高雙云
解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊,解析幾何問(wèn)題的分值在高考試卷中占比較大.解析幾何問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式有:求曲線(xiàn)的方程、求曲線(xiàn)中線(xiàn)段的最值、求參數(shù)的取值范圍、判斷點(diǎn)的存在性等.解析幾何問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的邏輯思維和運(yùn)算能力有較高的要求.下面介紹三個(gè)解答解析幾何問(wèn)題的技巧,以幫助同學(xué)們簡(jiǎn)化問(wèn)題,提高解題的效率.
一、巧用參數(shù)法
有些解析幾何問(wèn)題較為復(fù)雜,涉及了較多的變量,為了便于解題,我們可引入合適的參數(shù),設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的斜率、方程、曲線(xiàn)的方程等,然后將其代入題設(shè)中進(jìn)行運(yùn)算、推理,再通過(guò)恒等變換,消去參數(shù)或求得參數(shù)的值,便可求得問(wèn)題的答案.
二、妙用射影性質(zhì)
射影性質(zhì)是圖形經(jīng)過(guò)任何射影對(duì)應(yīng)(變換)都不變的性質(zhì).若遇到涉及多條共線(xiàn)線(xiàn)段或平行線(xiàn)段的解析幾何問(wèn)題,我們可以巧妙利用射影性質(zhì)來(lái)解題.首先根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形,然后在x軸或y軸上畫(huà)出各條線(xiàn)段的射影,如此便可將問(wèn)題中線(xiàn)段的長(zhǎng)度、數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x軸或y軸上的點(diǎn)或線(xiàn)段問(wèn)題,進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算.
解:設(shè)P(xp,yp),Q(x,y),R(xR,yR)在x軸上的射影分別為P0,Q0,R0,
找到P、Q、R在x軸上的射影,利用射影性質(zhì)得到x·xp=xR2,然后通過(guò)聯(lián)立方程求得x、xp、xR2,建立關(guān)系式,即可通過(guò)消元求得點(diǎn)Q的軌跡方程.巧妙利用射影性質(zhì)來(lái)解題,能有效簡(jiǎn)化運(yùn)算,提升解題的效率.
三、建立極坐標(biāo)系
對(duì)于一些與線(xiàn)段長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題,我們可以結(jié)合圖形的特征,建立極坐標(biāo)系,通過(guò)極坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求得問(wèn)題的答案.一般地,可將直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)看作極坐標(biāo)系的原點(diǎn),將直角坐標(biāo)系的X軸看作極坐標(biāo)系的極軸,把線(xiàn)段用極坐標(biāo)表示出來(lái),這樣便可將問(wèn)題簡(jiǎn)化.
以例2為例.
解:以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以O(shè)x軸的正半軸為極軸建立如圖2所示的極坐標(biāo)系.
設(shè)P(ρP,θ),Q(ρ,θ),R(ρR,θ),
可得ρ2(2+sin2θ)=4ρcosθ+6ρsinθ,
而x=ρcosθ,y=ρsinθ,
可得2x2+3y2-4x-6y=0(其中x,y不同為零),
可見(jiàn),利用參數(shù)法、射影性質(zhì)、極坐標(biāo)系法,都能巧妙地簡(jiǎn)化運(yùn)算,提升解題的效率.相比較而言,參數(shù)法的適用范圍較廣,另外兩個(gè)技巧具有一定的限制. 同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),可根據(jù)解題需求,引入?yún)?shù)、畫(huà)出射影、建立極坐標(biāo)系,這樣便可讓解題變得更加高效.A77D8681-2D89-4719-A272-244401F13112