謝禮平

（南京市東山高級中學(xué)，江蘇南京 211103）

高中物理新教材選擇性必修第1冊第4章第4節(jié)，［1］課題為“實(shí)驗(yàn)：用雙縫干涉測量光的波長”.在該節(jié)對實(shí)驗(yàn)原理的闡述中，推導(dǎo)了亮條紋所在位置的表達(dá)式.如圖1所示，與雙縫中心間距d相比，每個(gè)狹縫都很窄，寬度可以忽略不計(jì)，雙縫中心S1、S2的連線的中垂線與屏的交點(diǎn)為P0，縫到屏之間的距離OP0＝L.下面針對教材在推導(dǎo)亮條紋位置x與光波長λ之間關(guān)系式（1）的過程提出幾個(gè)問題，隨后提出作者對此的思考.

圖1

1 問題1及其討論

由教材表述的推導(dǎo)，會(huì)得到

教材在推導(dǎo)過程中有兩個(gè)地方使用了近似相等.

近似1：在r1＝MP1的條件下，將三角形S1S2M近似認(rèn)為是直角三角形，即∠S1MS2≈90°.

近似2：sin∠P1OP0≈tan∠P1OP0，教材表述為sinθ≈tanθ.

還有一個(gè)近似相等教材沒有提，而是直接表述為相等，即近似3：∠P1OP0≈θ，這個(gè)近似伴隨著∠S1MS2≈90°的近似而產(chǎn)生.

那么，為什么要用這3個(gè)近似？這3 個(gè)近似相等有根據(jù)嗎？在這里多數(shù)教師都感覺講授起來非常棘手：完全按照教材方式去講解，依靠學(xué)生的現(xiàn)有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他們會(huì)產(chǎn)生各種各樣的疑問：為什么要這樣近似？我用另外的近似方法可以不可以？如果可以的話，會(huì)推導(dǎo)出與教材結(jié)論完全不相同的結(jié)論.要知道，這些近似相等要面對的是可見光波長的數(shù)量級，即10－7m，它們真的可靠嗎？作者的印象是，在實(shí)際教學(xué)中，對這些問題的對待方式，要么是回避；要么是只強(qiáng)調(diào)教材提出的近似的權(quán)威性；只要求學(xué)生記住最后導(dǎo)出的關(guān)系式，推導(dǎo)過程略過不提.對此的疑問大都不了了之.

為確認(rèn)這些近似的可靠性，作者首先考慮的是根據(jù)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)裝置提供的數(shù)據(jù)做計(jì)算，具體是以本節(jié)教材內(nèi)容后第97頁提供的“練習(xí)與應(yīng)用3”為例，實(shí)驗(yàn)最可能的涉及的數(shù)據(jù)如下：單色光波長λ＝6.33×10－7m，雙縫間的距離d＝0.3 mm，屏距離雙縫（或擋板）L＝1.2 m.

（1）首先研究近似1 的可靠性，即△S1S2M近似認(rèn)為是直角三角形.

先計(jì)算（r2－r1），再比較它與直角三角形S1S2M的邊長S2M的差距，為了獲得可以與可見光波長數(shù)量級相比較的數(shù)據(jù)，計(jì)算的精度至少要到10－10m.

如圖2所示，由幾何關(guān)系可知

圖2

以上3式聯(lián)立可得

代入數(shù)據(jù)計(jì)算，上式的每步計(jì)算均保留到11位有效數(shù)字，可得

x1≈2.5320056534×10－3m.

由此就可以計(jì)算∠P1OP0的正弦值

設(shè)S1M⊥S2P1，那么

sin∠P1OP0＝sinθ.

S2M＝dsin∠P1OP2.

S2M＝6.3300000423 m.

由此可以看出S2M的相對誤差為

這幾乎沒有誤差，在S1M⊥S2P1的情況下，完全可以認(rèn)為Δr＝S2M.

（2）從另一個(gè)視角來證明關(guān)系式（1）.

由（2）－（4）式聯(lián)立可以得（5）式，考察（5）式.

從剛才的計(jì)算過程知道：項(xiàng)“4λ2L2”的數(shù)量級為10－6m；項(xiàng)“λ4”的數(shù)量級為10－18m，所以分子中的項(xiàng)“λ4”忽略不計(jì)；而項(xiàng)“4d2”的數(shù)量級為10－7m；項(xiàng)“4λ2”的數(shù)量級為10－12m，故而分母中的項(xiàng)“4λ2”也可以忽略不計(jì)，

上式結(jié)合式（2）就可以得到關(guān)系式（1）.這也許是高中學(xué)生較為容易接受的推導(dǎo).

還可以觀察一下P1P0和OP0之間的空間比例關(guān)系：

這大約相當(dāng)于在12 m 遠(yuǎn)處觀察一枚一元的硬幣，圖2的空間比例關(guān)系與實(shí)際情況不符，但圖2 方便了表述和分析.

綜上所述：在教材第97頁“練習(xí)與應(yīng)用3”提供的實(shí)驗(yàn)條件下，關(guān)系式（1）非?？煽?

由于采用可靠的近似，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，得出的這個(gè)關(guān)系式直觀而簡潔.

2 問題2及其討論

雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中觀察到的亮條紋只是有限的幾條，不是滿足亮條紋關(guān)系式的所有地方都有的，亮條紋的亮度也不盡相同，這是為什么呢？

這個(gè)問題的解答取決于對衍射現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)程度.如圖3 所示，雙縫干涉現(xiàn)象，是在兩個(gè)狹縫分別產(chǎn)生的衍射在重疊區(qū)域疊加而形成的，具體說就是狹縫S1因衍射現(xiàn)象而產(chǎn)生的中央亮條紋寬度（主極大）S11S10，狹縫S2對應(yīng)的是S21S20，兩條衍射現(xiàn)象的中央亮條紋在它們重疊的區(qū)域S10S20產(chǎn)生了明暗相間的條紋，是為干涉現(xiàn)象.

圖3

（1）可以計(jì)算重疊的區(qū)域的寬度.

設(shè)狹縫的寬度為a，中央亮條紋的寬度為S11S10＝S21S20＝l，光的波長為λ，擋板與屏的距離為L，則有

設(shè)重疊的區(qū)域S10S20的寬度為l′，由圖3的幾何關(guān)系可得l′＝l－d.

由于每相鄰兩個(gè)亮條紋的間距幾乎是相等的，可用上文所說的x1表示，所以能看到的亮條紋的數(shù)量n最多為

（2）繼續(xù)使用波長λ＝6.33×10－7m 的單色光進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

由資料所提供的數(shù)據(jù)，［2］實(shí)驗(yàn)單縫的寬度為a＝0.1 mm，再由教材第97頁“練習(xí)與應(yīng)用3”提供的實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

約60條是基于以上實(shí)驗(yàn)參數(shù)，依據(jù)理論知識(shí)計(jì)算的亮條紋的數(shù)目.實(shí)際上這些亮條紋的亮度有比較大的差異，有的甚至肉眼不見，中央部分一些亮條紋最為明亮，實(shí)驗(yàn)時(shí)以它們?yōu)閷ο筮M(jìn)行測量.

衍射現(xiàn)象的次級亮條紋之間也會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，由于亮度的原因，它們不是實(shí)驗(yàn)的測量對象，此處不再贅述

3 問題3及其討論

亮條紋之間的距離是等間距的嗎？

用眼睛觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)亮條紋間距是相等的，但亮條紋位置的關(guān)系式是采取近似后推導(dǎo)所得，因此，嚴(yán)格的說，間距并不相等.課本中說的等間距，也是以可靠的近似為根據(jù)的.

實(shí)驗(yàn)中，有時(shí)以5－9條亮條紋為對象進(jìn)行測量.本文對第4 級亮條紋的位置分兩種方式進(jìn)行計(jì)算：一是實(shí)際計(jì)算，二是根據(jù)亮條紋的關(guān)系是進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行比較.

（1）實(shí)際計(jì)算.

如圖4所示，對第4節(jié)亮條紋的位置P4，有

圖4

以上3式聯(lián)立得到

代入問題1 討論所給數(shù)據(jù)計(jì)算，在計(jì)算時(shí)均保留到11位有效數(shù)字，會(huì)得到

x4＝1.0128360667×10－2m.

（2）用關(guān)系式計(jì)算.

代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得到

其誤差為

它們幾乎沒有差別，可以認(rèn)為：用關(guān)系式（1）計(jì)算第4級亮條紋位置依然十分精確，亮條紋間距可認(rèn)為是均勻的，眼睛無法看出它們的差別.