李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，錢詣文，張海燕

高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析——以2021年全國課標(biāo)卷為例

李亞瓊1，潘禹辰1，徐文彬1，錢詣文2，張海燕3

（1．南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210079；2．南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023；3．赤峰學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

基于2021年6套課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析，從情境設(shè)置、知識(shí)考查、統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)、綜合難度4個(gè)維度進(jìn)行定量和定性分析，研究發(fā)現(xiàn)：試題強(qiáng)調(diào)問題情境的創(chuàng)新融合，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的變式考查，滲透統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的應(yīng)用考查，凸顯了概率統(tǒng)計(jì)的綜合考查．具體表現(xiàn)為，注重由實(shí)際問題抽象出統(tǒng)計(jì)概念，并能用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷；運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的視角去分析問題、構(gòu)建模型、計(jì)算結(jié)果及依據(jù)結(jié)果提出決策，凸顯運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維解決問題的能力．結(jié)合全國課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)試題特點(diǎn)，基于高考對(duì)教學(xué)的導(dǎo)向作用，概率統(tǒng)計(jì)專題教學(xué)需要重視：關(guān)注新舊課標(biāo)的變化，落實(shí)知識(shí)整體；兼顧情境設(shè)計(jì)與概念理解，適應(yīng)趨勢(shì)要求；優(yōu)化概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)，提升學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)．

全國課標(biāo)卷；概率統(tǒng)計(jì)；綜合難度；統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)；統(tǒng)計(jì)與分析

1 問題提出

傳統(tǒng)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，往往重視概率統(tǒng)計(jì)的科學(xué)工具性價(jià)值，而忽視其文化內(nèi)涵與育人功能[1]．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱2017新課標(biāo)）將“數(shù)據(jù)分析”作為高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中培養(yǎng)學(xué)生所必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，這既凸顯高中課程中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，也是對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的育人價(jià)值提出更高的要求．高考實(shí)行不分文理科的改革后，數(shù)學(xué)科考試中概率統(tǒng)計(jì)的定位、考查內(nèi)容和形式以及考生群體和水平隨之發(fā)生變化，所以研究概率統(tǒng)計(jì)試題、試卷結(jié)構(gòu)和難度要求等[2]對(duì)教學(xué)有較大的價(jià)值．結(jié)合試題研究回歸課標(biāo)要求、落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、開展有效教學(xué)[3]，發(fā)揮新高考數(shù)學(xué)科新要求對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極導(dǎo)向作用．

已有研究基于2011—2020年10年全國卷，從考查總分、考查知識(shí)、試題特點(diǎn)和命題導(dǎo)向4個(gè)方面對(duì)概率統(tǒng)計(jì)試題特點(diǎn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析[4]．這里將在前面研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合2021年新課標(biāo)I、新課標(biāo)II卷、全國甲卷（文、理）、全國乙卷（文、理）共6套試卷，繼續(xù)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)部分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，試圖梳理出2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題的特點(diǎn)，在回應(yīng)前面研究的基礎(chǔ)上，批判性地再分析教學(xué)啟示部分．

2 分析維度

采用定性與定量研究相結(jié)合的研究方法，分別從情境設(shè)置、知識(shí)考查、統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)、綜合難度4個(gè)維度[5]對(duì)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以期分析概率與統(tǒng)計(jì)試題的命題特點(diǎn)．

2.1 情境設(shè)置

新課標(biāo)在劃分學(xué)業(yè)質(zhì)量水平時(shí)，第一個(gè)考慮了“情境與問題”，可見對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的考查需要在一定情境中進(jìn)行[6]．通過對(duì)2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題的研究發(fā)現(xiàn)：試題重視情境創(chuàng)設(shè)和問題提出，這與新課標(biāo)的要求相契合，也是接下來需要繼續(xù)關(guān)注的地方．依據(jù)2017年新課標(biāo)中對(duì)情境的維度劃分（科學(xué)情境、數(shù)學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境）[7]進(jìn)行問題情境設(shè)置的統(tǒng)計(jì)與分析．

2.2 知識(shí)考查

對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的梳理有利于把握核心知識(shí)，明確考查方向．基于2019年高考考試大綱及2017新課標(biāo)對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行整理和歸納，將概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)分為8個(gè)一級(jí)知識(shí)和22個(gè)二級(jí)知識(shí)，并對(duì)其進(jìn)行編碼[5]（具體內(nèi)容見表1）．如B3指的是考查樣本估計(jì)總體中的用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體，G4指的是考查隨機(jī)變量中的正態(tài)分布．

2.3 統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)

何為統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)？李金昌教授認(rèn)為，統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)就是人們掌握統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)的程度、統(tǒng)計(jì)理論方法的水平及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決現(xiàn)實(shí)問題的能力，包含統(tǒng)計(jì)知識(shí)、統(tǒng)計(jì)方法、統(tǒng)計(jì)思維等[8]．統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的內(nèi)涵不僅包含由統(tǒng)計(jì)知識(shí)、統(tǒng)計(jì)觀念等知識(shí)技能；還包括統(tǒng)計(jì)判斷、統(tǒng)計(jì)推斷等統(tǒng)計(jì)思維；也還包含對(duì)概率的要求，統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的形成具有層次性．Gal對(duì)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的界定是：（1）解釋和批判性地評(píng)估在不同背景下可能遇到的相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息、有關(guān)數(shù)據(jù)的論證或隨機(jī)現(xiàn)象的能力；（2）討論或傳達(dá)對(duì)此類統(tǒng)計(jì)信息的反應(yīng)能力，例如他們對(duì)信息的理解、對(duì)信息含義的看法，或是對(duì)給定結(jié)論的可接受性關(guān)注[9]．Watson提出統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的3層次結(jié)構(gòu)：理解基本的統(tǒng)計(jì)術(shù)語；理解出現(xiàn)在社會(huì)背景中的術(shù)語；能夠質(zhì)疑在脫離適當(dāng)統(tǒng)計(jì)論證的背景下提出的主張[10]．

表1 概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)考查編碼

基于表2[11]對(duì)2021年課標(biāo)卷中概率統(tǒng)計(jì)試題側(cè)重考查的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)進(jìn)行分析．其中，表2中S1和S2對(duì)應(yīng)“理解用于統(tǒng)計(jì)決策的術(shù)語”，S3和S4對(duì)應(yīng)“解釋在背景中呈現(xiàn)的術(shù)語”，S5和S6對(duì)應(yīng)“質(zhì)疑在脫離適當(dāng)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)的背景中的陳述”．

表2 統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)水平劃分

2.4 綜合難度

高考試題難度是試卷評(píng)價(jià)的重要特點(diǎn)之一，對(duì)于試題難度的分析，較多學(xué)者采用鮑建生綜合難度模型，該模型包含“探究”“背景”“運(yùn)算”“推理”“知識(shí)含量”5個(gè)難度影響因素[12]．在標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試中該模型應(yīng)用效果需要改善，因此武小鵬和孔企平（2020）在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，增加“是否含參”“思維方向”兩個(gè)維度，鑒于評(píng)級(jí)模型維度的合理性和全面性，采用武小鵬和孔企平構(gòu)建的綜合難度模型對(duì)2021年課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題難度進(jìn)行分析評(píng)估[13]．由于原模型是分析整套試卷的，基于此進(jìn)行調(diào)整并應(yīng)用于分析某道題的難度系數(shù)（具體詳見表3）．

表3 難度因素等級(jí)劃分

注：記第個(gè)因素第個(gè)等級(jí)為，n為第個(gè)等級(jí)的權(quán)重，分別取1、2、3、4．則該題的等級(jí)難度系數(shù)為：

3 試題特點(diǎn)分析

2021年6套全國課標(biāo)卷共考查16道概率與統(tǒng)計(jì)試題（文理卷中題目相同均重復(fù)計(jì)算），基于表3的分析框架，梳理出每道題的綜合難度系數(shù)（具體詳見表4）．總體來說（從表4中可以看出），概率統(tǒng)計(jì)考查題量為選填題考查1—2題（2021年課標(biāo)卷中填空題均未考查概率統(tǒng)計(jì)），解答題考查1題，基本處于中檔題．除了新高考I卷概率統(tǒng)計(jì)選擇題處在第8題（即單選最后一題），新高考II卷中概率統(tǒng)計(jì)解答題在21題（處于解答題壓軸題），其余4套試卷中概率統(tǒng)計(jì)試題處于選填題（新高考I、II卷中，1—8題為單選，9—12題為多選）中檔位置，解答題位于17題或18題．總體來說，概率與統(tǒng)計(jì)試題情境設(shè)置綜合，試題難度適中，試題總體具有“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的特點(diǎn)．

3.1 基于情境的創(chuàng)新融合 關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的變式考查

這里分析的6套試卷16道概率統(tǒng)計(jì)題（由表4知）中，生活情境考查10次，科學(xué)情境考查2次，數(shù)學(xué)情境考查4次．可以看出選填題及解答題以生活情境為背景較多，主要考查學(xué)生能將現(xiàn)實(shí)背景抽象為統(tǒng)計(jì)語言，基于此去分析問題和解決問題，這也充分體現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)與現(xiàn)實(shí)緊密相關(guān)．在大數(shù)據(jù)時(shí)代背景下，概率與統(tǒng)計(jì)的理論與應(yīng)用研究更有價(jià)值．如，新高考I卷第18題以“一帶一路知識(shí)競(jìng)賽”為情境，重視考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及統(tǒng)計(jì)判斷的能力．新高考II卷第21題取材于微生物繁殖的問題情境，體現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)在生命科學(xué)中的應(yīng)用．該試題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)，重點(diǎn)考查學(xué)生概率、數(shù)列、函數(shù)與方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)試題重視問題情境的創(chuàng)新考查，凸顯試題具有“綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”的特點(diǎn)．

同時(shí)，全國卷對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查重基礎(chǔ)知識(shí)、基本經(jīng)驗(yàn)、基本技能及基本方法．從知識(shí)維度來看（詳見表1和表4），概率與統(tǒng)計(jì)選填題一般只考查1～2個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查要求都以概念理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用為主，部分題目融入了函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)點(diǎn)．比如2021年乙卷理科第8題利用線性規(guī)劃的知識(shí)建立圖形，再考查幾何概型的簡(jiǎn)單運(yùn)用．概率與統(tǒng)計(jì)解答題一般考查2個(gè)知識(shí)點(diǎn)及以上，對(duì)學(xué)生的應(yīng)用和分析能力要求較高．高頻考查知識(shí)點(diǎn)一般集中于隨機(jī)變量和統(tǒng)計(jì)分析，偏重于考查學(xué)生在復(fù)雜情境中的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．

表4 2021年課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題（選填題及解答題）統(tǒng)計(jì)

試題基本貼近高中生的知識(shí)水平和生活體驗(yàn)，在基本知識(shí)上推陳出新，體現(xiàn)命題源于基礎(chǔ)而又高于基礎(chǔ)的特點(diǎn)．比如，2021年新高考I卷第8題以有放回摸球?yàn)楸尘翱疾殡S機(jī)事件的獨(dú)立性，該題在命題設(shè)置上雖屬于單選題最后一題，但試題難度適中．新高考II卷第6題以某物理量為背景考查正態(tài)分布基本概念的理解，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．2021年乙卷理科第6題以“冬季奧運(yùn)會(huì)”為背景考查計(jì)數(shù)原理，2021年新高考I卷第18題以知識(shí)競(jìng)賽為素材考查離散型隨機(jī)變量分布列及期望，2021年甲卷文理科第2題都是以“農(nóng)戶家庭收入”為背景考查對(duì)頻率分布直方圖的分析，2021年甲卷文理科第17題是以“產(chǎn)品質(zhì)量”為背景考查獨(dú)立性檢驗(yàn)（2′2列聯(lián)表）……這些試題均通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新變式或拓展，賦予時(shí)代氣息，體現(xiàn)課標(biāo)卷的設(shè)計(jì)理念，命題尊重了不同學(xué)生的思維差異，體現(xiàn)人文教育精神．

3.2 滲透統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的應(yīng)用考查

學(xué)科思維是核心素養(yǎng)中的最高層[14]，所以統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)可以理解為不僅含有數(shù)學(xué)層面的關(guān)于數(shù)據(jù)、概率等的思維，還應(yīng)當(dāng)包含指向現(xiàn)實(shí)意義的運(yùn)用統(tǒng)計(jì)解決問題、理解世界的方面．那么高考題所要考查的應(yīng)是學(xué)生能否用統(tǒng)計(jì)思維去思考和解決（現(xiàn)實(shí)）問題，以及基于此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷或決策．而對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查側(cè)重于用樣本數(shù)字特征對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，考查樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想[15]．2021年全國課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題注重考查學(xué)生能根據(jù)實(shí)際問題抽象出統(tǒng)計(jì)概念，并能用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷，將數(shù)學(xué)解答轉(zhuǎn)化成對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析．

概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活和科技發(fā)展緊密相關(guān)，具有較強(qiáng)的理論性和應(yīng)用性，是數(shù)學(xué)模型的重要載體[16]．從統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)維度分析來看（具體詳見表4），2021年課標(biāo)卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題對(duì)統(tǒng)計(jì)思維的考查主要側(cè)重于S4和S5水平．其中，16道題中考查S4水平的有10次，考查S5水平的有5次，新高考II卷第21題考查S6水平．由此可以看出，概率與統(tǒng)計(jì)試題強(qiáng)調(diào)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境使用統(tǒng)計(jì)術(shù)語計(jì)算統(tǒng)計(jì)量并理解統(tǒng)計(jì)量，有時(shí)需要對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行定性的解釋．比如新高考I卷第18題，需要學(xué)生從知識(shí)競(jìng)賽的背景下，計(jì)算出相應(yīng)的概率及數(shù)學(xué)期望，并要求學(xué)生去判斷“先答哪一類題”累計(jì)積分的期望最大，這其實(shí)是考查學(xué)生結(jié)合統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷的能力．再比如新高考II卷第21題結(jié)合離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式及函數(shù)與方程的思想去驗(yàn)證結(jié)論，并利用計(jì)算結(jié)果去分析結(jié)論的實(shí)際含義及依據(jù)數(shù)據(jù)分析做出初步的統(tǒng)計(jì)判斷．在強(qiáng)調(diào)不確定性前提下，使用統(tǒng)計(jì)語言對(duì)結(jié)論進(jìn)行解釋或統(tǒng)計(jì)決策，這其實(shí)是考查學(xué)生S6水平的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)．解答題或選填題多以現(xiàn)實(shí)情境為背景，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)視角分析問題、構(gòu)建模型、計(jì)算結(jié)果及依據(jù)結(jié)果提出決策，這一過程考查學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維解決問題的能力．

3.3 凸顯概率統(tǒng)計(jì)的綜合考查

由表3可以看出，2021年課標(biāo)卷中概率統(tǒng)計(jì)試題的綜合難度系數(shù)都在0.5左右．需要說明的是，此處的綜合難度系數(shù)模型不同于一般意義上試題難度的考量標(biāo)準(zhǔn)，但能充分考慮到不同因素對(duì)測(cè)試試題考查因素的影響，其中n為第個(gè)等級(jí)的權(quán)重，分別取1、2、3、4，可能不同學(xué)者采用不同的賦值方式，但在同一賦值標(biāo)準(zhǔn)下計(jì)算出的綜合難度系數(shù)，從某種程度上可以對(duì)比出同一類型試題的綜合考查情況．

為了分析6套試卷概率統(tǒng)計(jì)試題的難度特征，對(duì)同一年的選填題難度取平均值（解答題不變），并繪制統(tǒng)計(jì)圖．由圖1可知，概率統(tǒng)計(jì)選填題的綜合難度在0.4左右，解答題的難度系數(shù)在0.5左右，而難度系數(shù)的偏度值為1.279，數(shù)據(jù)呈明顯的右偏態(tài)，這表明概率與統(tǒng)計(jì)試題難度偏低（與前5年全國卷概率統(tǒng)計(jì)試題綜合難度系數(shù)比較）[5]．其中新高考II卷的解答題（內(nèi)容詳見例*）難度系數(shù)為0.75，其難度系數(shù)最高．該題位于解答題壓軸題位置，以生命科學(xué)中微生物繁殖為問題情境，情境容易理解，學(xué)生較容易抽象出統(tǒng)計(jì)概念，并計(jì)算出()．難點(diǎn)在于第二問，其運(yùn)算過程含有參數(shù)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用概率、數(shù)列、函數(shù)與方程的知識(shí)和方法解決問題的能力．第三問需要結(jié)合得到的結(jié)論，再回到情境本身，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)判斷去解釋結(jié)論的實(shí)際含義，即一個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)不大于1時(shí)，會(huì)臨近滅絕；個(gè)數(shù)大于1時(shí)，不會(huì)滅絕．這也強(qiáng)調(diào)了，對(duì)概率的考查不應(yīng)只停留在計(jì)算的層面，需要能夠利用計(jì)算結(jié)果為決策提出關(guān)鍵性的依據(jù)驗(yàn)證，并能為解決問題提供較為科學(xué)的決策建議，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的綜合性和應(yīng)用性的考查要求．

圖1 選填題與解答題綜合難度系數(shù)統(tǒng)計(jì)

例*：（新高考II卷第21題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第一代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列．設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖為下一代的個(gè)數(shù)，(=)=p(=1, 2, 3)．

（1）已知0=0.4，1=0.3，2=0.2，3=0.1，求()；

（2）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的 概率，是關(guān)于的方程：0+122+33=的最小正實(shí)根，求證：當(dāng)()≤1時(shí)，=1；當(dāng)()>1時(shí)，<1；

（3）根據(jù)你的理解說明（2）結(jié)論的實(shí)際含義．

結(jié)合表3和表4可以看出，概率統(tǒng)計(jì)試題側(cè)重考查學(xué)生思維的靈活性，有時(shí)需要學(xué)生運(yùn)用“正難則反”的逆向思維去解決問題．比如甲卷文理卷第10題中，求2個(gè)0不相鄰的概率，可以從對(duì)立命題去考慮2個(gè)0相鄰的概率，這樣可以優(yōu)化解題過程，提高解題效率．當(dāng)然，試題考查難度提升的標(biāo)志之一便是題目中設(shè)有參數(shù)，如新高考II卷第21題第二問便增加了參數(shù)，這在一定程度上讓學(xué)生產(chǎn)生了恐懼心理．當(dāng)然這樣的考查符合壓軸題的難度要求，同時(shí)也體現(xiàn)知識(shí)的交互性，需要學(xué)生結(jié)合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)及思想方法去分析問題解決問題，體現(xiàn)了高考課標(biāo)卷對(duì)概率統(tǒng)計(jì)考查的綜合性．

總體來說，全國課標(biāo)卷對(duì)概率統(tǒng)計(jì)命題趨于綜合化，其重視情境的創(chuàng)新融入、基礎(chǔ)知識(shí)的變式考查和統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的應(yīng)用考查．試題注重與情境相結(jié)合，突出概率統(tǒng)計(jì)在解決實(shí)際問題中的作用．知識(shí)點(diǎn)考查上，加大了學(xué)科間的知識(shí)融合命題，注重概率與函數(shù)、概率與不等式、概率與數(shù)列等交匯知識(shí)的融合考查．統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的應(yīng)用體現(xiàn)滲透于隨機(jī)思想、抽樣思想、或然與必然思想[17]的理解及運(yùn)用，側(cè)重用概率或統(tǒng)計(jì)模型來表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律來解釋隨機(jī)現(xiàn)象及對(duì)抽樣方法的統(tǒng)計(jì)意義的理解．

4 教學(xué)啟示

結(jié)合分析維度的設(shè)置及試題特點(diǎn)的分析，剖析高考試卷的導(dǎo)向教學(xué)作用：教學(xué)中，需要結(jié)合新舊課標(biāo)的變化，落實(shí)知識(shí)整體；需要兼顧情境設(shè)計(jì)與概念理解，適應(yīng)趨勢(shì)要求；通過優(yōu)化概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)，提升學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)．

4.1 關(guān)注新舊課標(biāo)變化 落實(shí)知識(shí)整體

由表1的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的梳理及表4中概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查情況可知，概率統(tǒng)計(jì)選填題和解答題的綜合難度系數(shù)在0.5左右，難度適中（詳見圖1），但對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)的考查具有系統(tǒng)化、關(guān)聯(lián)性及層次性的特點(diǎn)．而這與2017新課標(biāo)的理念不謀而合，其中提到，教師要以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，明晰學(xué)科素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生整體上把握課程．教學(xué)建議中指出，整體把握教學(xué)內(nèi)容，才能促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展[7]．然而，高中概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)分布于必修和選擇性必修中，知識(shí)內(nèi)容分散與新課標(biāo)的整體要求相矛盾．再者，學(xué)生認(rèn)知能力的局限性，教材編寫時(shí)需要將知識(shí)分解到各個(gè)年段，教材編寫的限制帶來教學(xué)內(nèi)容的分散性，而課時(shí)的限制又帶來教學(xué)過程的間斷性．但概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)構(gòu)具有內(nèi)在統(tǒng)一性，教師需要處理好概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的整體把握和學(xué)生的局部認(rèn)識(shí)之間的矛盾，從而落實(shí)知識(shí)教學(xué)的整體性．

學(xué)生在答題時(shí)會(huì)出現(xiàn)符號(hào)表達(dá)不準(zhǔn)確或概念理解不到位，其根本原因在于知識(shí)掌握不系統(tǒng)，這就需要高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中關(guān)注知識(shí)整體性，讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上去掌握相關(guān)性質(zhì)．李亞瓊、徐文彬（2021）提到，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)層次不是概率和統(tǒng)計(jì)的并列式呈現(xiàn)，其橫向需要關(guān)注必修內(nèi)容和選擇性必修內(nèi)容的銜接，體現(xiàn)知識(shí)的螺旋式上升，縱向需要關(guān)注概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的內(nèi)在生成關(guān)系（具體詳見圖2）．比如，其中“整理、分析數(shù)據(jù)”和“表達(dá)與解釋”共同為研究“樣本估計(jì)”和“相關(guān)關(guān)系”作鋪墊[4]．了解知識(shí)整體結(jié)構(gòu)圖是教師落實(shí)概率與統(tǒng)計(jì)整體教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，教師需要厘清知識(shí)間的聯(lián)系以及同一部分內(nèi)容中知識(shí)的關(guān)聯(lián)性和層次性，最后呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，再用于教學(xué)實(shí)踐．

4.2 兼顧情境設(shè)計(jì)與概念理解 適應(yīng)趨勢(shì)要求

由表4可以看出，概率與統(tǒng)計(jì)的情境設(shè)置注重生活情境的創(chuàng)新融入（其中生活情境考查10次，占比62.5%），蘊(yùn)含時(shí)代性及多元文化性．結(jié)合2011—2020年全國卷概率統(tǒng)計(jì)試題情境設(shè)計(jì)的變化趨勢(shì)[4]及文中概率統(tǒng)計(jì)情境設(shè)置的分析，可以看出：如何引導(dǎo)學(xué)生從豐富的問題情境出發(fā)，運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的思想與方法去解決問題，這是關(guān)鍵所在．即引導(dǎo)學(xué)生通過情境抽象出信息與問題，從而運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維去解決問題．高中階段概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生大多停留在簡(jiǎn)單機(jī)械運(yùn)用統(tǒng)計(jì)符號(hào)或統(tǒng)計(jì)概念解決問題，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)符號(hào)或概念的理解過程缺乏系統(tǒng)性和準(zhǔn)確性．

統(tǒng)計(jì)目的是為了解決問題，而統(tǒng)計(jì)背后的基本概念（也被稱為“重要思想”）是教學(xué)重點(diǎn)．盡管對(duì)于“基本概念具體包括哪些”還存在爭(zhēng)議，且基本概念的表示形式也有所不同，但基本上都涵蓋了數(shù)據(jù)、期望、分布、樣本和抽樣等思想．統(tǒng)計(jì)學(xué)家陳希孺教授曾提到：“關(guān)于抽樣、數(shù)據(jù)、誤差、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)規(guī)律、統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、大數(shù)律等內(nèi)容，是與我們現(xiàn)實(shí)生活緊密相連的基本概念．”[18]Watson等人（2013）凝練出的5個(gè)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的重要概念，包括期望、分布、隨機(jī)性和非正式推斷，并強(qiáng)調(diào)了這些重要思想在整個(gè)統(tǒng)計(jì)中是緊密相連的[10]．2017新課標(biāo)中加大了概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)學(xué)時(shí)，這不僅體現(xiàn)在高中必修選修內(nèi)容中，也已經(jīng)滲入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程（將“數(shù)據(jù)分析觀念”作為十大核心詞之一）．培養(yǎng)“學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念”目標(biāo)的課程發(fā)展理念，預(yù)示概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生統(tǒng)計(jì)概念的理解，這也是對(duì)統(tǒng)計(jì)教育變化趨勢(shì)的回應(yīng)．

圖2 2017版課標(biāo)中概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)

4.3 優(yōu)化概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué) 提升學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)

從表2統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的水平劃分及表4中統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)考查的數(shù)據(jù)可以看出，高考試題在概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)設(shè)置上，關(guān)注對(duì)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)S4的考查，對(duì)S4考查有8次，占比50%（由表4可知）；側(cè)重對(duì)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)S5的考查，對(duì)S5的考查有5次，占比30%左右（由表4可知），重視理解概念背景下的統(tǒng)計(jì)量，關(guān)注考查對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行定性解釋和統(tǒng)計(jì)判斷．這些數(shù)據(jù)表明，試題越來越關(guān)注統(tǒng)計(jì)概念本質(zhì)理解及統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的培養(yǎng)．對(duì)高中生來說，他們需要明確統(tǒng)計(jì)概念，掌握系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，培養(yǎng)有層次的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)，這就對(duì)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)提出更高的要求．伴隨著學(xué)生群體的多樣化，教師面臨著為不同知識(shí)和技能水平的學(xué)生提供差異化概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)[19]．很多高中教授概率統(tǒng)計(jì)的教師并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)過概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)知識(shí)，如何讓這類教師做好統(tǒng)計(jì)教學(xué)的準(zhǔn)備，是當(dāng)前教師專業(yè)發(fā)展中一個(gè)迫切需要解決的問題．無論是滿足統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)、教學(xué)的需要，還是促進(jìn)教師自身的發(fā)展需求，概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)都應(yīng)以統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)為核心目標(biāo)．Scheaffer等人在1998年曾提及中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的專題內(nèi)容需包括：數(shù)感；理解變量；讀懂統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖；設(shè)計(jì)調(diào)查或?qū)嶒?yàn)獲取樣本，收集數(shù)據(jù)的方法，問卷調(diào)查的設(shè)計(jì)等；數(shù)據(jù)分析；概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系，顯著性檢驗(yàn)的理論背景等；統(tǒng)計(jì)推斷等[20]．與此相比，中國統(tǒng)計(jì)教育內(nèi)容在課程設(shè)計(jì)上偏重于書本知識(shí)的學(xué)習(xí)，忽視實(shí)踐應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)，忽視學(xué)習(xí)過程中常見認(rèn)知錯(cuò)誤的矯正，這樣的忽視必然會(huì)影響學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的培養(yǎng)[18]．

數(shù)學(xué)教材中的例、習(xí)題偏重于統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算和圖表繪制和解讀這類基本知識(shí)的練習(xí)，而非側(cè)重于對(duì)統(tǒng)計(jì)判斷、決策、質(zhì)疑等統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的考查．比如，通過設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫匙寣W(xué)生理解統(tǒng)計(jì)量對(duì)決策的作用，通過讓學(xué)生根據(jù)給定結(jié)論設(shè)計(jì)調(diào)查活動(dòng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)其對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的質(zhì)疑與統(tǒng)計(jì)論證能力．此外，對(duì)統(tǒng)計(jì)實(shí)踐完整過程的重視沒有在評(píng)估試題中得以體現(xiàn)，一般為碎片式的局部考查，可以嘗試采用其它多樣化的評(píng)價(jià)形式，如調(diào)研報(bào)告、主題匯報(bào)等，這能給學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決統(tǒng)計(jì)問題的機(jī)會(huì)．目前教學(xué)中，統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)尚未引起足夠的重視，且大多數(shù)統(tǒng)計(jì)教學(xué)評(píng)價(jià)仍限于借助筆紙測(cè)試來反映教學(xué)效果．

此外，教師需要多設(shè)計(jì)真實(shí)統(tǒng)計(jì)實(shí)踐融入教學(xué)，就統(tǒng)計(jì)實(shí)踐本身而言，每一個(gè)調(diào)查步驟的設(shè)計(jì)都應(yīng)蘊(yùn)涵著對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的滲透．單就統(tǒng)計(jì)實(shí)踐的本質(zhì)來說，為了體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義，需要把現(xiàn)實(shí)與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的核心概念相關(guān)聯(lián)．另外，學(xué)生的統(tǒng)計(jì)表達(dá)也需要被重視，不能固化學(xué)生統(tǒng)計(jì)表達(dá)的呈現(xiàn)．比如新高考I卷第18題，其考查背景為知識(shí)競(jìng)賽，一般學(xué)生都有類似經(jīng)驗(yàn)，所以理解起來并不困難．干擾學(xué)生的因素是如何使用合適的統(tǒng)計(jì)符號(hào)去準(zhǔn)確表達(dá)．比如，在回答的可能取值并寫出相應(yīng)的取值概率時(shí)，有學(xué)生呈現(xiàn)(=0)=0.2，(=20)=0.32，(=80)=0，(=100)= 0.48．離散型隨機(jī)變量的研究前提下，“概率為零”就意味取不到80．該生其實(shí)表達(dá)的就是的可能取值為0、20、100，這便是很好的研究契機(jī)．教學(xué)中，教師需要規(guī)范引導(dǎo)學(xué)生如何更準(zhǔn)確理解“概率為0的事件”，并引導(dǎo)學(xué)生將自己的理解規(guī)范表達(dá)，做出準(zhǔn)確的判斷．通過這樣的細(xì)節(jié)引導(dǎo)，可以遷移默化地滲透統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的培養(yǎng)．

5 小結(jié)

概率與統(tǒng)計(jì)教育教學(xué)的最終目的是實(shí)現(xiàn)公民統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的提升，學(xué)校教育正為未來一代的發(fā)展做好準(zhǔn)備．基礎(chǔ)教育階段概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，試圖為高等教育階段的統(tǒng)計(jì)教育打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)與補(bǔ)充．如何優(yōu)化當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計(jì)教育的質(zhì)量也是未來研究需要繼續(xù)關(guān)注的．

[1] 藺云．哲學(xué)與文化視角下概率統(tǒng)計(jì)課的育人功能[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（2）：24–26，102．

[2] 任子朝，陳昂，黃熙彤，等．高考數(shù)學(xué)新題型試卷質(zhì)量分析研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（1）：1–7，48．

[3] 張定強(qiáng)，裴陽．新高考改革背景下數(shù)學(xué)試卷與課標(biāo)一致性研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（4）：55–60．

[4] 李亞瓊，徐文彬．高考課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)試題的特點(diǎn)及其教學(xué)啟示——基于2011—2020年全國課標(biāo)卷的分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（6）：13–19．

[5] 廖藝捷，朱展霖，胡典順．近五年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析——以全國Ⅰ卷（理科）為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（2）：56–62．

[6] 胡鳳娟．論“概率與統(tǒng)計(jì)”在高考中的定位與考查研究[J]．基礎(chǔ)教育課程，2019（15）：14–21．

[7] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：30–31．

[8] 游明倫．對(duì)統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)及其培養(yǎng)的理性思考[J]．統(tǒng)計(jì)與決策，2010（12）：2，189．

[9] GAL I. Adults’ statistical literacy: Meanings, components, responsibilities [J]. International Statistical Review, 2002，70 (1): 1–51.

[10] WATSON J M. Assessing statistical thinking using the media [M] // GAL I, GARFIELD J B. The assessment challenge in statistics education. Amsterdam: IOS Press, 1997: 107–121.

[11] WATSON J, CALLINGHAM R. Statistical literacy: A complex hierarchical construct [J]. Statistics Education Research Journal, 2003, 2 (2): 3–46.

[12] 鮑建生．中英兩國初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J]．全球教育展望，2002，31（9）：48–52．

[13] 武小鵬，孔企平．基于AHP理論的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：29–34．

[14] 李藝，鐘柏昌．談“核心素養(yǎng)”[J]．教育研究，2015，36（9）：17–23，63．

[15] 周遠(yuǎn)方，余錦銀．2014年高考“概率與統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理”專題分析[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2014（7–8）：106–119，127．

[16] 趙軒，任子朝．高考概率統(tǒng)計(jì)試題考查目標(biāo)的沿革與實(shí)現(xiàn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（10）：39–43．

[17] 王雅琪．談高考中概率與統(tǒng)計(jì)的考查[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（4）：42–46．

[18] 李?。摻y(tǒng)計(jì)素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]．浙江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（1）：10–16．

[19] 張進(jìn)良，李保臻．大數(shù)據(jù)背景下教師數(shù)據(jù)素養(yǎng)的內(nèi)涵、價(jià)值與發(fā)展路徑[J]．電化教育研究，2015，36（7）：14–19，34．

[20] BEN-ZVI D, MAKAR K, GARFIELD J. International handbook of research in statistics education [M]. Springer International Publishing AG, 2018: 444.

Statistics and Analysis of Probability and Statistics Test Questions for College Entrance Examination——Taking the 2021 National Curriculum Standard Paper as a Case

LI Ya-qiong1, PAN Yu-chen1, XU Wen-bin1, QIAN Yi-wen2, ZHANG Hai-yan3

（1. Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210079, China;2. School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China;3.School of Educational Sciences, Chifeng College, Inner Mongolia Chifeng 024000, China)

Based on the statistics and analysis of the probability and statistics test questions in the six sets of papers in 2021, the test questions are sorted out from the following four dimensions: situation setting, knowledge points, statistical literacy, and comprehensive difficulty. It is found that probability and statistics paid attention to the innovation of problem situations, focusing on the variant examination of basic knowledge, penetrating the application examination of statistical literacy, and thus highlighting the comprehensive examination of probability and statistics. Specifically, it focuses on abstracting statistical concepts from actual problems and can use statistical data for analysis to make statistical judgments; uses the perspective of probability statistics to analyze problems, build models, calculate results, and make decisions based on results, highlighting the use of statistics thinking to solve problems. Combined with the characteristics of the probability and statistics test questions in the national curriculum standard paper and based on the guiding role of the college entrance examination in teaching, the teaching of probability and statistics should focus on the changes between the old and the new curriculum standards, implement the overall knowledge. Teachers should take into account the situational design and conceptual understanding, adapt to the trend requirements, optimize the probability and statistics teaching, and enhance the students’ statistical literacy.

national curriculum standard paper; probability and statistics; comprehensive difficulty; statistical literacy; statistics and analysis

2022–02–08

江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題——教師研究的理論思考與模式建構(gòu)（2021JY14_L390）；江蘇省研究生科研與實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目——高中數(shù)學(xué)整體教學(xué)設(shè)計(jì)的模式建構(gòu)與實(shí)踐應(yīng)用（SJCX22_0506）

李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，博士生，主要從事高中數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．徐文彬?yàn)楸疚耐ㄓ嵶髡撸?/p>

G632

A

1004–9894（2022）03–0020–06

李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，等．高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析——以2021年全國課標(biāo)卷為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（3）：20-25．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]