朱玉元

（福州一中，福建福州 350001）

帶電粒子在洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，往往對(duì)學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力要求較高，因此也是高考的常考點(diǎn)和難點(diǎn).在這類問(wèn)題中，不論是單純的有界磁場(chǎng)，還是組合場(chǎng)或者復(fù)合場(chǎng)的情境下，洛倫茲力都對(duì)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)發(fā)揮著重要影響.在日常授課中，教師多從洛倫茲力提供向心力的角度，通過(guò)畫(huà)軌跡定圓心求半徑的流程來(lái)解決問(wèn)題，而洛倫茲力的沖量特點(diǎn)較少被提及.本文嘗試?yán)寐鍌惼澚Φ臎_量特點(diǎn)，從動(dòng)量定理角度來(lái)分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng).

1 洛倫茲力的沖量特點(diǎn)

我們知道洛倫茲力與粒子的速度有關(guān)，其在兩個(gè)相互垂直方向上的分力的沖量大小分別為

在僅受洛倫茲力的作用時(shí)，根據(jù)動(dòng)量定理可得

即利用洛倫茲力沖量的特點(diǎn)可以得到帶電粒子在某一方向動(dòng)量變化量與垂直該方向位移成正比.利用這個(gè)關(guān)系解決問(wèn)題只需抓初末狀態(tài)，可以免去分析運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)（如找圓心、求半徑等幾何關(guān)系）的困難，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

2 用動(dòng)量定理分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

2.1 在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中圓軌跡的證明

解析：如圖1所示，在磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量為m、帶電量為＋q的不計(jì)重力的帶電粒子，以速率v從原點(diǎn)O向x軸正方向射出.可以把粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程所受洛倫茲力沿x軸和y軸正交分解，即fx＝qvyB，fy＝qvxB.粒子從原點(diǎn)O到軌跡上任意點(diǎn)A（x，y）的過(guò)程中，在x、y兩個(gè)方向上，根據(jù)動(dòng)量定理得

圖1

對(duì)于重力不計(jì)的帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為什么是圓，一般教師的處理方式是先用洛倫茲力演示儀觀察其運(yùn)動(dòng)軌跡，再定性說(shuō)明其向心力就是洛倫茲力.這種方式并不能讓一些愛(ài)思考的學(xué)生“完全信服”，不妨試試通過(guò)動(dòng)量定理來(lái)證明，提升知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性并拓展學(xué)生的思路.

2.2 關(guān)注始末狀態(tài)舍棄復(fù)雜的幾何關(guān)系

圖2

解析：由幾何關(guān)系可知最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示，設(shè)粒子入射速度與y軸夾角為θ，軌跡與磁場(chǎng)上邊界切點(diǎn)為B，出射點(diǎn)為C.

圖3

O→B過(guò)程中，沿x方向由動(dòng)量定理得

O→C過(guò)程中，沿y方向由動(dòng)量定理得

由（1）－（3）式得

表中展現(xiàn)了本文對(duì)政府引導(dǎo)基金融資模式的探索性評(píng)價(jià)結(jié)果，數(shù)值越高表明對(duì)應(yīng)的能力越強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的壓力越大。表中的評(píng)價(jià)結(jié)果主要基于是否直接投資和是否股權(quán)投資兩個(gè)維度所得，表中直觀地展現(xiàn)出了政府引導(dǎo)基金不同模式在撬動(dòng)社會(huì)資本、政府意愿體現(xiàn)、政府參與公司治理能力和多階段投資引導(dǎo)能力上的差異。

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若發(fā)現(xiàn)已知條件中包含“距離”、“速度變化”等信息時(shí)，通過(guò)應(yīng)用兩個(gè)相互垂直方向上的動(dòng)量定理比用普通幾何方法會(huì)更便捷.

2.3 磁聚焦模型的動(dòng)量分析

圖4

解析：由題意可知粒子的軌跡半徑r等于磁場(chǎng)半徑R，任取一個(gè)粒子作為研究對(duì)象，設(shè)該粒子的入射點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），粒子的出射點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0，y0），如圖5所示.

圖5

由x、y兩個(gè)方向的動(dòng)量定理可得

由（1）－（5）式解得

又因?yàn)?/p>

則由（6）、（7）式得x0＝0，y0＝0，即這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.

2.4 扭擺模型的動(dòng)量分析

例4.（2011 年山東高考題節(jié)選）扭擺器是同步輻射裝置中的插入件，能使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生扭擺.其簡(jiǎn)化模型如圖6：Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界豎直，磁場(chǎng)方向相反且垂直紙面.一質(zhì)量為m、電量為－q、重力不計(jì)的粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后平行于紙面射入Ⅰ區(qū)，若B1≠B2，L1≠L2，且已保證了粒子能從Ⅱ區(qū)右邊界射出.為使粒子從Ⅱ區(qū)右邊界射出的方向與從Ⅰ區(qū)左邊界射入的方向總相同，求B1、B2、L1、L2之間應(yīng)滿足的關(guān)系式.

圖6

解析：在粒子穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)的過(guò)程中，分別沿y方向利用動(dòng)量定理，可得經(jīng)過(guò)B1：

經(jīng)過(guò)B2：

由題意知，穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)后速度方向不變（圖7），即

圖7

則由（1）－（3）式得qB1x1＝qB2x2，又x1＝L1，x2＝L2，可得B1L1＝B2L2.

在這個(gè)問(wèn)題中如果用幾何關(guān)系來(lái)處理很麻煩.分析發(fā)現(xiàn)題意中涉及到速度變化量與沿某一方向粒子通過(guò)的距離，因此利用洛倫茲力沖量的特點(diǎn)通過(guò)動(dòng)量定理將二者聯(lián)系起來(lái).

3 用動(dòng)量定理分析帶電粒子在組合場(chǎng)或復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

例5.如圖8所示，兩導(dǎo)體板水平放置，兩板間的電勢(shì)差為U，帶電粒子以某一初速度v0沿平行于兩板的方向從兩板正中間射入，穿過(guò)兩板后又垂直于磁場(chǎng)方向射入邊界線豎直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則粒子射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的M、N兩點(diǎn)間的距離d隨著U和v0的變化而變化情況為

圖8

（A）d隨v0的增大而增大，d與U無(wú)關(guān).

（B）d隨v0的增大而增大，d隨U的增大而增大.

（C）d隨U的增大而增大，d與v0無(wú)關(guān).

（D）d隨v0的增大而增大，d隨U的增大而減小.

圖9

這些粒子軌跡的弦長(zhǎng)之所以相等，并不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)巧合，而是它們沿x方向動(dòng)量變化量相等造成的.在這種組合場(chǎng)問(wèn)題中，在類平拋、直線邊界磁場(chǎng)的情境下，動(dòng)量定理的解法相比與普通幾何解法更加簡(jiǎn)潔且貼近物理本質(zhì).

例6.（2015 年天津高考題節(jié)選）現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng).真空中存在著如圖10 所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的寬度均為d.電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右；磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直.一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場(chǎng)左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射.粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sinθn的大小.

圖10

解析：設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為vn，從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn，由動(dòng)能定理和圖11可得

圖11

粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，y軸的速度分量不變，只有在磁場(chǎng)中y軸的速度分量發(fā)生變化，在粒子從開(kāi)始到穿出第n層磁場(chǎng)過(guò)程中，由動(dòng)量定理可得

在這類多個(gè)平行邊界磁場(chǎng)與電場(chǎng)的組合場(chǎng)情境下，因粒子進(jìn)入每層磁場(chǎng)的速度大小方向都不同，如果運(yùn)用傳統(tǒng)幾何方法求解過(guò)程會(huì)比較復(fù)雜繁瑣，而利用電場(chǎng)力改變小球合速度大小、洛倫茲力分力的沖量改變小球垂直電場(chǎng)力方向的動(dòng)量的特點(diǎn)，利用動(dòng)量定理抓住初末狀態(tài)，過(guò)程就顯得清晰且簡(jiǎn)潔.

洛倫茲力的沖量特點(diǎn)之所以有如此妙用，其本質(zhì)源于洛倫茲力的大小與速度大小成正比，在高中物理范圍內(nèi)，還有其它力也有類似的特點(diǎn)，對(duì)它們的沖量進(jìn)行分析，也會(huì)得到相似的結(jié)論.

4 其它F＝F 0＋kv的情況

例7.如圖12，質(zhì)量為m、帶電量為＋q的小滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向水平向外，給滑塊一個(gè)向右的水平初速度v0，經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度減為0，已知重力加速度為g，求此過(guò)程滑塊的位移大小x.

圖12

解析：對(duì)滑塊進(jìn)行受力分析，受力圖如圖13所示，在摩擦力作用下滑塊做減速運(yùn)動(dòng)，其洛倫茲力減小導(dǎo)致摩擦力也減小，其摩擦力與速度成線性關(guān)系，我們可以通過(guò)摩擦力的沖量特點(diǎn)由動(dòng)量定理得

圖13