黃 昊

（西昌學(xué)院）

一、高等代數(shù)與幾何學(xué)之間的關(guān)聯(lián)

高等代數(shù)與幾何學(xué)有諸多相似之處，高等代數(shù)中的某些理論就是從幾何學(xué)中發(fā)展而來，高等代數(shù)與幾何的發(fā)展可謂是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的，兩者相輔相成，幾何以更加直觀的形象將高等代數(shù)所表達(dá)的含義呈現(xiàn)出來，而高等代數(shù)為幾何提供了有效的研究方法。如幾何學(xué)中的向量共線、共面的充要條件可以運(yùn)用高等代數(shù)中行列式工具來表達(dá)；兩門課程看似不相關(guān)，其實(shí)他們之間有著莫大的關(guān)聯(lián)，幾何學(xué)中一維、二維、三維空間與線性代數(shù)中的n緯空間相對(duì)應(yīng)，反之從線性代數(shù)的觀點(diǎn)來看，線性空間的諸多理論源自幾何學(xué)一、二、三維空間的推廣；如此看來，我們?cè)谘芯繋缀螌W(xué)時(shí)，可以運(yùn)用“高等代數(shù)”為工具進(jìn)行解析，尤其是高中階段的幾何學(xué)習(xí)過程中，可實(shí)現(xiàn)二者的有效結(jié)合，利于教學(xué)的有效開展，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)幾何知識(shí)，同時(shí)更早的接觸高等代數(shù)，為后期的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、高等代數(shù)在幾何學(xué)中應(yīng)用的研究目的

高等代數(shù)是大學(xué)重要課程之一，當(dāng)前的高等數(shù)學(xué)是經(jīng)過很多科學(xué)家不斷改進(jìn)完善的結(jié)果，如今高等數(shù)學(xué)成為很多學(xué)科的基礎(chǔ)課程，諸如科研、工程設(shè)計(jì)、物理學(xué)或化學(xué)研究等等都需要高等代數(shù)為基礎(chǔ)。而幾何這門學(xué)科由來已久，但因該學(xué)科的特殊性，很少人能夠真正領(lǐng)悟幾何學(xué)真正的內(nèi)涵。若能夠?qū)⒏叩却鷶?shù)與幾何聯(lián)系起來，發(fā)揮各自優(yōu)勢(shì)，會(huì)為幾何學(xué)的發(fā)展帶來積極的影響。

關(guān)于高等代數(shù)與幾何學(xué)關(guān)聯(lián)的研究，著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日表示：假若代數(shù)與幾何獨(dú)立分開發(fā)展，那兩者的發(fā)展速度將會(huì)非常緩慢，其應(yīng)用的范圍也比較窄，但如果能將兩者結(jié)合起來研究，那高等代數(shù)與幾何學(xué)的發(fā)展將會(huì)突飛猛進(jìn)，應(yīng)用范圍也大大拓寬。當(dāng)下我國(guó)有不少知名大學(xué)將高等代數(shù)與幾何學(xué)進(jìn)行合并，如同濟(jì)大學(xué)、蘭州大學(xué)等等，其教學(xué)效果相比未合并前有了顯著的提高。

三、高等代數(shù)在幾何學(xué)中應(yīng)用

（一）高等代數(shù)“行列式”與幾何“向量”之間的關(guān)系

圖1 向量示意圖

（2）行列式與向量之間的關(guān)聯(lián)：

圖2 向量二維關(guān)系圖示

以上是2元一次方程所對(duì)應(yīng)的幾何中的平面中向量的關(guān)系，2元方程對(duì)應(yīng)的是2維度，那以此類推，三元一次方程對(duì)應(yīng)的是幾何中的三維概念，n個(gè)線性方程組多對(duì)應(yīng)的就是n維空間的向量關(guān)系。

（二）線性方程組與平面對(duì)應(yīng)關(guān)系

眾所周知，兩個(gè)平面在空間中的關(guān)系為相交、平行、重合三種關(guān)系，如圖3所示（平面重合不再贅述）：

圖3 平面a//平面b

圖4 平面a相交于平面b

從高等代數(shù)的角度來驗(yàn)證兩平面的關(guān)系：

若平面a與平面b平行，則充要條件為：

若平面a與平面b重合，則充要條件為：

若平面a與平面b相交，則充要條件為：

證明：

若平面a與平面b平行，則兩個(gè)平面沒有交集，無公共點(diǎn)存在，

同理可證明面a與平面b重合、平面a與平面b相交的充要條件成立。

（三）線性方程組在直線位置關(guān)系判定中的應(yīng)用

兩條直線在空間中的關(guān)系有四種，分別為重合、平行、異面與相交。

我們先定義兩條直線的線性方程，通過方程組的形式來討論直線之間的幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

直線1方程：記為m1：

直線2方程：記為m2：

證明：

線性方程組為：

四、結(jié)語

幾何是基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要組成部分，幾何與高等代數(shù)有著密切關(guān)聯(lián)，中學(xué)階段學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何過程中比較吃力，抽象的幾何知識(shí)讓不少學(xué)生望而卻步，不知該如何應(yīng)對(duì)，本文簡(jiǎn)要探討了高等代數(shù)在幾何學(xué)中應(yīng)用，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生幾何學(xué)習(xí)效果起到了一定的效果。在素質(zhì)教育背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)老師應(yīng)積極探索高等代數(shù)在幾何中的應(yīng)用策略，為學(xué)生打開學(xué)習(xí)幾何的新局面。當(dāng)然，當(dāng)下高等代數(shù)在幾何中的應(yīng)用并不完善，需要不斷改進(jìn)、完善，更深層次地探索兩者的關(guān)聯(lián)，更好地實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)在幾何學(xué)中應(yīng)用。

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