(shè)在預(yù)售期外，一條線路W，該線路公布票價率為z；線路涉及列車(車次)集合K，任意列車為k,?k∈K。價格離散化可以描述為：制定折扣率集合B，包含M檔(個)折扣率，第m檔折扣率βm為

βm對應(yīng)的票價率zm為

則列車k在od(r,s)上的票價為

由于r，為常數(shù)，本文研究的問題轉(zhuǎn)化為先確定βm，1 ≤m≤M，組成折扣率集合B，即為價格(折扣率)離散化集合。以收益最大化為目標(biāo)并為每趟列車選擇一個折扣率βm，得到β(km)，即βm→β(km)，?k∈K。下面將研究βm→β(km)的過程。

3 模型構(gòu)建

3.1 客流彈性需求函數(shù)與旅客選擇分析

旅客乘車出行最關(guān)心耗費(fèi)的金錢成本和時間成本，根據(jù)每位旅客對金錢和時間的偏好不同將旅客群體分類，分類依據(jù)是該名旅客歷史乘車記錄，如果某位旅客總是選擇乘坐價格便宜的列車說明其價格敏感度較高，該群體選擇用時間換金錢，時間成本在總效用中的影響程度較低。反之，總是乘坐高票價的旅客選擇用金錢換時間，時間成本在總效用中影響較高。對于每類旅客群體分別擬合彈性需求函數(shù)，最后將各群體彈性需求函數(shù)加總得到全體旅客的彈性客流。本文研究定價問題，即主要以旅客對價格的敏感性高低進(jìn)行分類，劃分出J個不同的旅客群體，分類結(jié)果如表2所示。

表2 旅客群體分類Table 2 Classification of passengers

表2中，εj為劃分旅客群體的閾值。od(r,s)涉及的列車平均運(yùn)行時間為trs，平均票價prs[17]分別為

表3 時間段劃分依據(jù)Table 3 Time period division basis

則od(r,s)上涉及所有列車對于各旅客群體的平均廣義出行費(fèi)為

假設(shè)旅客出行需求用彈性需求函數(shù)擬合，則od(r,s)的旅客群體j出行需求彈性函數(shù)為

假設(shè)旅客乘坐列車獲得的效用與廣義費(fèi)用成反比，對于od(r,s)的旅客群體j在列車集合中選擇乘坐列車k的概率可以用多項(xiàng)Logit 模型進(jìn)行描述，即

則列車k在od(r,s)的彈性需求函數(shù)為

3.2 基于離散價格的差異化定價優(yōu)化模型

列車k在od(r,s)上的售票量為

因此，列車k在od(r,s)上期望收益為

鐵路運(yùn)輸企業(yè)在該條線路的期望收益最大化目標(biāo)函數(shù)為

同時，還需要滿足一些實(shí)際約束條件：

(1)折扣范圍約束

(2)價格離散化約束

(3)列車能力約束

最終，得到在離散價格基礎(chǔ)下以收益最大化為目標(biāo)的差異化定價優(yōu)化模型為

4 算法求解

由于本文優(yōu)化模型是建立在離散價格基礎(chǔ)上的，為了保證每次解都為檔位的折扣率值，需要控制每次更新迭代的步幅，綜合考慮迭代計算復(fù)雜度和集群系統(tǒng)現(xiàn)有計算能力，選擇粒子群算法作為求解算法，其過程具體如下。

(1)確定M檔折扣率集合B，將目前的各趟列車實(shí)際執(zhí)行的票價折扣率按照就近原則轉(zhuǎn)化為集合B的某個折扣值，組成初始解，解的每個分向量對應(yīng)每趟列車的執(zhí)行票價折扣率。設(shè)定粒子規(guī)模為Psize，第h個粒子的初始位置記為，且

式中：gh為與A維度相同的向量，且各分量服從表4的離散分布。

表4 gh 各分量概率分布Table 4 Probability distribution of each dimension of gh

式中：Th為第h個粒子歷史最佳位置的適應(yīng)值；T為所有粒子歷史最佳位置的適應(yīng)值；為與A維度相同的向量，且各分量服從表5 的概率分布，用來描述求解算法迭代過程的隨機(jī)性。

表5 與各分量概率分布Table 5 Probability distribution of each dimension ofand

表5 與各分量概率分布Table 5 Probability distribution of each dimension ofand

值概率0 1/3 1 1/3-1 1/3

本文求解算法過程如圖1所示。

圖1 算法求解過程Fig.1 Algorithm process

5 算例分析

5.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

選擇京滬高速線上海虹橋至北京南方向11 趟列車二等座為研究對象。列車開行主要特征選取時間為2021年5月5日。11 趟列車全程運(yùn)行時間大致分為3 類：運(yùn)行約4.5 h 的標(biāo)桿車產(chǎn)品，包括G22，G4，G10；運(yùn)行約5.5 h 的普通列車產(chǎn)品，如G124，G134，G156；運(yùn)行約6 h 的列車產(chǎn)品，如G104，G102，G108，G138，G140。全程運(yùn)行時間、定員、始發(fā)時刻、終到時刻等主要信息如表6所示。停站情況和各區(qū)間到達(dá)時刻情況如表7所示。

表6 列車開行情況Table 6 Train details

表7 主要?？空炯暗竭_(dá)時刻Table 7 Stop and arrival time

選擇2021年1月1日～5月5日為樣本日期，主要OD區(qū)間日均發(fā)送量如表8所示。

表8 主要OD日均旅客發(fā)送量Table 8 Average daily passenger volume in main OD(人次)

為簡化問題，通過表2 的劃分依據(jù)，取ε1=ε2…=εj-1=prs，即將所有旅客劃分為經(jīng)濟(jì)型旅客和商務(wù)型旅客兩類。通過樣本估計經(jīng)濟(jì)型旅客群體平均占比約為57%，其余為商務(wù)型旅客。

折扣率最低值取5.5折，最高折扣為不打折，即βmin=0.55，βmax=1.00。根據(jù)文獻(xiàn)[10]取φ=0.8，在時間價值轉(zhuǎn)化系數(shù)取值的基礎(chǔ)上，估算經(jīng)濟(jì)型旅客群體時間價值轉(zhuǎn)化系數(shù)約為30，商務(wù)型旅客群體時間價值轉(zhuǎn)化系數(shù)約為44，α1=30，α2=44。列車盒飯45元，v=45。當(dāng)?shù)孛啃r工資最低標(biāo)準(zhǔn)為12元，則w1=10，w2=14。

5.2 結(jié)果分析

令M=6，則折扣率檔位如表9所示。初始解為2021年5月5日，11趟列車在京滬高速線上實(shí)際執(zhí)行票價對應(yīng)的表9 中最接近的折扣率組成。選取粒子數(shù)量Psize=50，最大迭代次數(shù)l=300。最終迭代過程如圖2所示。

表9 6檔折扣率Table 9 Six kind of discount

圖2 算法迭代過程Fig.2 Iterative process of algorithm

由圖2 可知，算法在迭代200 次時收斂至最大值，得到總體收入377 萬元，比目前實(shí)際執(zhí)行方案對應(yīng)的日均367 萬元總體收入提高11 萬元，提高2.7%。具體輸出的折扣率檔位結(jié)果如表10所示。

表10 6檔折扣率下差異化票價方案對比Table 10 Comparison of price scheme under 6 kind of discounts

5.3 折扣率檔位數(shù)量的影響

考慮M=11 的情況，對應(yīng)的折扣率如表11所示。11檔折扣率集合選取粒子數(shù)量Psize=20，最大迭代次數(shù)l=300。訓(xùn)練10 次，取10 次中使目標(biāo)函數(shù)式(26)取最大值的折扣率結(jié)果。

表11 11檔折扣率Table 11 Eleven kind of discounts

當(dāng)M=11 時，差異化定價優(yōu)化結(jié)果如表12所示。總體收益為378萬元，比實(shí)際執(zhí)行方案對應(yīng)的日均367萬元提高12萬元，提高3%。

表12 11檔折扣率下差異化票價方案對比Table 12 Comparison of price scheme under eleven kind of discounts

6 結(jié)論

本文從價格管理實(shí)踐問題入手，提出一種基于離散價格的差異化定價方法。以京滬高速線上海虹橋—北京南的11趟列車為算例證明本文提出的差異化定價方法在現(xiàn)行開行方案下能夠有效提高總體收益，增強(qiáng)鐵路市場競爭力[19]，同時可以看出：

(1)隨著折扣率檔位數(shù)量的增加(從6檔增加到11檔)，在保證足夠迭代次數(shù)和訓(xùn)練次數(shù)的情況下，基于離散價格的差異化定價優(yōu)化模型輸出的折扣率結(jié)果取得的總體收益增大。當(dāng)limM→+∞時，離散價格就轉(zhuǎn)化為連續(xù)價格，也就是目前大多數(shù)定價優(yōu)化問題的范式。

(2)目前大多數(shù)定價優(yōu)化問題很多情況下需要通過啟發(fā)式算法求解，求解過程通過控制步幅、方向在一個多維的向量空間搜索、迭代、更新，獲取目標(biāo)函數(shù)極值的票價結(jié)果。由于搜索步幅不可能無限小，因而本質(zhì)上求解過程可以近似于一種離散價格基礎(chǔ)上的求解。

(3)綜上所述，目前大多數(shù)輸出為連續(xù)值的定價優(yōu)化問題可以看作是基于離散價格定價問題的一個特例。同時，基于離散價格的設(shè)定可以較好地與生產(chǎn)系統(tǒng)對接，有利于直接落地應(yīng)用，兼顧理論科學(xué)性和應(yīng)用實(shí)踐性，因而基于離散價格的假設(shè)更接近于定價優(yōu)化問題的實(shí)際。但另一方面，折扣率檔位數(shù)量的確定需要考慮消耗的硬件設(shè)備資源和求解迭代時間，折扣率檔位數(shù)量增多給價格管理人員帶來更大的管理工作量，實(shí)踐中應(yīng)盡可能取得定價優(yōu)化結(jié)果與所需求解時間的平衡。