嚴質彬

(哈爾濱工業(yè)大學(深圳)理學院，廣東深圳518055)

1 引 言

利用線性空間的基的概念以及線性映射的矩陣表示的概念， 可以將抽象的向量以及線性映射和具體的行或列向量以及矩陣聯(lián)系起來. 人們在研究具體的矩陣問題時， 可以注入抽象的線性空間與線性映射的觀點. 為便于教學和交流， 下面把這種用線性空間與線性映射的抽象觀點研究具體的矩陣問題的方法稱為幾何方法.

將矩陣用初等行變換化為行階梯形以及進一步化為簡化行階梯形， 是在線性代數課程中用消元法解線性方程組時總結出來的知識， 簡單易懂. 有的教材一開始就引入行階梯形矩陣的概念[1]； 有的教材暫時不用行階梯形這樣的術語. 這里將用線性映射的矩陣表示的觀點， 也就是一種上面所說的幾何方法， 來解釋化矩陣為簡化行階梯形的過程. 一方面增加學生對行階梯形的認識， 另一方面給出線性映射的矩陣表示概念的一個有趣應用， 為這兩個知識點的教學提供參考.

2 矩陣等價的兩個觀點

給定兩個m行n列的矩陣A，B.稱A與B等價， 如果存在m階可逆矩陣Q和n階可逆矩陣P使得

QAP=B.

(1)

上述矩陣等價概念有兩個不同的解釋.

(i) 初等行、列變換的觀點: 矩陣A可以經過一系列初等行、列變換化為B， 當且僅當A與B等價[2].

(ii) 線性映射的矩陣表示的觀點: 矩陣A與B分別是同一個線性映射在不同的基底下的矩陣表示， 當且僅當A與B等價[3].

值得指出的是， 按照觀點(i)， 等式(1)中的矩陣Q是所有初等行變換對應的初等矩陣的乘積.按照觀點(ii)， 也就是引言中所說的幾何方法， 矩陣Q-1是與線性映射相聯(lián)系的一個基變換的過渡矩陣[3].

3 矩陣的行階梯形的幾何刻畫

一個矩陣稱為行階梯形矩陣， 如果

(i) 元素全為0的行(稱為零行)在下方(如果有零行)；

(ii) 元素不全為0的行(稱為非零行)， 從左邊數起第一個不為0的元素稱為主元， 它們的列指標隨著行指標的遞增而嚴格增大.

一個矩陣稱為簡化行階梯形矩陣， 如果

(i) 它是行階梯形矩陣；

(ii) 每個非零行的主元都是1；

(iii) 每個主元所在的列的其余元素都是0.

任意一個矩陣都可以經過一系列初等行變換化成行階梯形矩陣.任意一個矩陣都可以經過一系列初等行變換化成簡化行階梯形矩陣.任意一個矩陣經過初等行變換化成的簡化行階梯形矩陣是唯一的.以上內容見文獻[1， 4].

設A∈m×n，B是A的簡化行階梯形矩陣.按定義， 存在m階可逆矩陣R， 使得

RA=B.

(2)

這是A與B等價的特殊情況(只用了行變換， 沒有用列變換).R反映的是所用初等行變換的作用效果.化矩陣為簡化行階梯形的過程中， 所用的初等行變換有很多不同的選擇， 因此人們不能看出R和已知矩陣A有什么樣的內在聯(lián)系.但是， 如果按照矩陣等價的第二個觀點， 從基底的角度來研究矩陣R-1， 就能用幾何方法解讀出R和A的內在聯(lián)系了.也就是說， 以解線性方程組的消元法為背景， 從矩陣初等行變換的角度， 人們提出了化矩陣為簡化行階梯形的純矩陣語言表達(2)， 它是矩陣等價概念的一種特殊情況(沒有初等列變換).然而初等變換的觀點， 不能提供R和矩陣A的關系的進一步見解.而幾何的觀點， 卻能夠揭開R和矩陣A的內在聯(lián)系.

將A分塊成列向量組

(3)

這些子空間有包含關系鏈

W0?…?Wj?…?Wn.

(4)

定義1給定m行n列的矩陣A， 并按(3)定義子空間序列.這些子空間的包含鏈(4)的n個包含關系?中， 每個嚴格包含關系的右端的子空間的編號， 稱為A的一個列主編號.

列主編號既然是用子空間語言來定義的， 這就凸顯了列主編號是由矩陣本身唯一決定的， 是矩陣的內蘊性質， 中間不涉及如作初等變換時的人為選擇.

引理1設A是m行n列的矩陣，r=rank(A).則

(i)A恰有r個列主編號， 記為j1，j2，…，jr；

切斯瓦夫·米沃什：對待存在的正確態(tài)度是尊重，因而應避免與那些借諷刺挖苦來貶低存在，同時又贊美虛無的人為伍。

(ii)aj1，aj2，…，ajr是A的列向量組的一個極大線性無關組.

定理1設A是m行n列的矩陣，r=rank(A)，j1，j2，…，jr是A的列主編號.

(i) 對任意的可逆矩陣Q=[aj1…ajr|* …*]，Q-1A為A的簡化行階梯形矩陣；

(ii) 若可逆矩陣R使得RA為A的簡化行階梯形矩陣， 則R-1的前r列為

aj1，aj2，…，ajr.

證(i) 記B=Q-1A， 并寫成A=QB.按列分塊得

即B的第j列乃是A的第j列沿Q的列向量組作為基底展開的坐標.由此及列主編號的定義立得.

(ii) 記B=RA， 令Q=R-1并按列分塊Q=[q1…qm]， 于是A=QB，

由簡化行階梯形的定義即知q1…qr恰為aj1，aj2，…，ajr.證畢.

從定理可以看出， 若r

aj1，aj2，…，ajr，qr+1，…，qm，

再求逆即得

R=[aj1，aj2，…，ajr，qr+1，…，qm]-1.

這樣就不用初等行變換的語言， 而用幾何方法， 給出了化A為簡化行階梯形的可逆矩陣的一個幾何的解釋.

例矩陣A是3×5的，

求出A的簡化行階梯形以及化A為簡化行階梯形的所有可逆矩陣.

解下面用幾何方法， 也就是定理1， 來求解.記

由于

(5)

按子空間序列(3)， 易見

W0?W1=W2?W3=W4=W5，

這里， ?表示“嚴格包含于”.因此， 1，3為A的列主編號.將(5)擴充為

并寫成矩陣形式

化A為簡化行階梯形所用的全部可逆矩陣R， 也就是使得RA=B的全部可逆矩陣R有參數形式

(6)

其中， 參數t1t2t3滿足約束條件: 行列式

即t2-2t1≠0.從(6)式也就不難看出， 為什么化矩陣為簡化行階梯形的初等行變換會有那么多不同的人為選擇了.

4 結 論

用幾何方法來解釋初等行變換化矩陣為行階梯形的過程， 有助于提高行階梯形及線性映射的矩陣表示兩個知識點的教學效果.

致謝感謝審稿人對本文的仔細閱讀和提出的修改意見.