陳 龍

(湖北省水果湖高級中學(xué) 430071)

源題1已知圓C:(x-4)2+(y-3)2=25，求過點M(2,1)的直線l被圓C截得的最短弦長和最長弦長.

解析因為(2-4)2+(1-3)2=8<25，

所以點M在圓C內(nèi).

圖1

變式已知C:(x-1)2+(y-2)2=25，直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值.

源題2已知點P(x,y)是圓C:(x-3)2+(y-3)2=4任一點，求點P到直線l:2x+y+6=0距離的最大值和最小值.

圖2

點評此題屬于考查直線與圓相離時圓上點到直線距離的最值問題.最大值為d+R，最小值為d-r.

變式1由直線l:y=x+1上的一動點P向圓C:(x-3)2+y2=1引切線切于點D，求切線PD長的最小值.

圖3 圖4

變式2 已知點P為直線y=x+1上的一動點，過點P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA，PB，A,B為切點，求cos∠APB的最小值.

解析由圖4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC,

源題3已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+1=0.

(2)求n=y-x的最大值和最小值；

(3)求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析(1)因為點P(x,y)滿足圓C:(x-2)2+y2=3方程，即點P在圓C上.

圖5 圖6

(注：利用點C到直線y=kx距離等于半徑求出相切時的k值)

圖7

點評此類題屬于考查直線與圓相切時相關(guān)的最值問題.處理時要考慮所求式子的幾何意義.

變式2若實數(shù)x,y滿足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值．

解析(x+1)2+(y-2)2=5，

所以當cos(θ+φ)=1時，(x-2y)max=5-5=0.故x-2y的最大值為0．

點評本題是典型的用圓的參數(shù)方程解決的題型，利用圓的參數(shù)方程將所求式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，利用輔助角公式即得最大值，此法在后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習中會有所推廣.

變式3平面上有兩點A(-1，0)，B(1，0)，P為圓x2+y2-6x-8y+21=0上的一點，試求S=|AP|2+|BP|2最小值．

解析把已知圓的一般方程化為標準方程,得

(x-3)2+(y-4)2=4.

設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則

S=|AP|2+|BP|2

要使S=|AP|2+|BP|2最小,需|OP|最小,即使圓上的點到原點的距離最小.

容易知道|OP|min=|OC|-r=5-2=3.

所以Smin=2(32+1)=20．

點評設(shè)P(x,y)，使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點到原點的距離問題，利用數(shù)形結(jié)合法求最值，實質(zhì)上是利用初中學(xué)過的“連接兩點的線段中，直線段最短”這一性質(zhì)．

變式4過直線y=1上一點P(x,y)作圓(x+1)2+(y+1)2=1的切線，求切線長的最小值．

以上列舉了幾道“源題”和若干變式題目，說明了一些看似復(fù)雜的題目的真身依然是我們熟悉的知識點.

圓的知識在初中與高中都要學(xué)習，是一典型的知識交匯點．現(xiàn)在的數(shù)學(xué)高考非常重視初高中知識的銜接問題，所以同學(xué)們在處理與圓有關(guān)的小題時，一定要數(shù)形結(jié)合，多聯(lián)想一下與之有關(guān)的平面幾何知識，以免“小題大作”．由于圓的對稱性，在與圓有關(guān)的最值問題中，應(yīng)把握兩個“思想”：幾何思想和代數(shù)思想．所謂幾何思想，即利用圓心，將最值問題轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問題．所謂代數(shù)思想，即利用圓的參數(shù)方程．同時，由于最值問題從代數(shù)意義上講和函數(shù)的最值聯(lián)系緊密，因此在解題過程中靈活地應(yīng)用函數(shù)、不等式等代數(shù)思想使問題代數(shù)化、簡單化也是需要注意的．