陳麗

[摘 要]從數(shù)與形兩個角度出發(fā)，探尋數(shù)表征、形表征、數(shù)形結合表征概念的教學策略。通過數(shù)表征與形表征的相互選擇和轉(zhuǎn)化，形成概念認知結構，實現(xiàn)學生對概念的深度理解，進一步增強學生的學習力。

[關鍵詞]數(shù)學概念;數(shù)形結合;正比例

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0029-03

數(shù)學概念因其抽象的內(nèi)容和靜態(tài)的呈現(xiàn)方式，使得學生學習數(shù)學概念較為困難。如何突破該學習難點？筆者嘗試從數(shù)學中的兩個基本的研究對象數(shù)與形出發(fā)，探尋通過數(shù)形結合揭示概念本質(zhì)的教學策略。

一、數(shù)學概念學習難點分析

數(shù)學概念是對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映。其表現(xiàn)形式是高度概括、精確的語言，學習難點包括兩個方面。

1.數(shù)學概念內(nèi)容的高度抽象。在小學數(shù)學課本中，概念常常是以描述性的文字呈現(xiàn)的。抽象的文字中往往包含著子概念。例如，人教版教材六年級下冊正比例的概念中就包含“相關聯(lián)的量”“變量”“比值一定”等概念。對六年級學生而言，要感知動態(tài)的、連續(xù)的、變化的量，以及理解量變化的背后是比值一定，是比較困難的。

2.數(shù)學概念的靜態(tài)呈現(xiàn)。抽象的數(shù)學概念如果是圖文并茂的，可有助于學生理解。但教材因受篇幅限制，圖示往往較少，即使有也是靜態(tài)的。如教材給出了正比例圖像（如圖1）。關于“正比例圖像是如何形成的？它看著很像折線統(tǒng)計圖，有哪些特點？”，學生不得而知。

小學生的思維以直觀形象思維為主，對高度概括、抽象的數(shù)學概念理解會比較困難。如何突破難點？“數(shù)形結合”不失為一種好方法。

二、數(shù)形從分離走向結合的數(shù)學概念教學策略

數(shù)學研究的兩個基本對象就是數(shù)與形。數(shù)與形是表述概念的兩種形式，溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)與形結合，有助于深入理解概念。

【策略一】從數(shù)的角度出發(fā)，表征概念。數(shù)表征概念是指通過文字、數(shù)與代數(shù)式三者之間的相互轉(zhuǎn)化，進而便于學習者理解概念。

教學片段1：從數(shù)據(jù)變化的角度初步認識相關聯(lián)的量。

思考：下列素材中哪些量在變化？

（1）處于生長發(fā)育期的小明的年齡與身高。

（2）一輛汽車行駛的時間和路程。

（3）一本書有100頁，已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)。

（4）用24個邊長為1 cm的小正方形擺長方形。

相關聯(lián)的量是正比例概念的上位概念，是學習正比例概念的關鍵。何為相關聯(lián)？這對學生來說比較抽象。教學中，教師出示四組材料，讓學生觀察并感受，一個量變化，另一個量也隨之變化，從而清楚地認識兩種相關聯(lián)的量，為理解正比例關系做好鋪墊。

教學片段2：數(shù)、語言描述與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化表征正比例概念。

優(yōu)優(yōu)買絲帶，買這種絲帶的長度與總價的關系如下表所示：

問題：仔細觀察，表中有哪兩種量？總價是怎樣隨著長度的變化而變化的？總價與相應長度的比是多少？比值是多少？

借助幾個關鍵的問題，讓學生充分經(jīng)歷量的變化過程，從而發(fā)現(xiàn)總價和長度之間的變化規(guī)律，同時將目光聚焦到變化中的聯(lián)系，即比值不變，也就是單價始終是一定的，并歸納出數(shù)量關系式，實現(xiàn)用數(shù)、語言描述與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化來表征正比例概念。

【策略二】從形的角度出發(fā)表征概念。形表征概念是指利用實物、圖形、圖像、符號等表征概念，并通過圖形的比較與動態(tài)變化達成對概念的理解。

教學片段1：數(shù)形對應，動態(tài)形成圖像。

問題：

（1）數(shù)對（1，3.5）的位置在哪里？你能將表格中的其他數(shù)對一一表示出來嗎？把這些點按一定的順序連起來（如圖3），你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）這條線段可以向兩端延伸，其中一端延伸到數(shù)對（0，0）（如圖4）。數(shù)對（0，0）表示什么？

（3）找一找數(shù)對（10，35）和（12，42）表示的點，把它們描出來，和前面的點連起來（如圖5），你又能發(fā)現(xiàn)什么？

（4）優(yōu)優(yōu)買了a m長的絲帶，付了b元，a和b有怎樣的關系？

學生在數(shù)表征正比例概念時，已初步感知量的連續(xù)變化的特征。通過描點、連線，與原點溝通聯(lián)系，結合教師利用多媒體動態(tài)的演示，學生發(fā)現(xiàn)a和b都是一對一對出現(xiàn)的。隨著直線不斷向上延伸，學生清晰地感受到一種量在擴大的同時， 另一種量也在不斷擴大。學生經(jīng)歷直觀想象、抽象、建立模型等過程，豐富了正比例概念的表象。

教學片段2：在對比點的位置的過程中厘清對應變量中的不變量。

問題：4 m絲帶16元，找一找，（4，16）這個點在剛才那條直線上嗎？11 m絲帶38.5元呢？什么樣的點在這條直線上？什么樣的點不在這條直線上？

學生在圖像動態(tài)形成過程中，發(fā)現(xiàn)在同一條直線上的這些點，既顯示了絲帶的長度和單價，又反映了長度和單價之間的關系。兩種變量之間的關系是正比例概念教學的難點之一。教學中，筆者增加了根據(jù)2組數(shù)據(jù)描點的環(huán)節(jié)，其中，一個點在這條直線上，另一個點不在這條直線上（如圖6）。通過正例與反例的對比，幫助學生厘清兩個變量之間的關系——背后的不變量，形成正比例圖像，初步感受函數(shù)思想。

【策略三】數(shù)表征與形表征互相轉(zhuǎn)化，形成綜合圖式表征概念。

教學片段1：在形表征中找數(shù)。

問題：如果買9 m的絲帶，你能根據(jù)圖像判斷總價是多少嗎？49元又能買多長的絲帶？（答案見圖7）

正比例圖像的形成并不意味著教學的結束。教學中，讓學生依據(jù)圖像，由一個量的值推斷、估計另一個量的值，由一種量之間的關系推斷另一種量之間的關系。學生可以根據(jù)圖像的特點進行推理，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，體會函數(shù)的形表征和數(shù)表征之間的聯(lián)系。

教學片段2：在數(shù)表征中思形。

小烏龜和小螃蟹比賽，爬行時間和爬行距離如下表所示：

問題：想一想，小烏龜和小螃蟹的爬行時間和爬行距離成正比例關系嗎？

觀察小烏龜和小螃蟹的爬行情況圖像（如圖8），想一想，圖像中的兩條直線分別代表哪一種小動物的爬行情況？后來小海龜也參加了比賽，他的爬行速度比小螃蟹還要快一些，你覺得他的爬行情況圖像可能是怎樣的？

這里借助兩種動物爬行時間與距離的數(shù)據(jù)，在同一幅圖中，用圖像表征速度快慢的樣子，以數(shù)思形;通過數(shù)形、形形對比，感悟數(shù)與形的對應關系，以數(shù)解形，深刻體會正比例概念的本質(zhì)。

【策略四】在概念溝通中，形成概念綜合圖示。

概念綜合圖示的形成，需要將概念的形成過程與結果進行溝通，將概念的各種表征形式進行溝通，將已學的概念與后續(xù)延展的內(nèi)容進行溝通。

（1）在回顧中溝通。從具體的實例出發(fā)，回顧經(jīng)歷數(shù)據(jù)的分析、比較與抽象，圖像的動態(tài)形成以及特征等研究過程，溝通正比例概念的文字表征、代數(shù)式表征和圖像表征之間的聯(lián)系，形成正比例圖像。

（2）在延伸中溝通。從縱向出發(fā)，與后續(xù)研究內(nèi)容進行溝通。初中學習的正比例圖像，是一條過坐標原點的直線。通過延伸，溝通了正比例概念文字與圖像的聯(lián)系。

（3）在比較中溝通。從橫向出發(fā)，將相關聯(lián)的概念進行溝通。在學習正比例概念之后，教師順勢引導：“正比例和反比例之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？你能從四組材料中找出成反比例關系的那一組嗎？”為學生形成函數(shù)概念圖示做好準備。

在概念的教學中，挖掘概念中的“數(shù)”是什么、“形”是什么，采用以形助數(shù)或以數(shù)解形的方法，從數(shù)表征、形表征、數(shù)形結合表征概念入手理解概念。在數(shù)表征概念中，力求提供豐富的實例，在分類與比較中形成概念表象。在形表征概念中，借助現(xiàn)代教育技術等展示形的動態(tài)變化，力求通過觀察、操作、想象形成概念之形表象。在數(shù)形結合表征概念時，力求讓數(shù)表征與形表征互相轉(zhuǎn)化。由數(shù)思形，由形譯數(shù)，使學生經(jīng)歷數(shù)與形的對應、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程，形成綜合概念圖示，以達到對概念深度理解的程度。

（責編 吳美玲）