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        對電磁感應(yīng)中“滑桿”模型的定量計(jì)算

        2022-06-23 02:40:56李啟國
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關(guān)鍵詞:滑桿線框收尾

        李啟國

        (安徽省利辛縣第一中學(xué) 236700)

        “滑桿”模型是高中物理電磁感應(yīng)問題中常規(guī)模型,在各類電磁感應(yīng)試題中頻頻出現(xiàn),此類問題中對滑桿運(yùn)動的定量分析往往只停留在收尾狀態(tài)上,一般回避從力與運(yùn)動角度對導(dǎo)體棒的運(yùn)動過程進(jìn)行定量分析,現(xiàn)對以下四種模型中導(dǎo)體棒的速度、位移隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)行定量計(jì)算.

        1 “含阻式”單桿模型的定量計(jì)算

        如圖1所示,導(dǎo)軌光滑,導(dǎo)體棒初速度為v0,質(zhì)量為m,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

        圖1

        當(dāng)t=0時(shí),v=v0,可得上式中A1=v0,

        (1)

        由(1)式可知,當(dāng)v=0時(shí),t=+∞

        (2)

        由以上計(jì)算可知,該模型中導(dǎo)體棒速度減為零的時(shí)間趨近于無窮大,而位移趨近于一定值.

        2 “含容式”單桿模型的定量計(jì)算

        如圖2所示,導(dǎo)軌光滑,導(dǎo)體棒初速度為v0,質(zhì)量為m,電阻為R,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,電容為C,現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

        圖2

        導(dǎo)體棒向右運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,對電容器充電,充電過程中有電流通過導(dǎo)體棒,導(dǎo)體棒在安培力的作用下減速,電容器上不斷積累電荷,當(dāng)其電壓等于導(dǎo)體棒電動勢時(shí),不再充電,電路中無電流,導(dǎo)體棒勻速.

        充電過程,對導(dǎo)體棒由動量定理可得:-∑BIiLΔt=∑mΔv,

        結(jié)合初始條件解得:

        (3)

        (4)

        由(3)可知,當(dāng)v=vm時(shí),t=+∞,由(4)式知,此時(shí)x=+∞

        由以上計(jì)算可知,該模型中導(dǎo)體棒進(jìn)入收尾狀態(tài)的時(shí)間趨近于無窮大,位移也趨近于無窮大.

        3 “含源式”單桿模型的定量計(jì)算

        如圖3所示,導(dǎo)軌光滑,導(dǎo)體棒初速度為v0,質(zhì)量為m,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,電動勢為E,現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

        圖3

        任一時(shí)刻,對導(dǎo)體棒由牛頓第二定律可得:

        (5)

        (6)

        由(6)式可知,當(dāng)v=vm,即t=+∞時(shí),x=+∞

        由以上計(jì)算可知,該模型中導(dǎo)體棒進(jìn)入收尾狀態(tài)的時(shí)間趨近于無窮大,位移也趨近于無窮大.

        4 雙桿模型的定量計(jì)算

        如圖4所示,導(dǎo)軌光滑,兩導(dǎo)體棒質(zhì)量均為m,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,回路總電阻為R,現(xiàn)給導(dǎo)體棒a一初速度v0,該模型的收尾狀態(tài)為回路電流為0,a、b勻速且速度相等.現(xiàn)定量計(jì)算導(dǎo)體棒a、b的速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律并討論其收尾狀態(tài).

        圖4

        設(shè)導(dǎo)體棒a、b的加速度分別為a1和a2,任意瞬間均有a1=-a2,

        現(xiàn)在再來研究導(dǎo)體棒a,由前面計(jì)算可知

        5 對“滑桿”模型類問題命題的思考

        通過以上計(jì)算可知,滑桿達(dá)到最后的收尾狀態(tài)所需時(shí)間均為無窮大,除了“含阻”單桿模型中導(dǎo)體棒的收尾位移趨近于一定值外,其他三個(gè)模型中導(dǎo)體棒的位移均趨近無窮大.也就是說,在該類模型中,若收尾速度趨近于0,則最終位移趨近一定值;若收尾速度趨近于一定值,則最終位移趨近無窮大.因此在收尾狀態(tài)為勻速運(yùn)動的滑桿模型的命題中,若限定了其收尾的位移,則均為錯(cuò)題,題目必然會出現(xiàn)數(shù)據(jù)不自洽的問題.如下面兩道試題;

        試題1 (2015年天津高考第11題(題目略))

        錯(cuò)因分析由題意知,ef、pq邊進(jìn)入磁場,線框開始做加速度減小的加速運(yùn)動,由前面的分析方法可知,若線框再次勻速運(yùn)動,需用的時(shí)間是無窮大,線框的位移也是無窮大,因此在ab邊進(jìn)入磁場前,線框不可能勻速.

        試題2如圖5所示,PQMN與CDEF為兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌,導(dǎo)軌間距為L.PQ、MN、CD、EF為相同的弧形導(dǎo)軌;QM、DE為足夠長的水平導(dǎo)軌.導(dǎo)軌的水平部分QM和DE處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.a(chǎn)、b為材料相同、長都為L的導(dǎo)體棒,跨接在導(dǎo)軌上.已知a棒的質(zhì)量為m、電阻為R,a棒的橫截面是b的3倍.金屬棒a和b都從距水平面高度為h的弧形導(dǎo)軌上由靜止釋放,分別通過DQ、EM同時(shí)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中,a、b棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動時(shí)不會相碰.若金屬棒a、b與導(dǎo)軌接觸良好,且不計(jì)導(dǎo)軌的電阻和棒與導(dǎo)軌的摩擦.

        圖5

        通過分析計(jì)算說明,從金屬棒a、b進(jìn)入磁場至某金屬第一次離開磁場的過程中,電路中產(chǎn)生的焦耳熱.

        錯(cuò)因分析此題給的標(biāo)準(zhǔn)答案認(rèn)為在其中一個(gè)導(dǎo)體棒離開磁場時(shí),兩導(dǎo)體棒已經(jīng)共速,由前面的計(jì)算可知,要想實(shí)現(xiàn)二者勻速,導(dǎo)體棒的位移均為無窮大,而導(dǎo)體棒既然能夠離開磁場,則磁場區(qū)域的長度必是有限的,故當(dāng)導(dǎo)體棒離開磁場時(shí),二者仍未共速.各自速度為多大,還需由磁場區(qū)域的長度進(jìn)一步計(jì)算確定.因此,該問中的產(chǎn)生的焦耳熱無法計(jì)算.此題也是一道末考慮到收尾位移的錯(cuò)題.

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