連麗萍 劉 燕

(福建省福州華僑中學(xué) 350004)

直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象能力是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本的重要能力.諸多數(shù)學(xué)能力中，直觀想象能力在生活中的運(yùn)用較為廣泛，且與物理、化學(xué)、美術(shù)等學(xué)科學(xué)習(xí)的關(guān)系較為密切.培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)開(kāi)放的文化氛圍、一個(gè)較完善的教育環(huán)境，使教師把更多的注意力放在教學(xué)的最優(yōu)化、資源的整合、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)研究、終生求知的能力上，促進(jìn)學(xué)生提高自身素質(zhì).將二者結(jié)合在一起，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師們要借助智慧課堂，利用信息技術(shù)多種方式，有效地開(kāi)展課堂教學(xué)活動(dòng)，化抽象為具體，讓學(xué)生在智慧的教學(xué)環(huán)境中，從圖形獲得感性的認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力.

1 幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

例1(2021年福建省廈門市中考數(shù)學(xué)二檢試卷)四邊形ABCD是正方形，⊙O經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)且與BC邊相切于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P在射線BC上且在點(diǎn)C的右側(cè)，動(dòng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O位于射線BC的同側(cè)，點(diǎn)M是BQ的中點(diǎn)，連接CM，PQ．

(1)如圖1，若點(diǎn)M在⊙O上，且CE=CM．求證：CM是⊙O的切線；

圖1 圖2

分析第(2)問(wèn)要求直接寫出m的取值范圍，這“直接”卻難倒不少學(xué)生.很明顯，m的取值范圍與點(diǎn)M有關(guān)，因此先要明確M的運(yùn)動(dòng)軌跡，不少同學(xué)以為M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段弧.這就需要我們先分析什么帶動(dòng)M的運(yùn)動(dòng).在求解(1)、(2)問(wèn)時(shí)，可得EM是△BCQ的中位線，又△CPQ為等邊三角形，從而得到M的軌跡是過(guò)E點(diǎn)，且平行于直線CQ的直線在圓O內(nèi)的部分.△CPQ的大小是由動(dòng)點(diǎn)P在射線BC上的移動(dòng)而變化的，因此是點(diǎn)P的變化引起了CQ的變化，從而引起了EM的變化，因此只要求出EM的取值范圍，就能求出m的取值范圍.原理都明確后，學(xué)生還是不太容易想到M的動(dòng)態(tài)變化，這時(shí)候老師就可以借助幾何畫板向?qū)W生直觀展示M的變化，化抽象為直觀.

圖3 圖4

借助圖形可以使問(wèn)題的解決思路很快地顯現(xiàn)出來(lái)，有利于揭示問(wèn)題的本質(zhì).在進(jìn)行復(fù)雜的邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，需要利用直觀想象來(lái)梳理思路，尋找方向，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

圖5

例2學(xué)習(xí)《函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象》這一課時(shí)，要研究函數(shù)y=sinx與y=Asin(ωx+φ)之間的圖象變換關(guān)系，特別是ω對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響，學(xué)生感覺(jué)比較抽象，而且改變參數(shù)的值，就要畫出相應(yīng)的圖像，比較費(fèi)時(shí)間.可以讓學(xué)生自己動(dòng)手操作幾何畫板軟件，通過(guò)三角函數(shù)圖象的各種動(dòng)態(tài)變換的演示，學(xué)生通過(guò)觀察圖象，由抽象到具體，由模糊到清晰，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和思考能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)直觀想象能力.

圖6

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)與形的關(guān)系有如下生動(dòng)的描述：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，這道題借助幾何畫板，將數(shù)與形很好的融合，可以提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.借助直觀想象可以降低解決問(wèn)題的門檻，使抽象的問(wèn)題顯性化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

2 希沃白板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

例3在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體展開(kāi)圖時(shí)，雖然可以讓學(xué)生通過(guò)拆開(kāi)紙盒的方式獲得長(zhǎng)方體展開(kāi)圖，但發(fā)現(xiàn)學(xué)生幾乎沒(méi)有發(fā)現(xiàn)222型和33型的展開(kāi)圖，因此可以借助希沃白板動(dòng)態(tài)演示這兩種展開(kāi)圖，并且可以調(diào)節(jié)時(shí)間，讓學(xué)生在較慢的演示過(guò)程中感受到原來(lái)還可以有這兩種情形啊.從而培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.

圖7 圖8 圖9

3 投影儀、視頻在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

圖10 圖11

例4在學(xué)習(xí)黃金矩形時(shí)，要教學(xué)生折疊黃金矩形，學(xué)生照著書上的圖片和文字，折疊有困難，特別是第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到下圖中所示AD處.而教師在講臺(tái)上示范折紙，由于紙張不夠大，坐在后排的同學(xué)不能清楚地看到老師的動(dòng)作和紙的變化.這時(shí)就可以借助投影儀，把老師動(dòng)作同步投影在屏幕上，或者老師事先錄好折紙視頻，調(diào)慢動(dòng)作，學(xué)生通過(guò)觀看視頻，就能讓書上抽象的文字和靜態(tài)的圖片直觀動(dòng)態(tài)地演示.

4 CAD在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

例5某幾何體的三視圖均為如圖所示的五個(gè)小正方形構(gòu)成，則該幾何體與其外接球的表面積之比為( ).

圖12

分析這題首先要根據(jù)幾何體的三視圖還原得到幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的表面積及外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.可是難點(diǎn)就在于還原得到的幾何體學(xué)生不好想象，教師不易用語(yǔ)言表達(dá).這時(shí)可以借助CAD軟件展示還原圖，而且還能通過(guò)翻轉(zhuǎn)幾何體，讓學(xué)生直觀感知，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

圖13

例6新教材高一下學(xué)期必修二立體幾何的課后習(xí)題，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌入一些水，固定容器底邊BC于地面，再將容器傾斜.隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)命題哪些是真命題：____.

(1)有水的部分始終呈棱柱形；

(2)沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；

(3)水面EFGH所在的四邊形的面積為定值；

(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；

此類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了很高的要求，解題過(guò)程大有“只可意會(huì)不可言傳”的感覺(jué)，利用CAD軟件我們可以動(dòng)態(tài)多角度展示長(zhǎng)方體的傾斜過(guò)程(如圖)，讓學(xué)生可以直觀地感受在這個(gè)過(guò)程，水面的變化，從而對(duì)以上命題進(jìn)行判斷.利用CAD這個(gè)信息技術(shù)手段，可以很好地幫助學(xué)生培養(yǎng)直觀想象能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖14

5 GGB在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

例7線面平行的性質(zhì)定理

由于立體幾何的結(jié)論很多采用直觀感受的合情推理，并沒(méi)有要求嚴(yán)格的推理論證的過(guò)程，因此在線面平行的性質(zhì)定理中，想讓學(xué)生按照課本所示，把嚴(yán)格的定理證明過(guò)程書寫出來(lái)是相當(dāng)有難度的.因此，在嚴(yán)格證明之前利用GGB軟件輔助，如圖先直觀展示線面平行，當(dāng)平面外直線a和該平面α平行，過(guò)該直線的平面β與原平面α有交線b，再通過(guò)旋轉(zhuǎn)不同的角度，學(xué)生可以很直觀地得到結(jié)論a∥b.利用信息技術(shù)可以提高上課效率，給學(xué)生的想象插上翅膀，為后續(xù)證明做好鋪墊.

圖15

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，為培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，一方面，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，深入理解數(shù)學(xué)概念、定理，并注重積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、解題技巧，另一方面，教師應(yīng)做好教學(xué)工作總結(jié)，優(yōu)選經(jīng)典例題，通過(guò)借助信息技術(shù)手段，激活直觀想象意識(shí)；引導(dǎo)操作實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)直觀想象能力；借助直觀作圖解題，提升直觀想象思維的策略，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力的提升.