閆鈞華，胡子佳，朱德燕，陳陽，張寅，俞立謙

（南京航空航天大學(xué)空間光電探測與感知工業(yè)和信息化部重點實驗室，南京 211106）

0 引言

隨著我國航天技術(shù)的不斷進步，對空間光學(xué)系統(tǒng)的輕量化、小型化、分辨率等方面提出了更高的要求［1］。離軸三反光學(xué)系統(tǒng)具有無色差、工作波段寬［2］，無中心遮攔［3］，結(jié)構(gòu)簡單［4］等優(yōu)點，結(jié)構(gòu)緊湊的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)可以減輕衛(wèi)星平臺承受重量，減小容納空間［5］，提高空間利用率，越來越多地應(yīng)用于資源普查、災(zāi)害預(yù)警、氣象觀測等領(lǐng)域。自由曲面具有多自由度［6］，強像差校正能力，打破了旋轉(zhuǎn)對稱的約束，適合校正離軸系統(tǒng)引起的非旋轉(zhuǎn)對稱像差［7］，同時可以減少系統(tǒng)中元件的數(shù)量，減小光學(xué)系統(tǒng)的體積及重量。將自由曲面應(yīng)用到離軸三反射光學(xué)系統(tǒng)中，有利于壓縮系統(tǒng)體積，提高系統(tǒng)分辨率［8］。

2014 年，孟慶宇等設(shè)計了基于自由曲面的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，三鏡為XY多項式表示的自由曲面，增加優(yōu)化的自由度，設(shè)計結(jié)果顯示最大波像差RMS 為0.012 6λ（λ=0.633 μm），成像質(zhì)量良好［9］。2019 年，孟慶宇等設(shè)計出成像質(zhì)量良好的自由曲面離軸三反系統(tǒng)［10］，系統(tǒng)焦距為1 000 mm，其主鏡和三鏡均為XY多項式表征的自由曲面，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計策略，波像差為0.04λ（λ=0.633 μm）。2019 年，WU Weichen等設(shè)計了工作在長波紅外波段，焦距為9.3 mm 的基于自由曲面的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)，圖像質(zhì)量接近衍射極限的［11］。雖然自由曲面已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于離軸反射式聚焦光學(xué)系統(tǒng)，但在離軸反射式無焦系統(tǒng)中的應(yīng)用還較少。無焦系統(tǒng)以平行光入射和出射，焦距為無窮遠，可以作為縮束系統(tǒng)，有較高靈活性和拓展性［12］。對大口徑入射光束進行縮束，光以小口徑出射，可以減小后接光學(xué)元件如分色片、透鏡組及探測器的尺寸，從而降低成本、節(jié)省材料［13］，因此需要對結(jié)構(gòu)緊湊的離軸反射式無焦系統(tǒng)進行深入研究。

離軸反射光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)是光學(xué)系統(tǒng)研究熱點和難點。目前常用的幾種方法如逐點構(gòu)造迭代法（Construction-Iteration，CI）、多曲面同步法（Simultaneous Multiple Surface，SMS）等主要是針對離軸反射聚焦光學(xué)系統(tǒng)［14］，然而對于離軸反射無焦光學(xué)系統(tǒng)現(xiàn)有的設(shè)計方法基本都是由同軸結(jié)構(gòu)逐步設(shè)計為離軸系統(tǒng)，加大了優(yōu)化的難度。本文提出一種緊湊型離軸三反無焦系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法，構(gòu)建了離軸三反光學(xué)系統(tǒng)模型并進行參數(shù)解耦與參數(shù)分析。離軸反射式光學(xué)系統(tǒng)采用較多的是Zernike多項式自由曲面和XY多項式自由曲面，相比于XY多項式自由曲面，Zernike多項式自由曲面能與波像差相對應(yīng)，方便進行優(yōu)化設(shè)計，易于加工、檢測和裝調(diào)［15］。因此，本文采用Zernike多項式自由曲面對兩個系統(tǒng)進行優(yōu)化，降低光學(xué)系統(tǒng)波像差同時縮小系統(tǒng)體積。分別完成了視場離軸和光闌離軸兩種方式的三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)緊湊與高分辨率的設(shè)計目標(biāo)，與光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)相比，視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)體積更小，分辨率更高。該設(shè)計方法對緊湊型空間光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計具有一定參考價值。

1 設(shè)計原理

在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中，根據(jù)系統(tǒng)入瞳口徑D、系統(tǒng)尺寸等設(shè)計要求，構(gòu)建了緊湊型離軸三反光學(xué)系統(tǒng)模型，對模型中的光學(xué)參數(shù)進行解耦，分析各光學(xué)參數(shù)對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的影響，推導(dǎo)出光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)。

1.1 模型構(gòu)建

考慮要適應(yīng)空間載荷等應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)緊湊、小型化的要求，同時要確保光學(xué)系統(tǒng)具有高分辨率。本文應(yīng)用在次鏡和三鏡間有一次成像面的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)［16］。對于紅外波段探測，可以在中間像面加入光闌對雜散光進行抑制［17］，而且對于多自由度的自由曲面，可以通過一次成像面進行裝調(diào)。

如圖1 所示，M1、M2和M3分別為主鏡、次鏡和三鏡，次鏡和三鏡相對于主光軸都傾斜，傾斜角分別為α和θ。D為入瞳口徑，d為出瞳口徑。d1，d2和d3分別為主鏡、次鏡和三鏡的離軸量。經(jīng)過初步分析與計算，主鏡為拋物面，曲率半徑為R1，拋物面將平行入射的光線匯聚，在點A形成匯聚點。次鏡為雙曲面，曲率半徑為R2，雙曲面在表面兩側(cè)形成共軛點，主鏡拋物面的焦點和雙曲面的虛焦點在點A處重合，光線經(jīng)過雙曲面后成像在實焦點B處。為了使光線平行光出射，同時滿足與雙曲面的實焦點重合，選擇拋物面作為三鏡的表面，曲率半徑為R3。離軸三反無焦系統(tǒng)滿足

圖1 離軸三反無焦光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Layout of off-axis three-mirror afocal optical system

式中，N為光學(xué)系統(tǒng)的縮束比，為了防止次鏡M2與主鏡M1下邊緣發(fā)生干涉，實現(xiàn)離軸光線無遮擋并且為裝配留有機械結(jié)構(gòu)余量，則有

式中，f1、f2分為主鏡和次鏡的焦距，根據(jù)圖1 所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，結(jié)合拋物面和雙曲面的面形特點，則有

式（5）中，l為主鏡和次鏡的間距，式（7）中-為次鏡的圓錐系數(shù)。以三鏡的光軸作為參考并結(jié)合式（1）～（7），可得出離軸三反系統(tǒng)包絡(luò)圓的半徑R與口徑D的關(guān)系式為

1.2 參數(shù)分析

離軸三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)如表1 所示

表1 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)Table 1 Design parameters of optical system

根據(jù)表1 的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計指標(biāo)，結(jié)合式（1）～（7）參數(shù)之間的關(guān)系式，可以求得每個參數(shù)的變化范圍。利用控制變量的方法，得出包絡(luò)圓半徑R與口徑D的關(guān)系，如圖2 所示。

根據(jù)其應(yīng)用特點，該系統(tǒng)的空間物理尺寸約束在φ600 mm 范圍內(nèi)，以保證其結(jié)構(gòu)緊湊與小型化。根據(jù)圖2 中光學(xué)參數(shù)對于光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸的影響，如主鏡和次鏡的曲率半徑會導(dǎo)致包絡(luò)圓半徑的增長。綜合考慮參數(shù)的取值，建立離軸三反光學(xué)系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)。

2 基于自由曲面的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計

離軸三反光學(xué)系統(tǒng)具有偏心量和傾斜量，引入了非旋轉(zhuǎn)對稱的高階差，若僅用球面或二次曲面，可優(yōu)化自由度較少，很難平衡離軸反射系統(tǒng)產(chǎn)生的高階像差。為了很好地校正像差，三個反射鏡均采用Zernike 多項式表征的自由曲面，即在初始結(jié)構(gòu)中拋物面和雙曲面面形的基礎(chǔ)上加上高次項系數(shù)，完成滿足結(jié)構(gòu)緊湊和高分辨率要求的光闌離軸和視場離軸兩種方式的三反光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計。

2.1 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計

光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)主鏡、次鏡和三鏡均無傾斜，α和θ均為0。主鏡、次鏡和三鏡均采用Zernike 多項式自由曲面，通過不斷優(yōu)化主鏡、次鏡和三鏡之間的距離和曲率半徑來縮小主鏡和三鏡Y方向上的距離。優(yōu)化后光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)如表2 所示，Zernike 多項式系數(shù)如表3 所示。

表2 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)Table 2 Parameters of the aperture off-axis three-mirror optical system

表3 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)Zernike 多項式系數(shù)Table 3 Zernike polynomial coefficients of the aperture off-axis three-mirror optical system

基于自由曲面光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)如圖3 所示，主鏡和三鏡在Y方向上的尺寸約為550 mm，次鏡和三鏡在Z方向上約為490 mm，整個系統(tǒng)在φ600 mm的包絡(luò)圓內(nèi)。

圖3 基于自由曲面的光闌離軸三反無焦系統(tǒng)Fig.3 Aperture off-axis three-mirror afocal system based on freeform surface

無焦系統(tǒng)的像質(zhì)評價與聚焦系統(tǒng)不同，主要采用波像差和斯特列爾比進行分析。（0°，0°）、（-0.318°，-0.318°）、（0.45°，-0.45°）和（0.45°，0.45°）四個視場的波像差如圖4 所示，最大波像差RMS 為0.012 9λ。四個視場的斯特列爾比如圖5 所示，在紅外波段，光學(xué)系統(tǒng)各視場波前差RMS 值均優(yōu)于0.1λ（λ=3.7 μm），斯特列爾比均大于0.8，表明光學(xué)系統(tǒng)像差得到了良好校正，滿足高分辨率的要求。

圖4 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)波像差Fig.4 Wave aberration of the aperture off-axis three-mirror optical system

圖5 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)斯特列爾比Fig.5 Strehl Ratio of the aperture off-axis three-mirror optical system

2.2 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計

視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)與光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)相比，次鏡和三鏡有了傾斜角度，增加了可優(yōu)化的自由度，減小了系統(tǒng)的波像差。另外加入傾斜角可以使系統(tǒng)整體尺寸更緊湊。主鏡、次鏡和三鏡均采用Zernike 多項式自由曲面，優(yōu)化后光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)如表4 所示，Zernike 多項式系數(shù)如表5 所示。

表4 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)Table 4 Parameters of the field of view off-axis three-mirror optical system

表5 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)Zernike 多項式系數(shù)Table 5 Zernike polynomial coefficients of the field of view off-axis three-mirror optical system

基于自由曲面視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)如圖6 所示，主鏡和三鏡在Y方向上的尺寸約為500 mm，次鏡和三鏡在Z方向上約為350 mm，整個系統(tǒng)在φ600 mm 的包絡(luò)圓內(nèi)。

圖6 基于自由曲面的視場離軸三反無焦系統(tǒng)Fig.6 Field of view off-axis three-mirror afocal system based on freeform surface

圖7 分別為（0°，0°）、（0.318°，0.318°）、（0.45°，-0.45°）和（0.45°，0.45°）四個視場的波像差，在紅外波段各視場的波像差均小于0.1λ（λ=3.7 μm），圖8 為視場離軸光學(xué)系統(tǒng)的斯特列爾比，四個視場的斯特列爾比均大于0.8，能量集中度較高，滿足光學(xué)系統(tǒng)高分辨率的要求。

圖7 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)波像差Fig.7 Wave aberration of the field of view off-axis three-mirror optical system

圖8 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)斯特列爾比Fig.8 Strehl Ratio of the field of view off-axis three-mirror optical system

由圖3、6 光闌離軸和視場離軸的兩種光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對比可知，利用視場離軸的方式可以得到更加緊湊的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。由圖4、7 兩種光學(xué)系統(tǒng)在（0°，0°）、（-0.318°，-0.318°）、（0.45°，-0.45°）、（0.45°，0.45°）四個視場的波像差對比可知，視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)波像差RMS 小于光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)得到的波像差。因此帶有傾斜角度的視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì)更好，分辨率更高。

3 公差分析

對于完成設(shè)計的光學(xué)系統(tǒng)，公差分析是評價系統(tǒng)可行性的重要因素，合理的分配公差既可以保證光學(xué)系統(tǒng)的性能，又可以提高光學(xué)系統(tǒng)的加工、裝調(diào)性能，因此公差分析對于一個光學(xué)系統(tǒng)很重要［18］。當(dāng)前，我國自由曲面加工水平取得了很大的發(fā)展與進步，自由曲面加工精度通常可達到λ/30（λ=632.8 nm），如有特定要求，精度可進一步提高。

結(jié)合目前加工水平，對自由曲面面型、曲率半徑、間隔、Y偏心和繞X軸傾斜五個參數(shù)分配公差值，公差分配如表6 所示。

表6 光學(xué)系統(tǒng)的公差分配Table 6 Tolerance distribution of optical system

3.1 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)公差分析

對所設(shè)計的基于自由曲面的離軸三反光學(xué)系統(tǒng)公差分配完成后，為了最大程度模擬實際裝調(diào)可能遇到的情況，依然采用系統(tǒng)波像差RMS 作為最終評價準(zhǔn)則，對系統(tǒng)進行100 次蒙特卡羅分析，每個樣本就是實際加工、裝調(diào)的光學(xué)系統(tǒng)的模擬，仿真具體結(jié)果如表7 所示。

表7 光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)蒙特卡羅分析結(jié)果Table 7 Monte Carlo analysis results of the aperture off-axis three-mirror optical system

根據(jù)蒙特卡羅分析得知，90%以上樣本波像差小于0.08λ，滿足波像差小于0.1λ（λ=3.7 μm）的標(biāo)準(zhǔn)，符合設(shè)計要求。

3.2 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)公差分析

結(jié)合表6 的光學(xué)系統(tǒng)公差分配，對系統(tǒng)進行100 次蒙特卡羅分析，仿真具體結(jié)果如表8 所示。

表8 視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)蒙特卡羅分析結(jié)果Table 8 Monte Carlo analysis results of the field of view off-axis three-mirror optical system

根據(jù)蒙特卡羅分析得知，90%以上樣本波像差小于0.07λ，滿足波像差小于0.1λ（λ=3.7 μm）的標(biāo)準(zhǔn)，符合設(shè)計要求。仿真結(jié)果表明視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)樣本的波像差比光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)樣本的波像差小。

4 結(jié)論

針對空間光學(xué)系統(tǒng)領(lǐng)域的實際需求，提出了一種基于自由曲面的離軸三反無焦光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法，構(gòu)建了緊湊型離軸三反無焦光學(xué)系統(tǒng)模型并結(jié)合包絡(luò)圓半徑R和入瞳口徑D之間的關(guān)系完成了初始結(jié)構(gòu)的建立。應(yīng)用Zernike 表征的自由曲面對初始結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，分別完成了紅外波段φ600 mm 的包絡(luò)圓內(nèi)、入瞳口徑為350 mm、壓縮比為7 倍的光闌離軸和視場離軸的三反光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計。設(shè)計結(jié)果表明，兩種離軸方式的光學(xué)系統(tǒng)各視場波像差均小于0.1λ（λ=3.7 μm），滿足結(jié)構(gòu)緊湊和高分辨率的要求。公差分析表明光闌離軸三反系統(tǒng)波像差小于0.08λ的概率達到90%以上，視場離軸三反系統(tǒng)波像差小于0.07λ的概率達到90%以上，表明了光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計的有效性和合理性。與光闌離軸三反光學(xué)系統(tǒng)相比，視場離軸三反光學(xué)系統(tǒng)可以使結(jié)構(gòu)更緊湊，波像差更小，驗證了設(shè)計方法的可行性。本文研究對高分辨率、輕量化的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計具有參考意義。