董文彬
【摘? ?要】運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一,運(yùn)算意義是運(yùn)算教學(xué)的核心內(nèi)容?;谝淮斡^課后的思考,追溯除法意義和乘法意義,提出運(yùn)算意義的教學(xué)不應(yīng)是“一以貫之”,而要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”,不斷完善學(xué)生對運(yùn)算意義理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生對運(yùn)算意義的理解應(yīng)從固有的“原始性認(rèn)識”向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”轉(zhuǎn)變。運(yùn)算教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生根據(jù)數(shù)系的不斷擴(kuò)展,進(jìn)行思維與認(rèn)識水平的必要重構(gòu),從而發(fā)展其對運(yùn)算意義的理解。
【關(guān)鍵詞】運(yùn)算意義;除法意義;乘法意義;原始性認(rèn)識;結(jié)構(gòu)性認(rèn)識
一、問題的提出:一次觀課引發(fā)的思考
“長頸鹿與小鳥”是北師大版教材二年級上冊第九單元“除法”第一課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容(如圖1)。學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息提出了數(shù)學(xué)問題。教學(xué)第一個問題“長頸鹿要準(zhǔn)備幾間房子”時,學(xué)生篩選信息后嘗試解答,其中一個學(xué)生表達(dá)了自己的想法:用除法解決,6個6個地分,每份一樣多,是平均分,列式計算是42÷6=7(間)。另一個學(xué)生質(zhì)疑:為什么用除法解決?該學(xué)生回應(yīng):因為這個問題是平均分,所以是42÷6=7。接著教師讓學(xué)生根據(jù)題目要求“寫一寫,畫一畫,用喜歡的方式解釋42÷6=7”。隨后學(xué)生匯報呈現(xiàn)了五種方式:①畫圓圈圖:畫42個圓圈,6個分1組,能分7組,所以42÷6=7(間);②用減法:42-6-6-6-6-6-6-6=0,減了幾個6就是幾間房;③畫數(shù)線圖:從42開始每次減6,減7次,減到0;④列表;⑤運(yùn)用乘法口訣:六七四十二,42÷6=7。教師自始至終對于學(xué)生的想法“6個6個地分,每份一樣多,是平均分,所以用除法解決”沒做回應(yīng)或默認(rèn)合理。
問題引發(fā)思考:“已知6只小鳥住一間房子,一共有42只小鳥,長頸鹿要準(zhǔn)備幾間房子?”解決這個問題時學(xué)生選擇用除法,理由是“這是‘平均分’問題”。在小學(xué)第一學(xué)段,學(xué)生對除法概念本質(zhì)的理解就是“平均分物”。由于前面學(xué)習(xí)“分一分與除法”單元時,教材呈現(xiàn)的多半是等分情境,這就先入為主地給學(xué)生造成了“除法就是將總數(shù)平均分給已知人數(shù)的等分(分配)過程”的認(rèn)識。因此,大多數(shù)學(xué)生簡單地將“平均分”等同于“等分”。但此情境中要解決的問題是“等分”嗎?此問題用“等分”來解釋“為什么用除法解決”合理嗎?除法源于“平均分物”,是不是說除法的意義就是“等分”?在這里除法的意義用“等分”還解釋得通嗎?除法意義的教學(xué)情境是否需要擴(kuò)充和拓展?
二、核心問題再討論:運(yùn)算意義是“一以貫之”還是根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容“擴(kuò)充拓展”
聚焦“案例”體現(xiàn)的問題是:教師試圖將“平均分物”模糊地貫穿于不同的問題情境中,來解釋除法運(yùn)算的意義。換言之,上述案例所暴露出的核心問題是:運(yùn)算意義是“一以貫之”還是根據(jù)不同問題情境或?qū)W習(xí)內(nèi)容進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”?這確實是運(yùn)算教學(xué)中一個值得探討的核心問題。
(一)追溯除法意義的認(rèn)識
1.從“平均分”說起
追溯除法,最早是在“平均分”的問題背景下產(chǎn)生的。關(guān)于平均分的含義,一般認(rèn)為:在人們分物的時候,常常要求做到“公平”,因而在“分”的時候,要“分”得“同樣多”,“平均分”由此而產(chǎn)生。即在分物時,使得每份所分得的數(shù)量都相等。我們知道,日常平均分物有兩種情況:一是知道要分的總數(shù)和平均分的份數(shù),求每份數(shù)是多少,即“等分除”;二是知道要分的總數(shù)和每份數(shù),求平均分的份數(shù),即“包含除”。這兩種不同情況的除法都是在“平均分”的數(shù)學(xué)模型中產(chǎn)生的,地位平等。以北師大版教材編排為例,學(xué)生第一次認(rèn)識除法是在二年級上冊第七單元“分一分與除法”中,教材用三個課時讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“平均分物”的各種活動,之后又通過第四課時“分香蕉”的實例把直觀操作符號化、數(shù)學(xué)化,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識除法。無論是前面的“平均分物”還是后面的“認(rèn)識除法意義和除法算式”,北師大版教材都淡化了對除法“等分除”和“包含除”的兩層意義的教學(xué),即在認(rèn)識除法的開始階段對二者不作區(qū)分。教材認(rèn)為,兩者的本質(zhì)是一致的,都是把一個整體分成若干相同的部分,這里的部分就是“一份數(shù)”,這里的若干就是“份數(shù)”,這其中的數(shù)量關(guān)系就是“總數(shù)”與“一份數(shù)”和“份數(shù)”的關(guān)系。所謂“等分除”與“包含除”的不同就是“知道總數(shù)和份數(shù)求每份數(shù)”和“知道總數(shù)和每份數(shù)求份數(shù)”而已。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會不同情境下具有的數(shù)學(xué)本質(zhì),即把一個整體分成若干相同的部分,為后續(xù)引入除法和理解除法的意義積累豐富的現(xiàn)實素材和活動經(jīng)驗。學(xué)生由此體驗到:只要是把一個整體平均分成若干部分,這個活動過程就可以用除法來表示。換言之,在學(xué)習(xí)除法的起始階段,教材是有意把“包含除”蘊(yùn)含在“平均分”的問題情境中,與“等分除”不作區(qū)分,認(rèn)為這只是“平均分”的兩種情況(如圖2)。
教材的這種模糊處理,筆者并不認(rèn)同。筆者更認(rèn)同張奠宙教授的說法:除法教學(xué),最常見的情境是“平均分物”,如將一些餅干平均分給小朋友。這一數(shù)學(xué)模型,涉及兩種除法,即“等分除”和“包含除”?!暗确殖焙汀鞍笔峭粋€數(shù)學(xué)模型的兩個側(cè)面。我們不但要區(qū)分“等分除”和“包含除”,還要把二者明確地說出來,寫進(jìn)教學(xué)用書,甚至寫入教材,目的是讓學(xué)生完整地了解除法的數(shù)學(xué)模型。
2.擴(kuò)充至“倍”的認(rèn)識,拓展至“包含除”的意義
按照北師大教材的呈現(xiàn)順序,教材意在結(jié)合“倍的認(rèn)識”,引導(dǎo)學(xué)生加深對除法“包含除”含義的理解。本單元的第六課時“倍的認(rèn)識”結(jié)合除法進(jìn)行學(xué)習(xí),只是“倍”不作為科學(xué)概念而只作為生活概念來處理,即結(jié)合具體情境和問題解決的過程讓學(xué)生體會“倍”的意義,感受倍與除法的聯(lián)系,進(jìn)而拓展除法的意義(如圖3)。
從教材的編排來看,對“倍”的理解實際上就是對除法意義的拓展,即除法不僅可以表示一個數(shù)量的“等分除”問題,也可以表示兩個數(shù)量之間的關(guān)系(倍數(shù)關(guān)系)。而這里的“兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系”其實就是除法的“包含除”的意義,即a的數(shù)量是b的數(shù)量的多少倍,就是指a的數(shù)量里包含有多少個b的數(shù)量,也就是把b的數(shù)量看作“一份數(shù)”,那么“倍數(shù)”就是“份數(shù)”。也可以從度量的角度加以審視,即把b的數(shù)量看作一個標(biāo)準(zhǔn)度量單位(一份數(shù)),去度量a的數(shù)量(總數(shù)),度量的次數(shù)(份數(shù))就是“倍數(shù)”。由此可見,除法學(xué)習(xí)至此,除法的意義已經(jīng)由表示一個數(shù)量“等分除”的問題擴(kuò)充至兩個數(shù)量“包含除”的倍數(shù)關(guān)系問題,隨著對除法學(xué)習(xí)的再認(rèn)識,除法的意義在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次上實現(xiàn)了新的拓展與提升。
3.再談明晰“等分除”與“包含除”對除法學(xué)習(xí)的重要性
誠然,“等分除”是把一個總數(shù)平均分成若干份,求每一份的數(shù)量是多少;“包含除”是把每一份的數(shù)量看作一個標(biāo)準(zhǔn)量,看總數(shù)里有幾個這樣的“一份數(shù)”,相當(dāng)于把總數(shù)平均分成了幾份。這樣看,無論是“等分除”還是“包含除”,單從學(xué)習(xí)活動上看是基本一樣的,都可以看作是把一個整體數(shù)量分成若干相同的部分的過程。但是,從問題情境數(shù)學(xué)化的角度來看,“等分除”和“包含除”還不完全是一回事。他們不僅僅是簡單的“平均分”的兩種方式,也不僅僅是“平均分”的不同分法,它們客觀再現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)意義和學(xué)生的思維認(rèn)知存在著明顯差別。在除法學(xué)習(xí)的起始階段,基于學(xué)生對除法理解的初步程度,如教材所述可以將“包含除”的問題蘊(yùn)含于“平均分”中暫時與“等分除”不作區(qū)分。但隨著除法學(xué)習(xí)的深入,隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷進(jìn)階,學(xué)生對除法意義的認(rèn)識也需要進(jìn)一步擴(kuò)充和拓展,這就是“倍的認(rèn)識”出現(xiàn)的重要意義。“倍的認(rèn)識”使得學(xué)生對除法意義的理解由統(tǒng)一一個數(shù)量的“等分除”上升為兩個數(shù)量的“包含除”的倍數(shù)關(guān)系,將“包含除”的意義從“等分除”中剝離出來,既是對不同問題情境數(shù)學(xué)化抽象理解的體現(xiàn),也是學(xué)生對除法意義認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步完善的體現(xiàn)。
讓我們再來看兩個例子。
問題1:國內(nèi)長途每分鐘0.3元,笑笑打電話通話費用了5.1元,笑笑打電話的時間是多少分鐘?
問題2:1袋20kg的大米,每天吃掉2/5kg,可以吃多少天?
顯然,這兩個例子是“小數(shù)除法”和“分?jǐn)?shù)除法”的問題。在“用除法解決這樣的問題”以及解釋“為什么用除法解決”時,一般用“等分除”不好解釋,而用“包含除”的意義或“倍”的關(guān)系來解釋則學(xué)生很容易理解,即“要求打電話的時間是多少分鐘,就是看5.1元里有多少個0.3元”“要求可以吃多少天,就是看20kg里有多少個2/5kg”,從兩個量之間的數(shù)量關(guān)系來理解除法正是除法“包含除”的意義。這也正說明,從整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù),隨著數(shù)系的不斷擴(kuò)展,學(xué)生對除法的學(xué)習(xí)也會隨之從整數(shù)除法到小數(shù)除法再到分?jǐn)?shù)除法不斷深化,對運(yùn)算意義的理解與再認(rèn)識也會隨之更加清晰、明朗和走向深入。
(二)延伸再認(rèn)識乘法意義的擴(kuò)充拓展問題
追溯乘法,最初是表示“求幾個相同加數(shù)的和”,即用相同加數(shù)乘相同加數(shù)的個數(shù)。但隨著數(shù)系領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展,這里的加數(shù)也逐漸開始突破自然數(shù)的限制。比如“小數(shù)乘整數(shù)”“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”,這里乘法的最初定義已經(jīng)無法“雙向”解釋,乘法意義需要進(jìn)一步擴(kuò)充拓展。隨著乘法的認(rèn)識和學(xué)習(xí),乘法也出現(xiàn)了倍的意義,即求一個數(shù)的幾倍是多少。從整數(shù)乘法到小數(shù)乘法中的“小數(shù)乘小數(shù)”,再到分?jǐn)?shù)乘法中的“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”。這一過程中乘法意義又突破了“倍”的意義,與“分?jǐn)?shù)意義”相關(guān)聯(lián),進(jìn)一步完成了由表示“幾個幾”到表示“一個數(shù)的幾分之幾”的擴(kuò)充與拓展。由此可見,小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義已經(jīng)并不完全相同,有時用整數(shù)乘法的意義“幾個幾”可以解釋,有時卻需要聯(lián)系分?jǐn)?shù)的意義解釋才更科學(xué)合理。乘法運(yùn)算的意義必須根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充和拓展。
三、運(yùn)算教學(xué):運(yùn)算意義應(yīng)從固有的“原始性認(rèn)識”向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”轉(zhuǎn)變進(jìn)階
回應(yīng)前面觀課中的問題?!鞍咐钡膬?nèi)容是根據(jù)問題情境提出用除法解決的實際問題,是在學(xué)生經(jīng)歷了第一階段“分一分與除法”的學(xué)習(xí),已經(jīng)認(rèn)識了除法“等分除”的意義,并進(jìn)一步通過“倍的認(rèn)識”補(bǔ)充拓展了“包含除”的意義的基礎(chǔ)上展開的第二階段除法學(xué)習(xí)。因此根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階,在將問題情境數(shù)學(xué)化的過程中還是需要將“包含除”與“等分除”區(qū)分開來,幫助學(xué)生全面補(bǔ)充拓展理解除法的意義。正如張奠宙教授所言“在日常生活中,‘等分除’情境與‘包含除’情境是不一樣的,雖然都?xì)w于除法,但只有把兩者意義區(qū)分開,除法模型才會建立得更加豐滿”。
綜上所述,運(yùn)算意義的教學(xué)不應(yīng)也不能是“一以貫之”,而是要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”,不斷豐富完善學(xué)生對運(yùn)算意義理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。就整體而言,我們不僅應(yīng)當(dāng)高度重視對運(yùn)算意義固有的“原始性認(rèn)識”,努力促使學(xué)生向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”轉(zhuǎn)變進(jìn)階,而且應(yīng)幫助學(xué)生根據(jù)數(shù)系的不斷擴(kuò)展以及運(yùn)算內(nèi)容、學(xué)習(xí)階段的進(jìn)階遵從知識學(xué)習(xí)的本質(zhì)規(guī)律,從更高層次上進(jìn)行思維與認(rèn)識水平的必要重構(gòu),從而完成對運(yùn)算意義理解的發(fā)展與深化。
參考文獻(xiàn):
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[2]鞏子坤,張奠宙,任敏龍,等.小學(xué)數(shù)學(xué)中切莫忽視“包含除”的教學(xué)價值[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2017(4):4-6.
(北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)教育集團(tuán)100193)