邢成云 費禎紅

【摘 要】解題教學(xué)是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分。文章在“雙減”背景下，從數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該教什么題、如何教解題及如何講數(shù)學(xué)題等視角依次進(jìn)行闡釋，意在探討教師應(yīng)如何選“好題”進(jìn)行解題、講題教學(xué)，以優(yōu)化課堂，從根本上解決“雙減”問題。

【關(guān)鍵詞】“雙減”;解題教學(xué);數(shù)學(xué);講題

解題教學(xué)是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，它不僅是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的手段，也是實現(xiàn)其他學(xué)科教學(xué)目標(biāo)的重要手段，為此，解題教學(xué)一直以來受到我國中小學(xué)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科教育的重視[1]。我國參加國際學(xué)生評估項目（PISA）測試的卓越成績以及成績背后沉重的學(xué)生負(fù)擔(dān)，給了國人諸多的思考。對于卓越成績的取得，我國變式理念下的解題教學(xué)功不可沒，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)文化的傳承意義不菲。但不可諱言，應(yīng)試教育的痕跡愈加明顯，學(xué)生的負(fù)擔(dān)愈加沉重，創(chuàng)新思維的發(fā)展又步履維艱……在這種背景下，我國的“雙減”政策面世。教師作為一線教育工作者自然不能置身其外，而是應(yīng)該積極探求突破路徑。但教師若只盯著作業(yè)量的減少來做文章，那無異于頭疼醫(yī)頭，腳疼醫(yī)腳，于事無補(bǔ)。本文主要從數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該教什么題、如何教解題、如何講數(shù)學(xué)題三個方面展開論述，意在尋求優(yōu)化的解題教學(xué)，努力實現(xiàn)“雙減”的高品質(zhì)落地。

一、數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該教什么題

解題需要教什么樣的題？所有題都有必要教嗎？這就涉及題目甄選的問題。誠然，“題?！睙o邊，我們不可能都去解。為了在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)解題教學(xué)的價值，教師就要選“好題”，讓學(xué)生解“好題”。什么是“好題”？章建躍博士認(rèn)為，“好題”應(yīng)與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等;從培養(yǎng)思維能力的角度，則指問題是自然的，對學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，表述形式簡潔、流暢、好懂等[2]。波利亞也從側(cè)面說明了何為“好題”，他指出，一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一道有意義但不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得學(xué)生通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域[3]。這里，有意義但不復(fù)雜的題目就是“好題”。有了“好題”，教師就需要幫助學(xué)生努力將解決的每一個問題作為范例，用于解決其他問題，讓學(xué)生在這樣的往復(fù)中學(xué)會思考、發(fā)展思維、優(yōu)化思維。

基于以上認(rèn)識，筆者確立了這樣的選題基本原則：低起高落，能承載起“四基”的鞏固，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，具有多角度、開發(fā)性及發(fā)展性，能撥動思維、激蕩思維、磨礪思維、發(fā)展思維，以實現(xiàn)“四能”的提高。由此，筆者善用兩類問題：一是選題目，開發(fā)“一題一課”，通過母題（圖）變式，串起課堂;二是選題組，用好題組教學(xué)，發(fā)揮題目的聚合之力，共同服務(wù)于課堂主旨。需要注意的是，教師不管使用哪類問題，均應(yīng)以“四基”的熟練、“四能”的提高作為介質(zhì)，指向?qū)W生思維的歷練與發(fā)展。

二、如何教解題

解題教學(xué)中的解題，不同于普通的解出一道題。普通解題，不管是學(xué)生解題還是教師解題，均是單向行為。而解題教學(xué)的解題，承載了更多的探索元素，其中不乏教與學(xué)的合力。教師要教會學(xué)生解題，自己的解題功夫是不可或缺的。教師要使解題教學(xué)做到“淺出”，自己必須先進(jìn)行解題的“深入”;要讓學(xué)生學(xué)會解題而不陷入“題海”，教師必須先跳下“題?！薄＝處熜枰凇邦}海泛舟”中遴選出最有價值的題目并施之以教，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨立、有序、有邏輯地思考，這樣解題教學(xué)才會有實效。那么，解題教學(xué)應(yīng)該如何教？

（一）教想法

教想法是解題教學(xué)的關(guān)鍵。因為有想才有法，教師需要引導(dǎo)學(xué)生善于前思后想，善于聯(lián)想;有思才有路，學(xué)生只有通過深度思考才能找到解題捷徑，提升對數(shù)學(xué)的感覺，提高運算的靈活性。否則，囿于常規(guī)、流于習(xí)慣，往往會循規(guī)蹈矩，創(chuàng)新的火花難以迸發(fā)。波利亞說，教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生想什么卻更千百倍的重要。在教學(xué)中，暴露學(xué)生的所思所想非常關(guān)鍵，讓學(xué)生先嘗試練習(xí)并闡明思路就是呈現(xiàn)學(xué)生所想的優(yōu)質(zhì)路徑。另外，面對問題，教師是如何想的，如何切入的，真實的一面是不是敢于展現(xiàn)給學(xué)生也非常關(guān)鍵。若教師一味地把加工好的解題思路教給學(xué)生，學(xué)生摸不到教師解題的門道，除了佩服教師的高明，其他作用微乎其微。因此，教師要善于把自己的解題思路暴露給學(xué)生，給學(xué)生帶來啟迪。

（二）教“一題多解、多解歸一”

“一題多解、多解歸一”是孫維剛老師的觀點，孫維剛老師的觀點給了筆者解題以指引?！耙活}多解”，需要多角度審視題目，如此才能更逼近問題的深層結(jié)構(gòu)，優(yōu)化的解題思路才更容易形成。當(dāng)然，教師不可為“多解”而“多解”，簡單地列舉解法，搞得學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，而是應(yīng)該追求自然、本然的“多解”，多維透視出本質(zhì)所在。“一題多解”有助于溝通或歷練不同的知識，讓問題由點構(gòu)成線、由線及面，幫助學(xué)生多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。需要注意的是，方法未必多多益善，甚至有時候會成為負(fù)擔(dān)，成為阻礙思維進(jìn)階的羈絆。因此，方法要基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生能跳一跳夠得著，否則會適得其反。也就是說，教師要掌控好“研題無界限，教題有視域”的尺度。

教師除了“一題多解”的探索，還要注意引導(dǎo)學(xué)生“一題多變”，讓問題由線構(gòu)成面;引導(dǎo)學(xué)生“一題多用”，讓問題由面構(gòu)成體。這樣，學(xué)生在不斷變換的情境中歷練，將大大促進(jìn)正遷移的發(fā)生。“一題多解”“一題多變”，發(fā)散了學(xué)生的思維，但僅有這些仍然不夠，教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生“多解歸一”，給彼此剝離的多種解法找到交匯點或“根據(jù)地”。學(xué)生的知識系統(tǒng)化了，方法明確了，才能達(dá)到“做一題，會一類，通一片”的目的，從而升華思維。如此，教師解題教學(xué)的主導(dǎo)作用才稱得上是真落實了。

（三）教反復(fù)

教反復(fù)，反復(fù)教，看似機(jī)械重復(fù)、鏖戰(zhàn)“題?！?，其實不然，適當(dāng)?shù)姆磸?fù)是必須的。有的題目不是一次性能解決徹底的，需要在往復(fù)中浸潤，在浸潤中“破繭成蝶”。著名數(shù)學(xué)教育家單墫教授就曾說過，提高解題能力需要保證每道題目做三遍。華羅庚先生也曾經(jīng)說過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做到熟練化，熟能生巧進(jìn)而出神入化。兩位大師都在強(qiáng)調(diào)熟練的價值。顯然這個熟練不是簡單、機(jī)械地重復(fù)練習(xí)，也不是原地踏步，而是解題思路的不斷調(diào)整與進(jìn)階，是層級遞進(jìn)的。A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247

（四）教反思

解題后的反思至關(guān)重要，它是提高解題能力的必由之路。沒有反思的經(jīng)驗是零散的，沒有反思的解題是徒勞的、呆板的，解一題丟一題，很容易陷入“題?！薄＝忸}多、解題經(jīng)歷豐富不代表解題水平就高，它需要一個梳理、內(nèi)化的過程，這個過程就是反思。只有通過反思活動的進(jìn)行，解題的經(jīng)歷才能提升為解題的經(jīng)驗，為以后的解題提供好念頭。可見好念頭的出現(xiàn)不是天外來物，也不是可遇不可求，而是豐富的解題經(jīng)歷的升華，而這個升華需要解題反思這一“催化劑”。

因此，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生解題后及時進(jìn)行反思，讓學(xué)生回想一下如何審題，用到哪些知識點，各知識點之間有何聯(lián)系，考慮問題是否全面，能否改進(jìn)解法等。這樣，幫助學(xué)生把相關(guān)知識進(jìn)行串聯(lián)學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)例得類，豁然貫通。另外，在問題解決的過程中，思維受阻是常有的事，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生思考思維為什么受阻？是如何“突圍”的？使學(xué)生在實踐—認(rèn)識—再實踐—再認(rèn)識的循環(huán)往復(fù)中調(diào)整思維走向，提升元認(rèn)知水平，優(yōu)化思維。

（五）教中巧

張景中院士說：練武功的上乘境界是“無招勝有招”，但武功仍要從一招一式入門，解題也是如此。這種“無招勝有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也確實太難，對于大多數(shù)學(xué)子，還要重視有章可循的招式。大巧法無定法，小巧一題一法，中巧呢，則希望用一個方法解出一類題目。[4]上海陳永明先生把張景中院士的上述觀點稱為解題“中巧說”，“中巧說”自此得以流傳。筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，對“三巧”認(rèn)識日見其深，慢慢觸摸到其中的玄妙。筆者認(rèn)為，解題教學(xué)應(yīng)淡化技巧之小巧，立足通性通法之中巧，追求運勢謀道之大巧，即教師應(yīng)把教中巧作為解題教學(xué)的重點，以此尋求突破，而不是傾力于玄妙之技，苛求于大巧。

三、如何講數(shù)學(xué)題

在日常講題教學(xué)實踐中，有兩種典型的教學(xué)困惑常常襲擾我們：一是教師之困——明明講得很清楚、很到位，可學(xué)生為什么就是不懂或似懂非懂，而不足以擁有獨立正確解題的力量;二是學(xué)生之困——課堂上教師講得明明白白，學(xué)生自我感覺也都聽懂了，可接下來面對類似的題為什么還是不會解？兩大困擾，讓師生糾結(jié)不已。要探究其因，筆者認(rèn)為應(yīng)著眼于教師教了什么和學(xué)生學(xué)了什么。講題教學(xué)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生“會思考”的能力，而不是細(xì)碎化一步一步地告知。

（一）關(guān)注題目和審題

題目是物質(zhì)載體，理解題目是教師實施講題教學(xué)的基礎(chǔ)。題目應(yīng)該本著有利于啟發(fā)學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的原則精心挑選。教師只有選出了好題目，才能更好地向?qū)W生呈現(xiàn)好問題。教師在理解題目的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從熟悉題目到深入理解題目。學(xué)生在識別好題目類型（計算題、證明題、填空題、選擇題、作圖題等）的前提下，既要搞清楚已知量、未知量等顯性條件信息，又要深挖隱含其中的已知條件，厘清條件和目標(biāo)，明確從何處下手、向何處前進(jìn)，為進(jìn)一步獲取條件和目標(biāo)的邏輯關(guān)系，構(gòu)建它們之間的聯(lián)系以及探尋解題思路走向如何解、如何教做好充分的先期準(zhǔn)備……這些工作就是審題。而審題是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，容易被忽視。教師在出示一道習(xí)題之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解題意，即審好題，對題目給定的條件進(jìn)行等價表達(dá)，對內(nèi)隱條件進(jìn)行有意識挖掘，對這些條件的功能指向進(jìn)行適當(dāng)“進(jìn)與退”的引導(dǎo)，即把條件“向前走一步或幾步”或“向后撤一步或幾步”，把隱藏的相關(guān)知識引出來，再鎖定目標(biāo)，統(tǒng)合所有條件，匯聚成解題力量，探析解決問題的路徑。也就是說，教師要始終把審題作為講解的重點，把如何選擇解題的切入點和如何將思維過程可視化展示給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會審題，使學(xué)生思考有法可依、有路可循。

（二）站在學(xué)生立場

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者[5]。由此可見，教師要始終從學(xué)生的視角看待習(xí)題，站在學(xué)生立場去講題。教師要設(shè)身處地把自己擺在學(xué)生的位置，從學(xué)生的視角觀察、思考題目，因為每個人所看到的世界是不一樣的。首先，教師要對學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實等基本學(xué)情有一個整體的把握，明晰哪些問題需要講，哪些問題可以不講。其次，教師要盡可能地預(yù)見學(xué)生在探索過程中可能遇到的問題，要前思后想、估計充分，對欲講的內(nèi)容有一個大概的設(shè)想，在多變的課堂上才可以從容，才會促進(jìn)精彩的預(yù)設(shè)生成，而不是時時靠“不曾預(yù)約的精彩”。最后，習(xí)題的難易程度應(yīng)依學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實水平的客觀來甄別、判斷，而不是教師的主觀臆斷，即要以學(xué)定教，彰顯學(xué)生立場。

（三）關(guān)注策略和方法

講析題目是數(shù)學(xué)教學(xué)一種常規(guī)的講授方式，有啟迪作用的講解、析題方法能引導(dǎo)學(xué)生感受真實性、高階性思維活動過程，而這樣的過程才能更好地促成講題教學(xué)的寬度、高度和深度。若教師只會做題，不會講題，學(xué)生將難有收益，因為那樣充其量是教師把答案奉送。另外，教師還需要會析題、品題，若品不出題目的價值，特別是題目的學(xué)術(shù)價值、教育價值和思維價值，教師就不能游刃有余地駕馭這道題目，更談不上把它有效地用到課堂上。教師只有像品茗一樣品出題目“味道”，才能揣摩出解題教學(xué)之道，讓題目成為教學(xué)的有效載體。這樣，講題策略、方法的重要性凸顯出來，如教師講題要勇于和學(xué)生零起點解題，真實地擺出解題過程，讓學(xué)生看到教師面對問題時的前思后想、左沖右突，以及如何絕地重生等。同時，教師講題、析題還要善于留懸布疑。教師作為主導(dǎo)講題的組織者，在講析的過程中，切不可越俎代庖，一股腦兒抖出包袱，而應(yīng)每至緊要處、關(guān)鍵處，布白留懸、挑出疑竇，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)“想”的時機(jī)，或者故意依需設(shè)“餌”把學(xué)生的思路誘入“歧途”，讓他們跋涉一番，在困頓中自尋出路而迷途知返。這樣學(xué)生學(xué)起來才會有挑戰(zhàn)的驚喜，思起來才會有跌宕起伏的沖擊力。而當(dāng)學(xué)生怎么想也想不出來，正在“憤憤然”時，教師一語道破“天機(jī)”，讓學(xué)生產(chǎn)生豁然開朗的感覺，講解的效果不言而喻。

（四）敢于“裸解”題目

如前所述，“裸解”就是教師在不做任何準(zhǔn)備的前提下，和學(xué)生直接面對數(shù)學(xué)問題，一起思考、一起嘗試，一起朝著解題目標(biāo)前行。如此行為是為了讓學(xué)生看到教師面對問題時的前思后想、遇到阻力時的左沖右突，讓學(xué)生看到教師解題的真實面貌，讓學(xué)生了解教師處理問題時的磕磕絆絆、彎彎繞繞，以及遭遇困厄時如何“突圍”，深陷泥濘時如何“自拔”[6]。這樣才能讓學(xué)生學(xué)到教師解題的真功夫，而不是細(xì)致入微的美化思路，看起來通關(guān)自如，其實是教師苦心經(jīng)營的講前設(shè)計。作為教師都知道，細(xì)致入微的設(shè)計往往濾掉了探索的磕磕絆絆而美化了解題的歷程，如此勢必掩蓋了真實的破題思路，看起來技玄招高，令學(xué)生望洋興嘆。長此以往，學(xué)生見到的都是加工后的“高招”，學(xué)生不僅會有挫敗感，而且也很難形成正確的解題思路。基于以上認(rèn)識，筆者一直提倡與學(xué)生一起“裸解”題目，把自己看似不順暢的探索過程與學(xué)生同頻，更便于學(xué)生觸摸到教師的破題之道、解題之術(shù)。A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247

（五）讓學(xué)生嘗試先行

波利亞認(rèn)為，解題過程就是一個運用探索法誘發(fā)學(xué)生靈感的過程。既然是誘發(fā)靈感，這個誘發(fā)首先需要學(xué)生個人的探索、個人的嘗試。面對數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生嘗試先行，如此才能更好地觸摸到學(xué)生的真實想法，才能對癥下藥，落實好以學(xué)定教。否則可能是一廂情愿的假想，難以錨定學(xué)生的疑點、困惑點、思維斷點等關(guān)鍵點。我們經(jīng)常見到有些教師在課堂上，尤其是在公開課上，題目一出來就開始喋喋不休地提示、提醒，時不時地打斷學(xué)生，唯恐學(xué)生想不到而先行引導(dǎo)，如此不僅禁錮學(xué)生本來靈動的思維，而且破壞了學(xué)生的“長時思考”，對學(xué)生思維的發(fā)展不利。

四、寫在最后

筆者認(rèn)為“雙減”需要教師在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上精研課堂、深耕課堂，真正地提高課堂教學(xué)的效率，優(yōu)化課堂教學(xué)，讓“四基”的通透發(fā)生在課堂上，讓創(chuàng)新意識萌生在課堂上。教師需要把課堂這個前場的功夫下足，從課堂上幫助學(xué)生由低階思維向高階思維邁進(jìn)，讓學(xué)生走出“惰性知識”困境，真正理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，探得數(shù)學(xué)之道。有了優(yōu)質(zhì)的課堂和正確解題觀下的解題教學(xué)，學(xué)生的負(fù)擔(dān)將不減自輕。

參考文獻(xiàn)：

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[6]邢成云.統(tǒng)整初中數(shù)學(xué)課程：站在課程高度教學(xué)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（5）：9-12.

【作者簡介】邢成云，正高級教師，山東省特級教師，全國“萬人計劃”教學(xué)名師，全國“雙名工程”領(lǐng)航名師，山東省有突出貢獻(xiàn)的中青年專家;費禎紅，正高級教師，山東省特級教師，齊魯名師，齊魯名師領(lǐng)航工作室主持人，教育部名師領(lǐng)航工程邢成云名師工作室核心成員。

【基金項目】2020年度山東省教育教學(xué)研究重點課題“基于初中數(shù)學(xué)課程整合的單元教學(xué)案例研究”（2020JXZ026）A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247