張宏根

（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)，浙江杭州 310000）

物理學(xué)中不少不同部分的知識(shí)點(diǎn)之間有著緊密的聯(lián)系，挖掘它們之間的關(guān)系，有助于理清物理學(xué)的知識(shí)脈絡(luò)，并能夠使所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.物理學(xué)習(xí)的研究方法很多，其中類比法是較為常見的一種研究方法.類比法指的是由一類事物所具有的屬性，推測(cè)出其它類似事物也具有這種屬性的一種推理方法.［1］這種方法能把具有相似之處的物理知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行對(duì)比，從而起到幫助記憶、加深理解，提高分析問題和解決問題的能力.［2］通過近年來(lái)的中學(xué)物理教學(xué)工作，筆者深刻認(rèn)識(shí)到在教學(xué)中傳授知識(shí)固然重要，但掌握好的學(xué)習(xí)和研究方法則可以讓我們的學(xué)生終生受益.因此，在物理教學(xué)中教師應(yīng)該注重傳授物理學(xué)的研究方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這些方法解決問題，尤其是針對(duì)學(xué)習(xí)物理競(jìng)賽的學(xué)生，顯得尤為重要.以下筆者就以RLC電路為例，探索類比法在物理學(xué)習(xí)和解題中的應(yīng)用.

1 RLC串聯(lián)電路的類比研究

物理中的不同知識(shí)點(diǎn)之間可能存在關(guān)聯(lián)性和相似點(diǎn)，比如RC電路與RL電路，RLC 串聯(lián)電路和LC電路分別與阻尼振動(dòng)和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)之間都具有很大的相似性，因此可以通過類比，將一種研究方法應(yīng)用到另一種上，從而快速得出結(jié)論.以下就舉例作簡(jiǎn)單的說明.

1.1 RC和RL串聯(lián)暫態(tài)電路的類比

圖1 顯示的是RC 串聯(lián)電路，其中電源電動(dòng)勢(shì)為E，電容為C，電阻為R.電容器充電后將電鍵開關(guān)接到2 的位置，電容器C通過電阻R放電，在放電的暫態(tài)過程中，電流i隨時(shí)間t的變化關(guān)系可以通過基爾霍夫第二定律得到，具體如下.［3］

圖1 RC串聯(lián)電路示意圖

通過對(duì)（1）式求導(dǎo)，并結(jié)合（2）式，得到RC 電路在放電暫態(tài)過程中的電流，即

可見，電路中的電流以指數(shù)形式變化，定義RC 串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)τ＝RC.

圖2顯示的是RL串聯(lián)電路，其中電源電動(dòng)勢(shì)為E，電感為L(zhǎng)，電阻為R.對(duì)比圖1和圖2，不難發(fā)現(xiàn)二者有很大的相似性，因此，可以類比RC 電路來(lái)分析RL 電路.當(dāng)電鍵開關(guān)從1快速撥向2時(shí)，設(shè)初始條件t＝0時(shí)，i0＝.可以通過基爾霍夫第二定律，類比RC串聯(lián)電路的（1）式，可以得到［3］

圖2 RL 串聯(lián)電路示意圖

將（5）式和（3）式對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)二者高度相似，所以可以類比得出（5）式的解

通過以上對(duì)比分析不難得出短接的RC和RL電路暫態(tài)放電過程具有很大的相似性，表1 是二者的對(duì)照關(guān)系.

表1 短接的RC和RL電路暫態(tài)過程對(duì)比

1.2 RLC串聯(lián)電路和阻尼振動(dòng)的類比

圖3 顯示的是RLC 串聯(lián)電路，其中電源電動(dòng)勢(shì)為E，電容為C，電阻為R，電感為L(zhǎng).假設(shè)電鍵開關(guān)從1快速導(dǎo)通到2，則在放電的暫態(tài)過程中，電流i隨時(shí)間t的變化關(guān)系可以通過類比上述RC和LC 電路方法，由基爾霍夫方程得到，具體如下.［3］

圖3 RLC串聯(lián)電路示意圖

將（2）式代入可得

此式與阻尼振動(dòng)，即物體以不太大的速率在黏性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其阻力與運(yùn)動(dòng)的速率成正比（f＝－γv）情況下的微分方程類似，可以對(duì)兩者進(jìn)行類比.其中阻尼振動(dòng)方程如下.［4］

綜上所述，RLC、LC 串聯(lián)電路分別與阻尼振動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)類似，其對(duì)應(yīng)的電路物理量和振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示.

表2 RLC電路和振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)各物理量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

2 類比法的應(yīng)用舉例

通過前述的類比我們發(fā)現(xiàn)：RLC 電路和動(dòng)力學(xué)振動(dòng)之間有極大的相似性，這種相似性表現(xiàn)在其方程的同構(gòu)上.所以很有必要探索利用RLC 電路的相關(guān)知識(shí)來(lái)求解與之相似的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)問題，或者利用動(dòng)力學(xué)振動(dòng)知識(shí)來(lái)求解RLC 電路問題，以期獲得更為簡(jiǎn)潔的求解方法.以下就以兩個(gè)相關(guān)的高中物理題舉例說明.

例1.如圖4，豎直勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中放有兩條平行無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)軌，間距為l，導(dǎo)軌光滑無(wú)摩擦且為理想導(dǎo)體.在導(dǎo)軌上平行放著兩根完全相同的質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒，每根棒上串聯(lián)有電阻R，電容C，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好.初始時(shí)，棒1具有指向棒2 方向的速度v0，電容上無(wú)電荷，兩棒間距足夠大不會(huì)相撞.

圖4

（1）求出電流隨時(shí)間變化關(guān)系.

（2）將題中的電阻改成L的電感，其余不變，求電流隨時(shí)間變化關(guān)系.

解析：此題的導(dǎo)體棒以一個(gè)初速度運(yùn)動(dòng)，可以類比為已經(jīng)充電的電容器，其電壓可以用導(dǎo)線切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)Blv0來(lái)表示.在隨后的運(yùn)動(dòng)過程，可以類比為RC的放電暫態(tài)過程和LC 電路的自由振蕩過程.具體求解方法如下.

（1）如圖5，假設(shè)兩導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度分別為v1和v2，電流流向如圖5 所示.由牛頓第二定律可得

圖5

根據(jù)基爾霍夫第二定律，可得

兩邊求導(dǎo)，并結(jié)合（11）、（12）和（2）式，可得

令

則總電容就為C′，（14）式可以寫成

（2）當(dāng)電阻改為電感L時(shí)，根據(jù)基爾霍夫第二定律，并類比（13）式可得

兩邊求導(dǎo)，并結(jié)合（11）、（12）和（2）式，可得

將（15）式代入可得

將（21）式和簡(jiǎn)化的（8）式相比較，可以看出：兩式具有完全一致的形式，所以串聯(lián)電感的導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過程可以類比為L(zhǎng)C振蕩電路.對(duì)照（10）式的解的形式，將串聯(lián)電感電路中的C′、E0（＝Blv0）分別和LC 振蕩電路中的C、E作類比，不難得出（21）式的解

例2.如圖6所示，一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，垂直于一軌距為l的導(dǎo)軌平面，軌道平面與水平面有α的傾角.一根無(wú)摩擦的導(dǎo)體棒，質(zhì)量為m，橫跨在兩根金屬導(dǎo)軌上.若開關(guān)依次接通1、2，使電容為C或電感為L(zhǎng)的元件與棒構(gòu)成電路，當(dāng)從靜止放開導(dǎo)體棒后，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖6

解析：此題是將電容或電感與導(dǎo)體棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)組合的一類問題.當(dāng)開關(guān)接1，導(dǎo)體棒與電容器構(gòu)成回路，導(dǎo)體棒開始以加速度a運(yùn)動(dòng)，并產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)而對(duì)電容器充電，同時(shí)電路中產(chǎn)生電流，此時(shí)棒會(huì)受到一個(gè)反向的安培力作用.當(dāng)開關(guān)接通2，導(dǎo)體棒與電感線圈構(gòu)成回路，棒開始運(yùn)動(dòng)后，隨著速度增大，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)增大；電動(dòng)勢(shì)直接加在線圈兩端，因此通過線圈的電流增大；而導(dǎo)體棒受到安培力的作用，越過平衡位置后減速，直至速度為0.電路電流開始時(shí)逐漸增大，在導(dǎo)體棒達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)電路中電流最大.隨后導(dǎo)體棒因安培力作用往回加速，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)使電流減小，直至導(dǎo)體棒回到初始位置，電流減小為0.再重復(fù)上述過程，形成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).求解這類問題的常規(guī)方法是將導(dǎo)體棒和電容、電感分開分析，對(duì)導(dǎo)體棒應(yīng)用動(dòng)力學(xué)知識(shí)列方程；對(duì)電容、電感利用電學(xué)知識(shí)列方程.求解過程較為繁雜.我們可以根據(jù)例1的結(jié)論來(lái)進(jìn)行求解，可以極大的簡(jiǎn)化求解過程，具體如下.

此時(shí)，就不需要考慮電學(xué)方面的問題，直接根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，即牛頓第二定律就可以列出方程

此時(shí)的串聯(lián)電路可以等效為L(zhǎng)C振蕩電路，得到其電流方程

從題中不難看出導(dǎo)體棒也將在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此題通過類比法，將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)化為L(zhǎng)C 自由振蕩電路求解，將極大簡(jiǎn)化計(jì)算過程.

不難得出當(dāng)電流最大時(shí)，為導(dǎo)體棒的平衡位置，此時(shí)導(dǎo)體棒受力平衡，即重力沿著軌道的分力mgsinα和安培力ilB是一對(duì)平衡力，即平衡位置處的電流i0為

由題意知，初始時(shí)刻t＝0時(shí)的初始電流i＝0，可以類比LC振蕩電路的解，并結(jié)合（27）式，得出（26）的解

在導(dǎo)體棒與電感線圈構(gòu)成回路中，電壓與電流的關(guān)系為

對(duì)（29）式兩邊積分，由初始條件，x＝0時(shí)i＝0，可得

將（28）式代入（30）式中，可得

即導(dǎo)體棒在作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

3 結(jié)論

通過對(duì)RC和RL 電路類比，得出二者物理量之間的相似點(diǎn)；通過對(duì)比RLC 電路和阻尼振動(dòng)，以及LC振蕩電路和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，得出電學(xué)量與力學(xué)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種類比法不僅便于學(xué)生快速掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，也有利于在解題和學(xué)習(xí)中開拓思維，觸類旁通.為此，通過舉例，利用導(dǎo)體棒做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)的可以等效為電容C，進(jìn)而可以通過RC 和LC 電路知識(shí)來(lái)求解這類電路串聯(lián)電容和電感的相關(guān)問題；或者利用B2l2C將電容等效為質(zhì)量m*，利用力學(xué)方法來(lái)求解電學(xué)問題.通過例題展示不難可以發(fā)現(xiàn)，使用這些方法可以得到更為簡(jiǎn)潔的求解過程.