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        二項式定理題型剖析

        2022-06-23 02:47:02胡貴平
        數(shù)理化解題研究 2022年16期
        關鍵詞:項為因式展開式

        胡貴平

        (甘肅省白銀市第一中學 730900)

        二項式定理是高考高頻考點,題型多為選擇題、填空題,著重考查二項式定理的性質(zhì), 主要包括求某項的系數(shù)、系數(shù)的和差及最值;求某些項、中間項及有理項;利用二項展開式求近似值、求有關整除余數(shù)問題及不等式證明;解決與其它數(shù)學知識的綜合應用.熟悉二項式定理題型就顯得非常重要了.

        1 求系數(shù)

        1.1 求某項的系數(shù)通項分析法

        例1在 (x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為( ).

        A.160 B.240 C.360 D.800

        解析由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,(x+1)5(x+2)5展開式中x的系數(shù)為兩個因式相乘而得到,

        即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項,它為

        其x的系數(shù)為

        1.2 求某項的系數(shù)的和差賦值法

        在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法,令其中的字母等于1或-1.

        A.1 B.-1 C.0 D.2

        解析(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) .

        實際上,a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1,x=-1的值.

        令x=1,得

        令x=-1,得

        所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2

        =1.

        1.3 特殊系數(shù)最值對稱法

        求二項式系數(shù)最小的項,需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況,結合二項式系數(shù)性質(zhì)的對稱性,與首末兩端等距的兩項,二項式系數(shù)相同求解.

        例3在二項式(x-1)11的展開式中,系數(shù)最小的項的系數(shù)是____.

        從而可知最小項的系數(shù)為

        1.4 一般系數(shù)最值不等式法

        例4(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等,求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.

        解得n=8.

        所以(1+2x)8的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為

        設第r+1項系數(shù)最大,則有

        解得5≤r≤6.

        所以r=5或r=6(r∈{0,1,2,…,8}).

        所以系數(shù)最大的項為

        T6=1792x5,

        T7=1792x6.

        2 求項

        2.1 求中間項

        求二項式系數(shù)最大的項,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì),n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大,n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大.

        所以展開式的中間項為

        2.2 求有理項

        當一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時,就是有理項.求二項展開式中的有理項,必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性求解.

        解析因為

        所以當r=0,3,6,9時,所對應的項是有理項.

        故展開式中有理項有4項.

        3 利用展開式

        3.1 近似問題截項法

        用二項展開式作近似計算,注意底數(shù)的變形,以及考查對精確度有影響的某些項.

        例7求(2.999)10的近似值(精確到0.001).

        解析(2.999)10=(3-0.001)10

        =310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…

        =59049-196.83+0.295245-0.00026244+…

        ≈58852.465.

        所以(2.999)10的近似值為58852.465.

        3.2 整除(或余數(shù))問題展開法

        用二項式定理解決整除問題,一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開,經(jīng)常采用“配湊法”“消去法”結合整除的性質(zhì).

        例8109192除以100的余數(shù)是____.

        解析9192=(90+1)92

        由此可見,除后兩項外均能被100整除.

        所以109192除以100的余數(shù)是81.

        3.3 不等式證明二項法

        在有二項式的冪不等式中,要善于把其中某個數(shù)式變形、分解、引進參數(shù)等來構造新二項式而使得不等式兩邊在二項式展開后有緊密的聯(lián)系.

        例9求證: 3n>2n-1·(n+2)(n∈N,且n≥2).

        證明左式=(2+1)n

        注意到:

        ①2n+n·2n-1=2n-1(2+n)

        =2n-1(n+2);

        ②n≥2,右式至少三項;

        故可以得到3n>2n-1·(n+2)(n∈N,且n≥2).

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