陳禮生 黃 麗 李 佼 劉士官 任思源

（貴州民族大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的兩門基礎(chǔ)課程，與高等數(shù)學(xué)相比，線性代數(shù)內(nèi)容相對較少，里面涉及到的公式也較為簡單，但是線性代數(shù)比高等數(shù)學(xué)更為抽象[1，2]，里面知識點之間的聯(lián)系也更加緊密，很多學(xué)生往往很難理解其中的諸多定理和推論，從而導(dǎo)致學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)積極性不高，甚至有些學(xué)生厭倦和恐懼這門課程。因此，老師如何教好、學(xué)生如何學(xué)好線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中需要關(guān)注的核心問題。

一、“懸念式”教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)用的重要性

線性代數(shù)是以向量、線性空間、線性方程組和線性變換作為研究對象的一門學(xué)科，可用它來研究許多復(fù)雜的線性和非線性問題，因此有人認(rèn)為線性代數(shù)是許多近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的共同基礎(chǔ)[3]。開設(shè)這門課是為了讓學(xué)生在深入理解線性代數(shù)基礎(chǔ)知識的同時，還能夠提升學(xué)生的邏輯推理能力、應(yīng)用線性代數(shù)解決實際問題的能力以及抽象思維能力等。但是在這門課程里會涉及到很多新概念，例如逆序數(shù)、余子式、矩陣、初等變換、向量組的秩、線性表示、線性相關(guān)、基礎(chǔ)解系、相似矩陣、二次型、線性空間和線性變換等，并且還有很多定理和推論。線性代數(shù)各知識點前后聯(lián)系非常緊密，并且相互滲透，環(huán)環(huán)相扣，從而使得解題方法多種多樣[4]。但如果其中某個概念沒有弄懂或某個推論沒有深入理解，那么后面的性質(zhì)或者推論就可能不會證明，從而在后期線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中會產(chǎn)生一系列不良的連鎖反應(yīng)，最終會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性。為了能夠加強學(xué)生對線性代數(shù)知識點的理解，提升學(xué)生自學(xué)能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性，在教學(xué)過程中采用“懸念式”教學(xué)法顯得非常有必要。所謂“懸念式”教學(xué)法就是在學(xué)習(xí)新知識點之前或者在講完某一知識點之后，提出引人入勝的問題，讓學(xué)生在課前或者課后去思考和研究，然后在下次上課時師生一起共同討論和解決。通過連續(xù)不斷地去巧設(shè)疑問、引入新知的鏈?zhǔn)浇虒W(xué)法來讓學(xué)生進行頭腦風(fēng)暴，碰撞出智慧的火花，使他們對線性代數(shù)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣[5，6]?！皯夷钍健苯虒W(xué)法是培養(yǎng)創(chuàng)新人才和創(chuàng)新精神的重要手段，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑[7-9]。本文就以克拉默法則為例來探討“懸念式”教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，以期提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自學(xué)能力。

二、“懸念式”教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用——以克拉默法則為例

1.巧設(shè)問題

在《經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）線性代數(shù)》第五版教材中，第一章第五節(jié)就已經(jīng)講到了克拉默法則，里面對于克拉默法則的定義介紹如下：

含有n個方程的n元線性方程組為：

將線性方程組（1）中未知數(shù)前面的系數(shù)按順序排列，組成系數(shù)行列式D，當(dāng)D≠0時，線性方程組有解，并且解唯一：

其中Dj（j=1，2，…，n）是用常數(shù)項b1，b2，…，bn分別取替換D中第j列元素a1j，a2j，…，anj后所得到的行列式。

書上對于克拉默法則的證明是運用了行列式、代數(shù)余子式和行列式按行（列）展開等知識。具體證明過程如下：

證：以行列式D的第j（j=1，2，…，n）列元素的代數(shù)余子式A1j、A2j、……，Anj分別乘方程組（1）中的第1個，第2個，…，第n個方程，然后相加，得

根據(jù)1.4節(jié)中定理1.4可知： D= a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj（j=1，2，…，n），因此（a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj）xj=D xj。根據(jù)定理1.5可知：0= a1jA1t+ a2jA2t+ … + anjAnt（j≠t），因此等式（3）等號左端，除了（a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj）xj=D xj，其余項都為0。方程（3）中等號右端等于以常數(shù)項b1，b2，…，bn分別取替換系數(shù)行列式D中第j列元素后所得到的行列式Dj，即

如果線性方程組（1）有解，那么它的解一定會滿足方程組（4），而當(dāng)系數(shù)行列式D不等于0時，方程組（4）只有形如式（2）的解：

xj=Dj/D（j=1，2，…，n）

另一方面，將式（2）代入方程組（1）中，可以驗證它一定滿足（1）式，所以式（2）是方程組（1）的解。綜上所述，可得：當(dāng)方程組（1）的系數(shù)行列式不等于0時，有且僅有唯一解[10]：

xj=Dj/D（j=1，2，…，n）

通過對克拉默法則證明過程的分析可以發(fā)現(xiàn)，此處證明主要是應(yīng)用到了《經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）線性代數(shù)》第五版教材里1.4節(jié)中的定理1.4和1.5，然而克拉默法則的證明方法有多種，為了能夠讓學(xué)生打開腦洞，點燃智慧的火花，在此處可以通過“懸念式”教學(xué)法巧設(shè)幾個問題：除此之外，是否還有其他的新解題方法？如果有，需要用到哪些知識點？問題提完之后就鼓勵大家先一起預(yù)習(xí)第二章《矩陣》的內(nèi)容，這個問題可以等我們學(xué)習(xí)完逆矩陣之后再一起來進行討論。

2.引入新知

等到學(xué)習(xí)第二章逆矩陣的內(nèi)容之后，再一起來回顧上次所提的問題，除了應(yīng)用《經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）線性代數(shù)》第五版教材里1.4節(jié)中的定理1.4和1.5之外，是否還有其他解題方法？先讓學(xué)生們思考十分鐘，在思考期間，通過引導(dǎo)學(xué)生利用新學(xué)的知識點來解答問題。十分鐘后，讓學(xué)生主動來回答問題，然后我們再一起來分析證明，證明完之后再一起來總結(jié)兩種證明方法所用到的知識點。

新方法就可以利用逆矩陣的知識點來進行證明，具體證明過程如下：

證：把方程組（1）寫成矩陣方程

這里A為矩陣方程的系數(shù)矩陣，由于A為n階方陣，并且|A|≠0，所以A-1存在。

在（5）式等號兩邊同時右乘A-1，則有：

由于逆矩陣具有唯一性，因此A-1b=x是方程組（1）的唯一解向量[3]。

亦即

方程（7）中|A|和|Aj|即分別為方程式（4）中行列式D和Dj，因此即可證明克拉默法則。

在用以上兩種方法來證明克拉默法則的過程中，用到的知識點包括：行列式按行（列）展開的定理和推論、矩陣的乘法運算、伴隨矩陣和逆矩陣的求法等。

3.經(jīng)典示例

為了加深學(xué)生對克拉默法則的理解，檢查自身的學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，并且達(dá)到查漏補缺的目的，在講完克拉默法則證明過程之后，應(yīng)該適當(dāng)引入經(jīng)典例題來對知識點進行鞏固。因此可以結(jié)合同濟大學(xué)《工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)》第六版45頁中的例題16和《經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）線性代數(shù)》第五版29頁中的例題2來進行具體講解，以提升學(xué)生們應(yīng)用克拉默法則來求解線性方程組的能力。

4.自主探索

通過合作交流，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，同時注重情感激勵，建立和諧的師生關(guān)系來營造自主探索的氛圍，從而激發(fā)學(xué)生的自主探究興趣?？死▌t的證明過程不止這兩種方法，課堂結(jié)束后，會適當(dāng)留白，讓學(xué)生們帶著疑問去一起討論和思考[11]，或者鼓勵他們通過上網(wǎng)和查文獻等方式來自主探索克拉默法則的其他證明方法，然后在下一次上課的時候，一起分享各自的證明方法。對于正確的證明方法，可以給與適當(dāng)?shù)谋頁P和鼓勵，對于欠妥的方法，可以指出其中的漏洞，并提出糾正思路。這種方式不僅能夠激發(fā)他們對線性代數(shù)學(xué)習(xí)的激情，而且還能提升學(xué)生們的團隊協(xié)作能力和自學(xué)能力。

5.總結(jié)歸納

歸納總結(jié)是“懸念式”教學(xué)過程中非常重要的一個環(huán)節(jié)，它要求教師在一堂課結(jié)束前或某個知識點講完之后，引導(dǎo)學(xué)生一起對知識點、解題過程和方法進行歸納總結(jié)，在總結(jié)時需要結(jié)合課程目標(biāo)來進行，比如要體現(xiàn)過程和方法目標(biāo)的實現(xiàn)，體現(xiàn)知識與技能的要求等；同時還要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)反思，最后要求以疑引新。線性代數(shù)這門課程涉及到的知識點非常多，并且各知識點之間的聯(lián)系非常緊密，往往會出現(xiàn)有些題目的解題方法多樣，比如逆矩陣的求法，不僅可以通過逆矩陣的定義和逆矩陣的計算公式來進行求解，還可以通過初等變換等方法來求出逆矩陣；又如二次型不僅可以通過正交變換法將其化成標(biāo)準(zhǔn)形，而且還可以通過配方法將其化成標(biāo)準(zhǔn)形。因此，本文雖然僅以克拉默法則為例探索了“懸念式”教學(xué)法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，但是為了能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)質(zhì)量，在線性代數(shù)這門課程中，還有許多知識點仍然需要用到“懸念式”教學(xué)法，甚至有必要將這種教學(xué)方法貫穿于整門課程之中。在通過“懸念式”教學(xué)法講授完某個知識點之后，可以適當(dāng)結(jié)合某些經(jīng)典例題來對知識點進行鞏固，然后再與同學(xué)們一起來總結(jié)歸納例題中所運用到的知識點、結(jié)題過程和方法，最后提出新的疑問來引出新的知識點。

結(jié)語

線性代數(shù)這門課程里面的新概念、定理、推論和計算都非常多，如果仍然利用傳統(tǒng)案例式教學(xué)方法來講授課程，在這有限的32或48個學(xué)時內(nèi)，學(xué)生很難深入理解全部的知識點，從而影響他們學(xué)習(xí)的積極性。而利用“懸念式”教學(xué)法來開展線性代數(shù)課程的教學(xué)，教師在此扮演的角色就不僅僅是授課者，而且還是學(xué)生的組織者、合作者和引導(dǎo)者，學(xué)生則是學(xué)習(xí)的主人，教師通過組織和引導(dǎo)學(xué)生來學(xué)習(xí)線性代數(shù)，不僅能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升教學(xué)質(zhì)量，而且還能逐漸培養(yǎng)他們的深入思考問題、舉一反三和團隊協(xié)作能力。