沈 威，曹廣福

初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容課題式教學(xué)設(shè)計(jì)研究

沈 威1，曹廣福2

（1．惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教科書編寫和日常課堂教學(xué)存在不同程度問題．基于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)術(shù)形態(tài)教育化和數(shù)學(xué)教學(xué)“再創(chuàng)造”的思想，圍繞初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)、教學(xué)定位和教育價(jià)值，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)，重構(gòu)了初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容課題式教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，為初中統(tǒng)計(jì)教學(xué)提供一種新的教學(xué)思路．

統(tǒng)計(jì)；再創(chuàng)造；課題式教學(xué)

1 問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心，是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會生活的各個(gè)方面，統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念與素養(yǎng)[1，2]．初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要分布在七年級下冊第十章和八年級下冊第二十章，分為收集、整理、描述數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)兩部分，涵蓋全面調(diào)查、抽樣調(diào)查、直方圖、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)方法．

教科書是數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)教學(xué)的重要參考資料，數(shù)學(xué)教師按照數(shù)學(xué)教科書規(guī)定的章節(jié)順序及其內(nèi)容教學(xué)，甚至以教科書中編寫的內(nèi)容為載體開展教學(xué)，可見教科書內(nèi)容編寫的科學(xué)性決定了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，最終影響學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的發(fā)展．下面以人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書[3，4]為例探討初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容編寫和相關(guān)教學(xué)存在的問題，在此基礎(chǔ)上，以初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容蘊(yùn)含的實(shí)質(zhì)和相應(yīng)的教學(xué)定位為背景，重構(gòu)初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的數(shù)學(xué)課題式教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，像數(shù)學(xué)家那樣思考．

2 教科書存在值得商榷的問題

2.1 七年級問題情境背景之間缺乏統(tǒng)領(lǐng)性

七年級的問題情境是以學(xué)校學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活為背景創(chuàng)設(shè)，其中10.1節(jié)（統(tǒng)計(jì)調(diào)查）的問題1和問題2是以學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲5類電視節(jié)目的喜愛情況引出全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，10.2節(jié)（直方圖）的問題是以挑選學(xué)生參加廣播操比賽，從喜愛電視節(jié)目到選拔學(xué)生參加廣播操比賽，這兩個(gè)問題情境間跳躍性太大，沒有把相關(guān)知識“一線串通”[5]，從中找不出其間的統(tǒng)領(lǐng)性，間接暗示了直方圖與統(tǒng)計(jì)調(diào)查之間源于不同的背景，學(xué)生很難把統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法與直方圖之間建立關(guān)聯(lián)性．

2.2 七年級“直方圖”內(nèi)容編寫存在邏輯矛盾

七年級教科書10.2節(jié)（直方圖）的根據(jù)問題情境提出問題是“選擇身高在哪個(gè)范圍的同學(xué)參加呢？”經(jīng)過計(jì)算最大值與最小值的差、決定組距和組數(shù)、列頻數(shù)分布表3個(gè)步驟之后，教科書便給出結(jié)論“因此可以從身高在155 cm至164 cm（不含164 cm）的同學(xué)中挑選參加比賽的同學(xué)”．至此，問題情境提出的問題已經(jīng)解決．問題情境所提問題和問題的解答和直方圖沒有任何關(guān)系，教科書卻在問題解決后“強(qiáng)制”加入畫直方圖的內(nèi)容，但是畫頻數(shù)直方圖的必要性沒有凸顯．折射出這一節(jié)問題（情境）提出的問題不科學(xué)，沒有凸顯畫頻數(shù)分布直方圖的價(jià)值與必要性．通過內(nèi)容總體比較發(fā)現(xiàn)，直方圖作為加權(quán)平均數(shù)概念的基礎(chǔ)，應(yīng)該與加權(quán)平均數(shù)合并在一起設(shè)計(jì)教學(xué)較為合適．說明直方圖內(nèi)容的編寫存在科學(xué)性問題，直方圖內(nèi)容安排的章節(jié)有待改善．

2.3 七年級和八年級間的問題情境背景缺乏統(tǒng)領(lǐng)性

七年級的問題情境背景在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)內(nèi)，八年級的問題情境背景都在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)外，且每個(gè)問題情境背景之間相互獨(dú)立，缺乏統(tǒng)領(lǐng)性，造成統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識之間的內(nèi)在關(guān)系被割裂，學(xué)生無法把不同背景形成的統(tǒng)計(jì)方法生成統(tǒng)計(jì)方法體系建構(gòu)為一個(gè)完整的知識體系與認(rèn)知結(jié)構(gòu)．事實(shí)上，七、八年級的統(tǒng)計(jì)方法之間存在密切關(guān)系，只有問題情境背景具有統(tǒng)領(lǐng)性，由此形成的統(tǒng)計(jì)方法才能在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成完整的CPFS結(jié)構(gòu)[6]．

2.4 八年級的問題情境背景不在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)內(nèi)

八年級分別以公司招聘、公司員工收入和農(nóng)科院選種為背景創(chuàng)設(shè)情境引出加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)方法，對初二學(xué)生而言，很難對公司運(yùn)營和農(nóng)科院工作內(nèi)容了解較多，說明這些背景都不在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)內(nèi)，也就是說，八年級的問題情境背景脫離了學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，首先遇到的困難不是對統(tǒng)計(jì)方法的理解，而是對公司招聘、公司員工工資，對農(nóng)科院及其育種情況無法把握并被這些背景干擾，造成學(xué)生無法透過問題情境思考與把握統(tǒng)計(jì)思想與方法的實(shí)質(zhì)．

2.5 八年級“加權(quán)平均數(shù)”內(nèi)容編寫不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

從例題的問題和這個(gè)定義看不出平均數(shù)的痕跡，為何是平均數(shù)，為何定義為加權(quán)平均數(shù)，沒有揭示出來，其中“權(quán)”的關(guān)系是一種比例，但是在定義“權(quán)”時(shí)，卻沒有從比例角度給出解釋，到底“權(quán)”的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是什么，教科書沒有給予說明．第二個(gè)定義是“在求個(gè)數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果1出現(xiàn)1次，2出現(xiàn)2次，…，x出現(xiàn)k次（這里1+2+…+f=）,那么這個(gè)數(shù)的平均數(shù)也叫做1，2，…，x這個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，其中1，2，…，f分別叫做1，2，…，x的權(quán)．可以揭示加權(quán)平均數(shù)是一種特殊“平均數(shù)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)．比較兩個(gè)定義，應(yīng)該把第二個(gè)定義放在前面，滲透平均數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識權(quán)的本質(zhì)，并比較權(quán)與1，2，…，f和之間的和的關(guān)系和與比例關(guān)系，為進(jìn)一步引入以比例關(guān)系為基礎(chǔ)加權(quán)平均數(shù)做好鋪墊．

3 初中統(tǒng)計(jì)教學(xué)課例忽視學(xué)生的“再創(chuàng)造”

目前統(tǒng)計(jì)內(nèi)容教學(xué)主要表現(xiàn)為兩種形式，一種是以教科書提供內(nèi)容為載體開展教學(xué)，第二種是教師放棄使用教科書提供的材料，對教學(xué)內(nèi)容作出重構(gòu)．從公開發(fā)表的教學(xué)課例和日常課堂教學(xué)實(shí)地聽課情況看，均存在課堂教學(xué)忽視學(xué)生“再創(chuàng)造”、灌輸學(xué)生統(tǒng)計(jì)方法的情況，正所謂鴛鴦繡出任君看，不與郎君度金針．

例如，馬麗在八年級“平均數(shù)”一課的教學(xué)是以教科書提供材料為基礎(chǔ)[7]，僅對問題情境的背景做了改變，把教科書中以公司招聘英語翻譯的背景改為學(xué)校對兩名八年級學(xué)生的英語測試，其他內(nèi)容均與教科書內(nèi)容一致．由于教科書在加權(quán)平均數(shù)內(nèi)容編寫不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，造成以比例關(guān)系定義的加權(quán)平均數(shù)看不出平均數(shù)的影子，使學(xué)生無法理解加權(quán)平均數(shù)形成的本質(zhì)．相應(yīng)地，馬麗在八年級“加權(quán)平均數(shù)”一課教學(xué)中必然存在教學(xué)過程不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，造成以比例為基礎(chǔ)定義的加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)過程是灌輸式的．

有的教師對教科書提供的內(nèi)容作出重構(gòu)，對課堂教學(xué)重新設(shè)計(jì)，由于沒有把握統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)和相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本原，造成教學(xué)過程表現(xiàn)為灌輸式教學(xué)．例如，張瓊吉、劉永東等的“方差”教學(xué)設(shè)計(jì)沒有滲透“為何統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)什么和如何統(tǒng)計(jì)”的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)[8]，主要表現(xiàn)為導(dǎo)入新課的問題情境直接告訴學(xué)生要選拔運(yùn)動員參加奧運(yùn)會，并直接給出其預(yù)賽成績，提出問題“選派哪位運(yùn)動員去參加比賽更合適呢？”在此基礎(chǔ)上，提出問題1和問題2，問題1是“有同學(xué)提出比較最高成績，你同意嗎”，問題2是“有同學(xué)認(rèn)為兩位運(yùn)動員的最高成績是一樣的，故應(yīng)當(dāng)從平均成績進(jìn)行比較，你同意嗎”．從教學(xué)設(shè)計(jì)可以看出，教師把所有教學(xué)內(nèi)容擺在學(xué)生面前，只要學(xué)生回答“同意”或“不同意”即可，至于為何想到要以其比賽成績作為選拔運(yùn)動員的依據(jù)，為何比較運(yùn)動員成績，為何選擇平均數(shù)進(jìn)行比較等，均不要學(xué)生思考．這顯然是灌輸式教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)沒有從無到有的按照統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)方法產(chǎn)生的“再創(chuàng)造”過程，即便教學(xué)過程“熱熱鬧鬧”也無法彌補(bǔ)教學(xué)實(shí)質(zhì)的欠缺．

4 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的“實(shí)質(zhì)”“教學(xué)定位”“教育價(jià)值”

初中統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，課堂教學(xué)應(yīng)該如何展開，需要探究初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)、教學(xué)定位和教育價(jià)值，從根本上認(rèn)識與理解初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，對科學(xué)的開展初中統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)才有幫助．

4.1 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)

從初中數(shù)學(xué)教科書中可以看出，初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要是：全面調(diào)查、抽樣調(diào)查、直方圖、算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，其中蘊(yùn)含著豐富的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想．統(tǒng)計(jì)思想源于人類經(jīng)濟(jì)社會生存與發(fā)展的需要，國家或組織為豐富與完善管理的需要而產(chǎn)生，統(tǒng)計(jì)的目的則是通過獲取真實(shí)有效的數(shù)據(jù)并作科學(xué)分析，認(rèn)識事物間蘊(yùn)含的內(nèi)在關(guān)系，為科學(xué)決策和指導(dǎo)工作提供幫助．

在原始社會，原始部落或族人因?yàn)槭澄镉邢夼c生存需要，產(chǎn)生了成員與食物的統(tǒng)計(jì)與分配，產(chǎn)生了簡單的分組和平均分配法．隨著經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展，在國家治理和組織投資管理等方面，逐漸需要對經(jīng)濟(jì)、軍力、人口、稅務(wù)、財(cái)務(wù)、貿(mào)易等做各項(xiàng)研究，或者在測量或試驗(yàn)時(shí)有破壞性，不可能進(jìn)行全面調(diào)查．如，電腦的抗震能力試驗(yàn)，燈具的耐用時(shí)間試驗(yàn)等，由剛開始的全面調(diào)查逐漸發(fā)展為抽樣調(diào)查，由樣本信息推測整體信息，由部分預(yù)測整體，抽樣調(diào)查是一種非全面調(diào)查，它是從全部調(diào)查研究對象中，抽選一部分單位進(jìn)行調(diào)查，并據(jù)以對全部調(diào)查研究對象做出估計(jì)和推斷的一種調(diào)查方法．顯然，抽樣調(diào)查雖然是非全面調(diào)查，但它的目的卻在于取得反映總體情況的信息資料，也可起到全面調(diào)查的作用．抽樣調(diào)查的隨機(jī)性是一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家關(guān)心的焦點(diǎn)，為了保證抽樣的隨機(jī)性，不斷研究如何能保證使得具有相同個(gè)數(shù)的觀察值的每一可能的樣本都有同等機(jī)會被選中，構(gòu)造隨機(jī)數(shù)表，形成隨機(jī)性思想．

抽樣調(diào)查獲得樣本數(shù)據(jù)后，自然要對相關(guān)數(shù)據(jù)作分析，如何簡單明了的揭示數(shù)據(jù)內(nèi)部蘊(yùn)含的關(guān)系、特征與分布等以便于更好的分析問題，成為統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一．刻畫數(shù)據(jù)關(guān)系、體現(xiàn)數(shù)據(jù)特征與進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的主要方法有3種，第一種是文字語言或符號語言，第二種是統(tǒng)計(jì)表格，第三種是統(tǒng)計(jì)圖．其中，統(tǒng)計(jì)學(xué)使用最多的是文字與符號語言，因其抽象性較強(qiáng)，讓人有時(shí)難以理解其中的深刻涵義，而表格與圖形具有直觀表現(xiàn)力，因此統(tǒng)計(jì)學(xué)經(jīng)常使用各種統(tǒng)計(jì)表格和圖形來展現(xiàn)數(shù)據(jù)關(guān)系、表現(xiàn)與描述數(shù)據(jù)特征．相較于統(tǒng)計(jì)表格，統(tǒng)計(jì)圖不但能夠刻畫數(shù)據(jù)的大小關(guān)系外，還能表現(xiàn)出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)系，一目了然，因此，統(tǒng)計(jì)圖自然成為透視數(shù)據(jù)變化規(guī)律及其因果關(guān)系的重要工具．隨著統(tǒng)計(jì)應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大、數(shù)據(jù)類型不斷復(fù)雜、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不斷增多的情況下，如何還能在一張統(tǒng)計(jì)圖上直觀顯示數(shù)據(jù)的關(guān)系、特征與分布等，頻數(shù)分布直方圖就產(chǎn)生了．

頻數(shù)分布直方圖可以承載離散和連續(xù)型數(shù)據(jù)，還可以承載數(shù)量更多的數(shù)據(jù)，頻數(shù)分布直方圖在離散型統(tǒng)計(jì)向連續(xù)型統(tǒng)計(jì)發(fā)展過程中起到重要推動作用．如果僅對具體離散的數(shù)據(jù)作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到的是離散型度量，不管怎么仔細(xì)的數(shù)，得到的頻數(shù)始終是精確的非負(fù)整數(shù)，不會變化．與之相對的，如果把數(shù)據(jù)分組等距做頻數(shù)分布，得到的則是連續(xù)型度量，得到的頻數(shù)與把數(shù)據(jù)分組的精細(xì)程度有關(guān)，也就是說對數(shù)據(jù)等距分組統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)依賴于度量的精細(xì)程度，由此就把收集的離散型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)型統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其對統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展具有重要意義，連續(xù)性思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)連續(xù)性理論運(yùn)用于統(tǒng)計(jì)的重要載體，為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展起重要推動的科學(xué)價(jià)值．

面對一組數(shù)據(jù)時(shí)，找出這組數(shù)據(jù)的中心值特別重要，形成了數(shù)據(jù)中心值思想，數(shù)據(jù)中心值的思想在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為中心趨勢，其度量方法主要是均值、中位數(shù)和眾數(shù)等，其中均值使用的范圍最廣．均值的初等定義就是算術(shù)平均數(shù)，如果把算術(shù)平均數(shù)和頻數(shù)分布聯(lián)系起來，基于頻數(shù)分布對算術(shù)平均計(jì)算方法不斷改進(jìn)，演化出加權(quán)平均數(shù)；如果把算術(shù)平均數(shù)與概率分布聯(lián)系起來，便得到數(shù)學(xué)期望．在加權(quán)平均數(shù)中，如果把頻數(shù)作相對頻數(shù)的轉(zhuǎn)化，則得到加權(quán)平均數(shù)的另一種定義，其中頻數(shù)和相對頻數(shù)均稱為“權(quán)”，揭示了一組數(shù)據(jù)的重要程度．有時(shí)樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)極端大或極端小的情況，僅用平均數(shù)不能反映樣本的真實(shí)水平，需要對樣本中的數(shù)據(jù)深入研究，尋找能夠代表樣本整體情況的數(shù)據(jù)，由此形成了中位數(shù)和眾數(shù)的集中趨勢的統(tǒng)計(jì)方法．

為了考察樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，或數(shù)據(jù)波動（離散）程度，對離散的度量方式有標(biāo)準(zhǔn)差、方差和百分位數(shù)等．方差是最常用的度量方法，指一組的所有數(shù)據(jù)與其平均數(shù)差的平方再取平均．由此可知方差具有非負(fù)性，方差越小，這組數(shù)據(jù)離散程度越小，方差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度也就越大．如果對方差開平方，就是標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差是皮爾遜命名的，而方差則是由費(fèi)希爾命名的，方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的特征，但是方差比標(biāo)準(zhǔn)差易于計(jì)算．

4.2 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)定位

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)做了明確定位，是分析教學(xué)定位的基石．其教學(xué)定位主要有[1]：經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；體會抽樣的必要性，通過實(shí)例了解簡單隨機(jī)抽樣；了解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述；體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計(jì)算簡單數(shù)據(jù)的方差；通過實(shí)例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)分布直方圖，能利用頻數(shù)分布直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息；體會樣本與總體的關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)和總體方差．

可以看出，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)定位準(zhǔn)確體現(xiàn)了初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容蘊(yùn)含的實(shí)質(zhì)，要求在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)能揭示收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的適當(dāng)場景活動與問題情境，讓學(xué)生在場景活動和解決問題過程中獲得感性認(rèn)識，可以從場景活動中知道并能辨認(rèn)收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的特征．具體來說，學(xué)生要從場景活動與問題情境中認(rèn)識到為何要做抽樣調(diào)查，做抽樣調(diào)查的必要性是什么，并獲得做抽樣調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)．

學(xué)生經(jīng)過抽樣調(diào)查收集的數(shù)據(jù)后自然要做數(shù)據(jù)分析，首先要對數(shù)據(jù)作整理，從中找出或算出數(shù)據(jù)的集中趨勢，從整體上把握數(shù)據(jù)主要特征，也就是理解與掌握計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，并能把計(jì)算方法運(yùn)用到新的統(tǒng)計(jì)情境中去．一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有的時(shí)候具有集中趨勢，但也存在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較分散的情況，這時(shí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)不能很好的代表整組數(shù)據(jù)的特征，從而需要刻畫數(shù)據(jù)離散程度，學(xué)生需要理解與掌握方差的意義，并能熟練運(yùn)用方差的計(jì)算方法．在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入分析數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)分段畫出頻數(shù)直方圖，研究頻數(shù)直方圖并獲得更多的樣本信息，體會樣本與總體的關(guān)系．

4.3 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教育價(jià)值

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出在初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容教學(xué)中要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，在此基礎(chǔ)上還要特別重視發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．?dāng)?shù)據(jù)分析觀念是指學(xué)生在有關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)活動過程中所建立起來的對數(shù)據(jù)分析的某種“領(lǐng)悟”，是關(guān)于數(shù)據(jù)分析內(nèi)涵、思想方法及其應(yīng)用價(jià)值的綜合性認(rèn)識，主要包括3個(gè)維度：對數(shù)據(jù)的意識與感悟，數(shù)據(jù)分析方法的意識與感悟，現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象隨機(jī)性的意識與感悟[9]．從初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容涉及知識的發(fā)展史看，在發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的同時(shí)更加適合發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，統(tǒng)計(jì)的產(chǎn)生源于社會生產(chǎn)生活的需要，是在解決社會問題過程中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的，天然具有應(yīng)用和創(chuàng)新的特征．也就是說，初中統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的數(shù)據(jù)分析觀念和能力．

初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容為培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識的數(shù)據(jù)分析觀念和能力提供充分場景與情境．例如，學(xué)生要體會抽樣調(diào)查的必要性，必然需要經(jīng)歷全面調(diào)查帶來的種種不便，也只有親身經(jīng)歷了全面調(diào)查的過程，才能身在其中的體驗(yàn)為何要在全面調(diào)查的基礎(chǔ)上發(fā)展出抽樣調(diào)查的根本原因，也就是抽要調(diào)查的必要性．與此同時(shí)，學(xué)生在分析樣本數(shù)據(jù)的過程中初步體會總體與樣本之間的關(guān)系，感知調(diào)查對象機(jī)會等可能的隨機(jī)性，運(yùn)用樣本數(shù)據(jù)推斷總體情況的內(nèi)在邏輯與推理的合情性．

初中統(tǒng)計(jì)的問題提出與問題解決為培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)新意識的數(shù)據(jù)分析觀念和能力提供過程．當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷抽樣調(diào)查過程探索性地創(chuàng)造出中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、頻數(shù)分布直方圖等統(tǒng)計(jì)方法，其“再創(chuàng)造”的這些新方法都凝聚著創(chuàng)造性勞動，表現(xiàn)出勇于創(chuàng)造的精神，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．學(xué)生只有經(jīng)歷這些統(tǒng)計(jì)方法的“再創(chuàng)造”過程，主動建立統(tǒng)計(jì)方法之間的本質(zhì)關(guān)系，揭示各種統(tǒng)計(jì)方法的特征與特點(diǎn)，這些統(tǒng)計(jì)方法及其運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法的能力才能在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中真正生成．

5 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的數(shù)學(xué)課題式教學(xué)設(shè)計(jì)框架

5.1 初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容課題式教學(xué)設(shè)計(jì)的思想

初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)既不能直接把上述統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的深刻思想與科學(xué)價(jià)值直接告訴學(xué)生，也不能把相關(guān)調(diào)查方法和形式化統(tǒng)計(jì)計(jì)算公式陳述給學(xué)生，否則，學(xué)生只能機(jī)械記憶相關(guān)內(nèi)容．這既不符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特點(diǎn)，也違背了《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的初中統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值在于培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的數(shù)據(jù)分析觀念和能力．只有恰當(dāng)?shù)匕殉踔薪y(tǒng)計(jì)蘊(yùn)含的深刻思想與科學(xué)價(jià)值教育形態(tài)化[10]，重構(gòu)初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容教學(xué)，把統(tǒng)計(jì)知識“一線串通”[3]，圍繞“為何統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)什么和如何統(tǒng)計(jì)”的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)[11]，才能更好發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)是以數(shù)學(xué)知識形成的歷史事實(shí)及其科學(xué)價(jià)值和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)課題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞著促使理論產(chǎn)生的一系列問題展開，通過問題的發(fā)現(xiàn)、分析與解決，從而完成數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)新知識，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維[12-13]．課題式教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)有目的、有結(jié)構(gòu)、有順序、有層次的方法論體系，要解決如何使課題式教學(xué)更貼切體現(xiàn)“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)教育思想．

5.2 學(xué)生具有的生活經(jīng)驗(yàn)及問題情境的背景

初中統(tǒng)計(jì)課題式教學(xué)是以數(shù)據(jù)為載體“再創(chuàng)造”統(tǒng)計(jì)方法，首先要考慮學(xué)生日常能夠接觸與數(shù)據(jù)有關(guān)且能夠統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)初中階段的背景，把統(tǒng)計(jì)知識“一線串通”．根據(jù)學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活特點(diǎn)，學(xué)生能接觸到能統(tǒng)領(lǐng)問題情境背景是自身指標(biāo)數(shù)據(jù)和成績數(shù)據(jù)，包括學(xué)生身高體重?cái)?shù)據(jù)、各學(xué)科考試成績數(shù)據(jù)和各項(xiàng)運(yùn)動比賽數(shù)據(jù)等．相比較這些數(shù)據(jù)，結(jié)合國家對初中學(xué)生運(yùn)動重視，恢復(fù)體育在整個(gè)教學(xué)中的重要地位，良好的體育鍛煉不僅能磨煉初中生的意志，還能促進(jìn)他們德、智、體、美、勞全面發(fā)展，幫助他們培養(yǎng)積極樂觀的心態(tài)．體育在整個(gè)初中階段的教育中發(fā)揮的作用是不可替代的[14]．因此，可以以與學(xué)生身高、體重，心跳與各種運(yùn)動項(xiàng)目成績的數(shù)據(jù)等為背景，研究學(xué)生身高、體重?cái)?shù)據(jù)，各項(xiàng)運(yùn)動數(shù)據(jù)測試或比賽數(shù)據(jù)，作為評價(jià)學(xué)生健康狀況、選拔選手參加比賽的依據(jù)等，這種問題背景就具有統(tǒng)領(lǐng)性．引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自己、參與運(yùn)動、重視健康，樹立健康理念，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”統(tǒng)計(jì)方法過程，體會統(tǒng)計(jì)思想．學(xué)生透過熟悉的背景能夠快速把握統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的本質(zhì)，形成的具有彈性的統(tǒng)計(jì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具有較強(qiáng)的遷移能力．

5.3 初中統(tǒng)計(jì)課題式教學(xué)設(shè)計(jì)的框架

在不改變現(xiàn)有人教版教科書內(nèi)容編寫順序的情況下，基于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)重構(gòu)問題情境，主要圍繞如下3個(gè)問題展開：需要什么樣的數(shù)據(jù)？如何獲取這些數(shù)據(jù)？如何分析和應(yīng)用這些數(shù)據(jù)？顯然，需要什么樣的數(shù)據(jù)取決于研究者關(guān)注的問題，如何獲取、分析數(shù)據(jù)取決于問題的本質(zhì)和數(shù)據(jù)的型態(tài)[15]．問題情境蘊(yùn)含課程的背景與意義和要解決的問題，基于問題情境引出統(tǒng)計(jì)方法的本原性問題及其派生性問題，揭示課題的意義、在課程中的地位、需要解決的問題與解決問題的途徑等．七年級下冊的統(tǒng)計(jì)方法是全面調(diào)查、抽樣調(diào)查和直方圖．可以以調(diào)查學(xué)生對體育項(xiàng)目的愛好及其相應(yīng)體育項(xiàng)目成績的直觀表征為問題情境，八年級下冊的統(tǒng)計(jì)方法是加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差．可以在七年級的問題情境背景下，以班內(nèi)同學(xué)體育課分組開展籃球?qū)官悶閱栴}情境，不斷演化問題，從而“再創(chuàng)造”出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)方法，由此形成了初中統(tǒng)計(jì)課題式教學(xué)結(jié)構(gòu)圖（見圖1）．

對于七年級10.1節(jié)“統(tǒng)計(jì)調(diào)查”，主要圍繞以下幾個(gè)關(guān)鍵問題展開：

●本原性問題1：為了了解我班學(xué)生對體育項(xiàng)目的愛好情況，請大家設(shè)計(jì)一個(gè)簡便易行的調(diào)查方法，并說明方法應(yīng)該做哪些工作．

●派生性問題1：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？

●派生性問題2：你能概括出你采用調(diào)查方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)嗎？能不能定義它？

●本原性問題2：為了了解全校學(xué)生對體育項(xiàng)目的愛好情況，請大家設(shè)計(jì)一個(gè)簡便易行的調(diào)查方法，并說明應(yīng)該做哪些工作．

●派生性問題3：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？

●派生性問題4：你能概括出你采用調(diào)查方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)嗎？能不能定義它？

●派生性問題5：比較全面調(diào)查和抽樣調(diào)查兩種調(diào)查，你能發(fā)現(xiàn)什么？能不能對其表現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)方法特征予以定義？形成簡單隨機(jī)抽樣的定義．

對于七年級10.2節(jié)“直方圖”，主要圍繞以下幾個(gè)關(guān)鍵問題展開：

●派生性問題1：大家已經(jīng)統(tǒng)計(jì)到全校學(xué)生對體育項(xiàng)目的愛好情況，現(xiàn)在可以統(tǒng)計(jì)被隨機(jī)抽到100名學(xué)生的1?000米長跑成績了，能不能把這些統(tǒng)計(jì)結(jié)果用數(shù)學(xué)方法直觀的表示出來，讓大家感受學(xué)生長跑成績的整體情況？

●派生性問題2：有哪些已知可用的方法刻畫大家的長跑成績？當(dāng)這些數(shù)據(jù)比較多且有的密集有的分散時(shí)，有沒有更合適的方法？能不能把這些數(shù)據(jù)分段刻畫？

●派生性問題3：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？

●派生性問題4：在分段的過程中，你能發(fā)現(xiàn)什么？

對于八年級20.1節(jié)“平均數(shù)”，主要圍繞以下幾個(gè)關(guān)鍵問題展開：

●本原性問題1：我班在上周體育課被分為4個(gè)小組做投籃對抗賽，這是每個(gè)小組的得分表，大家能根據(jù)這個(gè)得分表算出每個(gè)小組成員投籃的整體水平嗎？

●派生性問題1：你能根據(jù)投籃的數(shù)據(jù)特征簡化計(jì)算平均數(shù)的計(jì)算過程嗎？如何簡化？你能從中發(fā)現(xiàn)什么技巧嗎？解決的關(guān)鍵問題是什么（找頻數(shù)）？這種計(jì)算技巧有沒有普遍性？

●派生性問題2：該組各個(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)”與數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)之間是什么關(guān)系？你能從中有什么新發(fā)現(xiàn)？因?yàn)楦鱾€(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)”相加，就是該組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，如果把這個(gè)總個(gè)數(shù)看作1，也就是把各個(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)”與數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)相除，得到了每個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的比重，顯示出該數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)的重要程度．由此，你能得到了加權(quán)平均數(shù)的第二種形式嗎？

●派生性問題3：加權(quán)平均數(shù)的第一個(gè)公式的價(jià)值體現(xiàn)在哪里？加權(quán)平均數(shù)的第二個(gè)公式的價(jià)值體現(xiàn)在哪里？

●派生性問題4：你看我們籃球達(dá)人“喬丹”那組數(shù)據(jù)，因?yàn)椤皢痰ぁ蓖痘@數(shù)特別高，把大家的水平都拉上去了，你覺得這合理嗎？如果一組數(shù)據(jù)中有異常大或異常小的數(shù)據(jù)時(shí)，用平均數(shù)就沒辦法反映這組數(shù)據(jù)的整體情況，如果這樣不合理，應(yīng)該怎樣統(tǒng)計(jì)才能反映這組數(shù)據(jù)的整體情況呢？

●派生性問題5：仔細(xì)觀察各組數(shù)據(jù)，各組數(shù)據(jù)中有沒有出現(xiàn)最多的數(shù)？各組出現(xiàn)最多的數(shù)是否相同？你看全班同學(xué)投籃數(shù)出現(xiàn)最多的是哪個(gè)數(shù)？能不能對這個(gè)數(shù)取個(gè)名字？

●派生性問題：中位數(shù)和眾數(shù)的價(jià)值體現(xiàn)在哪里？

對于八年級20.2節(jié)“方差”，主要圍繞以下幾個(gè)關(guān)鍵問題展開：

●本原性問題：來看第一小組和第二小組的投籃成績，雖然他們的平均數(shù)相同，但是兩組成員投籃水平不一樣吧？如何刻畫它們？

●派生性問題1：通過在數(shù)軸上標(biāo)點(diǎn)可以看出第一小組投籃成績與平均數(shù)非常接近，但是第二小組卻比較分散，現(xiàn)在都用“離散程度”各組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)接近還是分散程度，如何運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法刻畫每組數(shù)據(jù)的離散程度？

●派生性問題2：可以求各組數(shù)據(jù)與平均數(shù)距離的平均數(shù)，這個(gè)距離如何刻畫，用絕對值，能不能用更加恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

6 結(jié)語

初中是培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)意識、統(tǒng)計(jì)思維與統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的入門階段，恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生體會統(tǒng)計(jì)思想與正確認(rèn)識統(tǒng)計(jì)本質(zhì)，樹立科學(xué)的統(tǒng)計(jì)觀．基于統(tǒng)計(jì)本質(zhì)與統(tǒng)計(jì)思想的課題式教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與生活現(xiàn)實(shí)，把初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容設(shè)計(jì)為一個(gè)課題，為學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的統(tǒng)計(jì)過程提供一種合適的教育場域．

[1] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：39-42．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：6-8．

[3] 課程教材研究所．義務(wù)教育教科書（數(shù)學(xué)）七年級下冊[M]．北京：人民教育出版社，2013：135-152．

[4] 課程教材研究所．義務(wù)教育教科書（數(shù)學(xué)）八年級下冊[M]．北京：人民教育出版社，2013：121-130．

[5] 徐章韜，王后雄．在與化學(xué)的關(guān)聯(lián)中促進(jìn)數(shù)學(xué)理解——教育數(shù)學(xué)研究之一[J]．教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（1）：34-37．

[6] 喻平，單墫．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（1）：12-16．

[7] 馬麗．“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2018（5）：46-49．

[8] 張瓊吉，劉永東，蘇德杰，等．“方差”教學(xué)設(shè)計(jì)簡案[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2017（10）：9-11．

[9] 童莉，張?zhí)枺瑥垖帲x務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的評價(jià)框架建構(gòu)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（2）：45-48．

[10] 程靖，馬文杰，張奠宙．“教育數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵及其分析框架研究[J]．教育科學(xué)研究，2016（6）：44-49．

[11] 李金昌．統(tǒng)計(jì)思想研究[M]．北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2009：27-32．

[12] 曹廣福，劉丹．課題式教學(xué)法探析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（3）：32-36．

[13] 沈威，曹廣福．中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)概述[J]．教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2020（8）：62-66．

[14] 許少雄．如何培養(yǎng)初中生體育運(yùn)動意識與素養(yǎng)[J]．名師在線，2020（3）：58-59．

[15] 李金昌．統(tǒng)計(jì)學(xué)三要素：問題、數(shù)據(jù)和方法[J]．中國統(tǒng)計(jì)，2018（3）：40-42．

Research on the Project-Based Teaching Design of Statistical Content in Junior High School

SHEN Wei1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics and Statistics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China； 2. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

There are different degrees of problems in textbooks compilation and daily classroom teaching of statistical content in junior high schools. Based on the academic form of mathematics curriculum content education and the idea of ??"re-creation" of mathematics teaching, the project-based teaching of junior high schools’ statistical content is reconstructed by focusing on the essence, teaching orientation and educational value of junior high schools’ statistical content, combined with students’ mathematical reality and life reality, in the hope of providing a new teaching idea for junior high schools’ statistics teaching.

statistics; re-creation; project-based instruction

2022–01–10

廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題（高等教育專項(xiàng)）——“新師范”背景下數(shù)學(xué)師范生教學(xué)素養(yǎng)及其發(fā)展研究（2021GXJK373）；惠州學(xué)院自主創(chuàng)新能力提升計(jì)劃項(xiàng)目——中學(xué)數(shù)學(xué)課題式教學(xué)設(shè)計(jì)研究（HZU202041）

沈威（1982—），男，安徽靈璧人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

G632

A

1004–9894（2022）03–0045–05

沈威，曹廣福．初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容課題式教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（3）：45-49．

[責(zé)任編校：陳雋、張楠]