張東年

[摘? 要] 問題驅(qū)動教學有助于在課堂教學中將培養(yǎng)學生的思維、提高能力、提升素養(yǎng)等目標落到實處. 如何用問題驅(qū)動探究，研究者以“相似三角形的性質(zhì)”教學為例，得出問題驅(qū)動課堂教學的原則：（1）依據(jù)教學目標，增強問題設計的有效性;（2）注重相機引導，實現(xiàn)問題設計的導向性;（3）關注最近發(fā)展區(qū)，彰顯問題設計的主體性;（4）重視問題開放性，鞏固問題設計的支撐性;（5）內(nèi)化數(shù)學思想方法，體現(xiàn)問題設計的目的性.

[關鍵詞] 相似三角形;問題驅(qū)動;自主建構;教學思考

問題提出

波利亞說：數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和思維能力. 那么，如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生思維？亞里士多德已給出答案：思維從問題開始[1]. 借助數(shù)學問題驅(qū)動教學的關鍵是對問題的設計，教師在教學實踐中應多視角關注數(shù)學問題設計，如注重數(shù)學基礎知識與基本技能的培養(yǎng)，深挖數(shù)學知識的內(nèi)在關聯(lián)性，追本溯源、揭示數(shù)學的本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學知識的自主建構，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，學會用數(shù)學語言表述事實和數(shù)學思維思考世界等，這些也是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)所要求的. 目前，在數(shù)學教學中的問題設計過于簡單而喪失探究價值，學生的數(shù)學思維得不到訓練，或者問題設計過于復雜，導致探究無法進行，探究過程被直接“灌輸”取代，學生失去主動建構知識的過程. 如何用問題驅(qū)動探究，讓結論自主建構，使學生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程？筆者以“相似三角形的性質(zhì)”一課的教學為例，對幾點教學思考進行探討.

教學過程

（一）提出問題，引入新課

問題1：相似三角形的定義是什么？

生：若兩個三角形形狀完全相同，則這兩個三角形為相似三角形.

師：若兩個三角形的形狀完全相同，則構成三角形的基本要素（角和邊）之間存在特殊關系，從形狀相同的兩個三角形抽象出它們構成要素之間的這個關系就是相似三角形的定義.

設計說明? 判定兩個三角形是否相似，最原始的方法是相似三角形的定義. 反之，若已知三角形相似，則利用定義能得出兩個三角形構成要素之間的特殊關系（對應角相等、對應邊成比例），因此，這就成為相似三角形的基本性質(zhì). 在研究幾何圖形時，應該從特殊圖形或關系中抽象出定義，而定義具有雙層意義，即它是最原始的判定定理，也是基本性質(zhì). 然后借助定義可以推導出其他判定定理與性質(zhì)定理（如圖1）.

（二）還原認知，探究新知

問題2：相似三角形的基本性質(zhì)來自哪里？出發(fā)點是什么？

生：來自相似三角形的定義.

問題3：相似三角形的基本性質(zhì)如何用文字語言、圖形語言和數(shù)學語言表述？

生：學生歸納總結（如表1）.

問題4：研究三角形的基本構成要素（頂點、邊和角）之外，還研究過哪些幾何量呢？今天研究從相似三角形基本性質(zhì)出發(fā)推導其他性質(zhì). 那么，研究從哪里入手呢？

生：三角形的高線、角平分線和中線這三條主要線段.

師：若三角形相似，則三角形對應邊上的高就是對應高，對應邊上的中線就是對應中線，三角形中這些線段是否存在一般表示的規(guī)律？同學們?nèi)绾窝芯浚?/p>

1. 探究相似三角形對應邊上的高的比

問題5：相似三角形對應邊上的高的比值是多少？你能大膽猜測這個比值嗎？

生：對應高的比等于相似比.

問題6：這個命題是否正確呢？這個命題的條件與結論分別是什么？

生：不確定. 條件是兩個三角形相似，對應高，結論是對應高的比等于相似比.

師：遇到文字命題，首先，要閱讀、分析與理解;其次，分清楚它的條件和結論;再次，將它翻譯成圖形語言、符號語言和數(shù)學語言;最后，推理該命題是否正確（如圖2）.

生：命題的條件和表述如表2.

問題7：通過什么途徑證明該命題？請同學們獨立思考后，再分小組討論交流.

生：通過證明△ABD∽△A′B′D′.

師：為什么想到證明△ABD∽△A′B′D′？同學們以前解決過類似的問題嗎？

設計說明? 以前學習全等三角形時，已證明過“全等三角形對應邊的高相等”，思路是將高這兩條線段放在兩個三角形中，然后證明這兩個小三角形全等. 然而，全等是特殊的相似，由全等推廣到相似，全等三角形的相似比是1，相似的時候相似比一定是1嗎？相似比由1推廣到相似比為正實數(shù). 這就是學習經(jīng)驗，很自然地將以前學過的知識遷移到現(xiàn)在解決問題的過程中，這樣就可以將這兩條高放在兩個小三角形中證明相似.

設計說明? 學生經(jīng)過猜想得到對應高的比等于相似比. 教學中經(jīng)過有理有據(jù)的推理得出結論，說明這個命題是真命題.

師：如圖3，相似三角形三條邊上的對應高的比都等于相似比嗎？那么，AC，A′C′上的對應高=？此時，應證明哪兩個三角形相似？

生：對應高的比等于相似比，通過證明△ABE與△A′B′E′相似求證結論.

師：類似的，能不能證明=相似比？這時的值等于哪兩個邊的比值？

生：可以，的值等于的比值，也等于的比值.

師：每條對應邊上的高的比都等于k，三條對應邊上的高的比相等嗎？那么，同學們能得出一個什么結論呢？

生：相等. 相似三角形對應邊上的高的比等于相似比.

師：相似三角形對應高的比等于相似比. 我們現(xiàn)在只研究了一種幾何量——高，能不能進一步擴展研究其他幾何量，那接下來我們需要研究什么呢？

生：角平分線、中線.

師：相似三角形對應中線的比等于什么？對應角平分線的比等于什么？

設計說明? 學生利用已經(jīng)證明得出的“相似三角形一組對應邊的高線等于相似比”，類比推理，得出最后的結論. 同時，再次啟發(fā)學生得出下一步研究對象和研究思路. （如表3）DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

2. 探究相似三角形對應邊上的中線、對應角平分線的比

問題8：能借助探索“相似三角形對應邊上的高的比等于相似比”的研究方法來獲取研究“相似三角形對應邊的中線”的研究思路嗎？請小組討論.

師：請同學們大膽猜測“相似三角形對應邊的中線的比等于什么”？

生：相似三角形對應邊的中線的比等于相似比.

師：猜測的這個結論一定正確嗎？同學們能將該命題表述為其他形式嗎？

生：不確定，需要證明. 可以用圖形語言和數(shù)學語言描述（如表4）.

師：能說出證明思路嗎？以及判定依據(jù)是什么？

生：判定兩個小三角形相似. 相似三角形的性質(zhì)，AD，A′D′為對應邊上的中線，得到BD=BC，B′D′=B′C′. 判定兩個小三角形相似的依據(jù)是，=，∠B=∠B′.

師：正確嗎？有沒有同學補充？

生：應該是=，∠B=∠B′.

師：應該在要證明相似的兩個三角形內(nèi)找條件. 這個判定三角形相似的定理是什么？

生：對應兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似.

師：同理能不能證明出三條對應邊上的中線的比等于什么？請說明思路.

生：學生回答思路.

師：那么，我們可以得出一個什么結論？

生：相似三角形對應中線的比等于相似比.

問題9：是否借助探索“相似三角形對應邊上的高、中線的比等于相似比”的研究方法，獲取研究“相似三角形對應角的角平分線的比等于相似比”的研究思路？請小組討論.

生：猜測結論，分析命題中的條件和結論，將命題用圖形和數(shù)學語言表述，結合前面探究的方法和思路解決問題，得出結論“相似三角形對應角平分線的比等于相似比”.

師：綜合前面所得結論，如何用文字語言表述這些結論？

生：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比.

（三）擴展探究，深化理解

1. 探究相似三角形對應線段的比

問題10：同學們能想到其他的對應線段嗎？

生：相似三角形的對應角的三等分線，對應邊的三等分點，它們也是對應線段，它們的比等于相似比.

問題11：以上結論是否正確？同學們會證明嗎？證明的途徑是什么？

生：通過證明小三角形相似來證明. 且陳述證明小三角形相似的過程與理由.

設計說明? 如果兩個角相等，那么它們的三分之一是相等的，它們的二分之一、三分之二也是相等的;如果兩條線段相等，那么它們的三分之一是相等的，它們的二分之一、三分之二也是相等的. 因此，可以將這個“對應線段”再一次推廣，“對應線段”可以是角的幾等分線，也可以是邊的幾等分點. 總之，如果這條線段的端點是對應點，那么這條線段就是對應線段. 只要兩個三角形相似，它們對應線段的比就等于相似比.

2. 探究相似三角形的周長比與面積比

問題12：我們已研究了三角形的高、中線、角平分線這些幾何量，我們在學習三角形時還計算過三角形的哪些量？接下來我們應該研究什么？

生：三角形的周長和面積.

問題13：請大膽猜測，兩個三角相似，它們的周長比、面積比和相似比k有沒有關系？

生：相似三角形的周長比等于k，面積比等于k的平方.

師：同學們?nèi)绾沃赖模磕苷f明理由嗎？

生：陳述證明思路.

師：先給出“相似三角形的周長比等于k”的證明思路，類比得出“相似三角形的面積比等于k的平方”的證明思路（如表5），根據(jù)思路圖書寫推理過程.

（四）反思總結，歸納提煉

師：從相似三角形的定義出發(fā)，利用過去學習全等三角形的經(jīng)驗，將知識經(jīng)驗進行遷移，再加上有理有據(jù)的推理證明，得到相似三角形的性質(zhì). 那么，得到相似三角形的哪些性質(zhì)？

生：自己思考總結（學生口述）.

師：簡單地說，就是對應線段、周長和面積，這三條性質(zhì)，它們共同的前提是什么？

生：兩個三角形相似.

師：兩個三角形相似是前提，它們構成要素（重要的線段、有關的角）之間存在特殊關系. 再想想這些性質(zhì)定理證明時，最主要的依據(jù)是什么？

生：相似三角形的判定.

師：證明相似三角形的這些條件來自哪里？

生：相似三角形的基本性質(zhì).

師：相似三角形的基本性質(zhì)是什么？

生：對應角相等，對應邊成比例.

師：兩個圖形具備相似這個特征，就是圖形形狀完全相同，大小不一樣. 因此，組成圖形的元素（邊、角）就具有特殊的關系，就是“對應角相等，對應邊的比是相等的”. 那么，這個基本性質(zhì)來自哪里呢？

生：相似三角形的定義.

師：下面是概括總結，如圖4.

教學思考

中學生保持著對數(shù)學問題的好奇心，課堂教學的關鍵是如何讓學生主動探索，實踐證明：不同的問題所引起的學生思維參與程度是不一樣的，其對學生理解和掌握知識的作用也不相同[2]. 教師應認真研究學生已有的知識基礎、認知結構、學習新知識的心理準備和知識儲備等，并在此基礎上設計有效問題，用問題驅(qū)動學生探究，通過解決問題來實現(xiàn)自主構建[3].

（一）依據(jù)教學目標，增強問題設計的有效性

數(shù)學課堂教學目標在問題驅(qū)動式教學實施過程中處于核心地位，在進行教學設計時，要將確立的教學目標具體化，由目標生成具體的數(shù)學問題，進而立體整合成一個或多個教學活動[4]. 教師只有深入理解教材編寫的意圖和研讀課程標準的具體要求，才能準確把握目標，將目標融入數(shù)學問題，增強問題設計的有效性，確保學生探究活動的開展與知識的自主建構沿正確方向進行. 如本課教學依據(jù)教學目標進行學材再建構，將相似三角形的性質(zhì)集中于一課時講解，猜測、推理得出“相似三角形對應邊上高的比等于相似比”是本節(jié)課的重點，該結論的探究過程為后繼相似三角形性質(zhì)的探究提供一般性方法，是后面學習能力的基礎與學習方法的指導，也為后續(xù)深入學習四邊形、圓的內(nèi)容積累具有借鑒意義的研究方法.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

（二）注重相機引導，實現(xiàn)問題設計的導向性

教學過程中教師發(fā)揮主導作用，注重引導語的設計和思考問題途徑的引導，啟發(fā)思維、點撥疑難、指點方法，促使學生自己學會、會學;讓學生的心理活動積極有效進行和健康發(fā)展. 因此，合理的問題設計應具有引導性，教學意圖、思想方法、知識技能等要滲透在問題中，教師要通過問題來引導學生完成課堂教學. 如本課中引導學生利用已經(jīng)證明得出的“相似三角形一組對應邊的高的比等于相似比”，類比推理，得出“相似三角形對應線段的比等于相似比”，同時啟發(fā)學生得出進一步探究活動的研究方法和思路.

（三）關注最近發(fā)展區(qū)，彰顯問題設計的主體性

維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論中指出受教育者的發(fā)展水平有兩種：一是受教育者現(xiàn)有發(fā)展水平，二是受教育者在成長或?qū)W習過程中可能達到的發(fā)展水平. 前者與后者之間存在的可成長區(qū)間即為最近發(fā)展區(qū)[5]. 據(jù)此，問題設計應關注學生的最近發(fā)展區(qū)，以學生現(xiàn)有發(fā)展水平為基礎，設計出的問題經(jīng)學生認真思考后就能回答，此類問題既有挑戰(zhàn)性，引導學生積極思考，又能激發(fā)學生繼續(xù)學習的興趣. 教師在教學中應當通過難易適中的問題啟發(fā)與引導學生思考，并在思考后有收獲. 如本課中研究相似三角形性質(zhì)定理的過程設計，先降低難度，從回顧相似三角形的定義出發(fā)，得出基本性質(zhì)，再得到“相似三角形對應高的比等于相似比”，最后得出一般結論“相似三角形對應線段的比等于相似比”，以及“相似三角形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方”，實現(xiàn)了本節(jié)課重要結論的自主建構.

（四）重視問題開放性，鞏固問題設計的支撐性

涂榮豹指出：啟發(fā)探究最重要的就是要在教學中盡可能多采用一些元認知問題，少采用一些認知性問題，即要通過提高問題的開放性來激發(fā)學生探究的積極性[6]. 設計問題要重視問題具有一定的開放性，能給予學生獨立思考和主動探究的空間. 學生在探究開放性問題的過程中對問題提出種種假想，如果是條件開放問題，則引導學生逆推使結論成立的條件，需要提出若干假設;如果是結論開放題，則要推出可以成立結論[7]. 開放性問題的解題思路、途徑、結論往往是多維的，有時預設和生成也不一樣，正因如此，才有利于教師捕捉學生的認知沖突點，有助于學生建構知識. 如教學中“相似三角形對應邊上的高的比值是多少？你能大膽猜測這個比值嗎”“我們現(xiàn)在只研究了一種幾何量——高，能不能進一步擴展研究其他幾何量，那接下來我們需要研究什么呢”等問題，在將學生探究活動引入深處的同時，也為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)提供機會.

（五）內(nèi)化數(shù)學思想方法，體現(xiàn)問題設計的目的性

只有把數(shù)學思想方法嵌入日常的教學中，成為教師備課的有機組成部分，“四基”數(shù)學教學才能真正落到實處[8]. 而“數(shù)學思想和方法”的教學要以數(shù)學知識和活動為載體，由知識向思維過渡，即通過適當?shù)膯栴}，將學生的注意力由具體知識引向背后的數(shù)學思想方法[9]. 在問題設計中教師要挖掘知識背后所蘊含的數(shù)學思想方法，然后把它融入探究活動中，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程、在過程中感悟思想，從而加深學生對數(shù)學知識的理解，提高學生的數(shù)學學習能力和思維品質(zhì)，促進數(shù)學思想方法的內(nèi)化. 如教學中學生對相似三角形性質(zhì)定理的探究層層深入，在達到對結論本質(zhì)的自主建構的同時，也使特殊到一般、特殊到特殊、一般到特殊、數(shù)形結合、類比猜測等數(shù)學思想方法得到滲透.

參考文獻：

[1]毛浙東. 基于思維培養(yǎng)的課堂“引導式”提問的若干原則[J]. 數(shù)學通報，2019，58（02）：26-29.

[2]許興震. 設計有價值的問題 促進學生自主構建[J]. 數(shù)學通報，2019，58（01）：36-40.

[3][6]楊勇. 用問題驅(qū)動探究 讓結論自主建構——以“導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用”為例[J]. 數(shù)學通報，2019，58（04）：46-53.

[4]儲冬生. 問題驅(qū)動教學 探究生活智慧[J]. 小學數(shù)學教師，2017（03）：9-14.

[5]陳姝頤. 解釋學思想闡釋維果斯基“最近發(fā)展區(qū)”[J]. 當代教育理論與實踐，2018，10（05）：27-30.

[7]喻平. 數(shù)學問題解決認知模式及教學理論研究[D]. 南京師范大學博士論文，2002.

[8]張奠宙，鄭振初. “四基”數(shù)學模塊教學的建構——兼談數(shù)學思想方法的教學[J]. 數(shù)學教育學報，2011，20（05）：16-19.

[9]鄭毓信. 數(shù)學教學中的“問題引領”與“問題驅(qū)動”[J]. 小學數(shù)學教師，2018（03）：4-8.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF