劉卓沄，盧桂萍，彭崗舉

（1.北京理工大學(xué)珠海學(xué)院，廣東珠海 519000；2.珠海華星智造科技有限公司，廣東珠海 519000）

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)蓬勃發(fā)展，越來越多機(jī)器人競(jìng)賽出現(xiàn)。在大部分的機(jī)器人競(jìng)賽中，麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)已經(jīng)得到了廣泛運(yùn)用，其所存在的數(shù)學(xué)分析是當(dāng)今全向輪中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外大多數(shù)對(duì)麥克納姆輪運(yùn)動(dòng)分析以采用高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行分析研究，存在分析復(fù)雜，理論性較強(qiáng)，應(yīng)用性較低的情況。

本文將針對(duì)青少年在機(jī)器人競(jìng)賽中對(duì)無法運(yùn)用所學(xué)知識(shí)理解麥克納姆輪全向運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)原理這一問題，通過向量分析法分析麥克納姆輪的運(yùn)動(dòng)過程，利用數(shù)學(xué)分析建立全向平移運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，使得青少年能夠在機(jī)器人競(jìng)賽中予以實(shí)際運(yùn)用麥克納姆，提高青少年機(jī)器人競(jìng)賽的學(xué)術(shù)性，也可以提高青少年學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力和科學(xué)研究能力。

1 研究現(xiàn)狀及背景

1.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

麥克納姆輪是1973 年由瑞典Mecanum AB 公司工程師Bengtllon 提出，其承載能力大，運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)越，具有較高的研究?jī)r(jià)值。經(jīng)過長(zhǎng)期的發(fā)展，其相關(guān)設(shè)計(jì)制造技術(shù)已經(jīng)較為成熟，而其相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，正是當(dāng)今研究的熱點(diǎn)。由于麥克納姆輪驅(qū)動(dòng)的全向移動(dòng)機(jī)器人存在諸多優(yōu)勢(shì)， 使其在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界得到越來越多的關(guān)注，諸多學(xué)者對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和動(dòng)力學(xué)建模展開了研究[1]。

1.1.1 國(guó)外研究現(xiàn)狀

Patrick Muir 使用矩陣變換的方法提出麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。在國(guó)外Jorge通過對(duì)比傳統(tǒng)車輪和全向輪的區(qū)別，并用旋量的方法提出麥克納姆輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，王一治[2]討論了麥克納姆輪四輪系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)的條件，比較了常見的6種布局形式，進(jìn)而優(yōu)選出能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動(dòng)的最佳方案。Muir 等對(duì)此類機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，從運(yùn)動(dòng)學(xué)方式上，給出了基于麥克納姆輪的全向機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。Tlale 等為此類機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)模型并從動(dòng)力學(xué)角度對(duì)基于麥克納姆輪的全向機(jī)器人展開分析。盡管此類機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型發(fā)展較為成熟，針對(duì)應(yīng)用于實(shí)際環(huán)境的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制研究仍然方興未艾[3]。

1.1.2 國(guó)內(nèi)的研究現(xiàn)狀

我國(guó)在移動(dòng)機(jī)器人方面的研究起步較晚，但是發(fā)展勢(shì)頭卻十分迅速[4]。目前國(guó)內(nèi)大多數(shù)對(duì)麥克納姆輪分析以采用高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行分析研究，存在分析復(fù)雜，理論性較強(qiáng)，應(yīng)用性較低的情況。

1.2 研究背景和設(shè)計(jì)目的及意義

麥克納姆輪作為機(jī)器人競(jìng)賽中應(yīng)用最廣泛的全向平移平臺(tái)，面向群體廣。通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，不少青少年機(jī)器人賽事中，均出現(xiàn)了使用麥克納姆輪作為競(jìng)賽的移動(dòng)平臺(tái)。而麥克納姆輪存在結(jié)構(gòu)繁瑣，運(yùn)動(dòng)原理復(fù)雜，蘊(yùn)含的理論數(shù)學(xué)知識(shí)較多的情況。但大多數(shù)青少年所掌握的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，無法正確地運(yùn)用在對(duì)麥克納姆輪的分析中。

如何才能讓青少年群體更加充分地理解麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)原理是當(dāng)下需要解決的一個(gè)問題。所以需要研究一種簡(jiǎn)單易懂的分析方法，使得青少年能夠充分理解麥克納姆輪的運(yùn)動(dòng)過程，正確使用麥克納姆輪作為機(jī)器人的移動(dòng)平臺(tái)，并能通過簡(jiǎn)要的數(shù)學(xué)公式應(yīng)用在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制中。提高青少年機(jī)器人競(jìng)賽的學(xué)術(shù)性，也可以提高青少年學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力和科學(xué)研究能力。

2 麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)設(shè)計(jì)

2.1 模型建立

麥克納姆輪由一組圍繞輪體對(duì)稱放置的若干個(gè)全等小輥?zhàn)咏M成，其中小輥?zhàn)泳邆涮厥廨喞€，具有零轉(zhuǎn)半徑的特點(diǎn)，能夠在在平面內(nèi)做任意方向的移動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人全方位移動(dòng)的功能[5]。一個(gè)麥克納姆輪需要由一個(gè)電機(jī)單獨(dú)控制，并且4 個(gè)麥克納姆輪所組成的全向移動(dòng)平臺(tái)具有良好的移動(dòng)性能。因此，該研究選取兩個(gè)左旋和兩個(gè)右旋的麥克納姆輪對(duì)稱安裝，組成全向移動(dòng)平臺(tái)，如圖1～2所示。

圖1 全向移動(dòng)平臺(tái)俯視圖

圖2 全向移動(dòng)平臺(tái)軸測(cè)圖

2.2 與其他模型建立對(duì)比

從車體運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，將別的分析方法設(shè)的眾多物理變量里面一些對(duì)于理解麥克納姆輪的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)影響不大的物理量省去，如別的分析方法設(shè)4個(gè)麥克納姆輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為ω1、ω2、ω3、ω4；車 體 的 速 度 為v1、v2、ω0；輥?zhàn)拥乃俣葹関g1、vg2、vg3、vg4[3]。將輥?zhàn)铀俣仁∪?，把其他速度用向量進(jìn)行表示，這樣會(huì)更簡(jiǎn)潔易懂。在對(duì)單個(gè)麥克納姆輪方面，同樣地把輥?zhàn)拥倪\(yùn)動(dòng)曲線以及輥?zhàn)拥慕Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)省去，因?yàn)榇瞬糠稚婕暗臄?shù)學(xué)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)比較多，青少年理解起來頗為困難，又因基于向量分析法對(duì)麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)的研究目的是為了讓青少年更直觀地理解麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)原理，從而更有效地應(yīng)用在比賽上。

3 麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析

3.1 對(duì)單個(gè)麥克納姆輪分析

單個(gè)麥克納姆輪的運(yùn)動(dòng)包括輪廓的運(yùn)動(dòng)和小輥?zhàn)拥倪\(yùn)動(dòng)。輪轂和不與地面接觸的小輥?zhàn)永@輪轂中心轉(zhuǎn)動(dòng)[6]。

如圖3所示，左側(cè)的麥克納姆輪在地面上向前滾動(dòng)時(shí)受到地面對(duì)輪子向前的摩擦力f，將這個(gè)力沿著滾軸的兩個(gè)互相垂直的方向進(jìn)行正交分解得到分力F1和F2，由于麥克納姆輪四周的滾軸各擁有一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，所以分力F1實(shí)際上只使得滾軸轉(zhuǎn)動(dòng)而并沒有影響輪子的移動(dòng)；分力F2是對(duì)輪子有大小為fcos 45°的壓力，那么輪子就會(huì)朝著F2的方向移動(dòng)，這個(gè)分力才是讓麥克納姆輪移動(dòng)的動(dòng)力。同理，圖3所示右側(cè)的輪子會(huì)受到45°角斜向左上方的力。

圖3 麥克納姆輪受力分析

3.2 對(duì)麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)研究

單個(gè)麥克納姆輪無法實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)，至少需要4個(gè)才能組成全方位移動(dòng)平臺(tái)。本文將以常規(guī)四輪麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)為例進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，該移動(dòng)平臺(tái)可實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)。

通過分析整體全方位移動(dòng)平臺(tái)，發(fā)現(xiàn)后兩輪的情況和前兩輪也是及其相似的，并得出以下結(jié)論：（1）左右一對(duì)麥克納姆輪各自受到的力都斜向外側(cè)呈45°夾角；（2）因?yàn)辂溈思{姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)中左上角的輪子安裝和右下角的相同，右上角的和左下角的相同，所以在分析全向移動(dòng)平臺(tái)整體運(yùn)動(dòng)時(shí)可以把這兩對(duì)相同特征的輪子整體考慮。

如圖4～5 所示，以機(jī)器人的幾何中心建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)C為車體的幾何中心，其y軸始終指向車體縱軸，x軸與y軸垂直并組成右手坐標(biāo)系，x軸與驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出軸平行，y軸與x軸垂直并組成右手坐標(biāo)系?！觥觥觥鯟D表示麥克納姆輪的右前輪和左后輪的單位速度，■→■■■CF表示左前輪和右后輪的單位速度，它們互相垂直，則可以把這兩個(gè)矢量作為正交基底合成平面內(nèi)任意一個(gè)矢量，這在機(jī)器人的移動(dòng)上的效果則是改變4 個(gè)輪子的轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)機(jī)器人在平地上的全向平移。

圖4 全向移動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系

由圖5得x和y的值為0.5，化簡(jiǎn)式（1）可得下式：

圖5 全向移動(dòng)底盤向量示意圖

根據(jù)上述數(shù)學(xué)關(guān)系可知這兩個(gè)實(shí)數(shù)可以分別表示兩對(duì)安裝相同的輪子的轉(zhuǎn)速，因此可得出了麥克納姆輪的全向平移運(yùn)動(dòng)模型如下：

4 應(yīng)用實(shí)例

在青少年機(jī)器人競(jìng)賽中，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制尤為重要，在不少比賽中，對(duì)參賽選手所設(shè)計(jì)的機(jī)器人的移動(dòng)精度提出了較高的要求。一項(xiàng)名為FTC 科技挑戰(zhàn)賽的機(jī)器人競(jìng)賽，每年約有25 萬名高中生參與其中，是規(guī)模最大的青少年機(jī)器人競(jìng)賽。該機(jī)器人競(jìng)賽分為自動(dòng)階段和手動(dòng)階段，在自動(dòng)階段，參賽機(jī)器人完全由事先編好的程序自動(dòng)運(yùn)行以完成指定任務(wù)。作為競(jìng)賽場(chǎng)地的環(huán)境設(shè)置較為復(fù)雜，故不可預(yù)見性較強(qiáng)。機(jī)器人能夠在程序控制下完成任務(wù)，是靠自身安裝的各種傳感器“認(rèn)識(shí)和感知”周圍復(fù)雜的場(chǎng)地情況并自動(dòng)判斷執(zhí)行相關(guān)程序。手動(dòng)控制階段， 則是參賽隊(duì)員操控手柄， 通過WiFi 與機(jī)器人建立連接，手動(dòng)控制機(jī)器人完成相關(guān)任務(wù)[7]。

4.1 全自動(dòng)程序的應(yīng)用

自動(dòng)階段需要讓機(jī)器人全自主運(yùn)動(dòng)，在限定的時(shí)間內(nèi)，完成對(duì)應(yīng)的任務(wù)，這對(duì)機(jī)器人的移動(dòng)提出了較高的要求。通過使用全向平移方程，只需用Y軸方向和X軸方向的位移計(jì)算出機(jī)器人所需位移的距離，根據(jù)麥克納姆輪周出，以及每個(gè)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)，再依靠時(shí)間與速度的關(guān)系計(jì)算出每個(gè)輪子分配的功率，即可以讓機(jī)器人移動(dòng)到指定的位置，避免了繁瑣的程序編寫，將全向移動(dòng)平臺(tái)自動(dòng)控制代碼由原來23 行命令代碼，縮減到僅5行，實(shí)現(xiàn)了對(duì)程序的精簡(jiǎn)化，如圖6所示。

圖6 自動(dòng)階段程序

4.2 手動(dòng)程序應(yīng)用

手動(dòng)階段需要參賽選手通過遙控器操縱場(chǎng)上的機(jī)器人，完成相應(yīng)的競(jìng)賽任務(wù)，需要更好地操縱機(jī)器人，盡可能做到人機(jī)結(jié)合。而參賽選手在場(chǎng)上所使用的遙控器由左右兩個(gè)搖桿控制，搖桿的運(yùn)動(dòng)可分為x軸上的分量和y軸上的分量，且搖桿的返回值為x軸和y軸的坐標(biāo)，將這特點(diǎn)與全向平移方程結(jié)合，能過完全模擬機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。降低了參賽選手對(duì)機(jī)器人的操作難度，提升了操作效率。如圖7～8所示。

圖7 手動(dòng)階段程序1

圖8 手動(dòng)階段程序2

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于向量分析法對(duì)麥克納姆輪全向移動(dòng)平臺(tái)的研究對(duì)麥克納姆輪的應(yīng)用，在研究方法上實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)新，擯棄了難度較大的高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)體系，能讓青少年群體使用通俗易懂的知識(shí)體系進(jìn)行研究，讓青少年更好地運(yùn)用自己的所學(xué)知識(shí)，提高綜合運(yùn)用知識(shí)能力和自學(xué)能力，具有一定的促進(jìn)作用。并且可使得麥克納姆輪更加廣泛地運(yùn)用在各種機(jī)器人競(jìng)賽乃至其他應(yīng)用場(chǎng)合。

隨著青少年機(jī)器人競(jìng)賽的普及，將會(huì)有更多的群體參與其中，更多難度較大的知識(shí)將會(huì)運(yùn)用其中，未來將繼續(xù)研究相關(guān)機(jī)器人競(jìng)賽的技術(shù)難點(diǎn)，普及相關(guān)機(jī)器人技術(shù)。