彭 勇，陳文富

(1.中國(guó)電建集團(tuán)貴州電力設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，貴州 貴陽(yáng) 550081；2.貴州鑫達(dá)建設(shè)工程質(zhì)量檢測(cè)有限公司，貴州 貴陽(yáng) 550081)

0 引 言

巖石本身具有非均一性、各向異性、非連續(xù)性，固其結(jié)構(gòu)特性較為復(fù)雜多變，進(jìn)而導(dǎo)致其多樣的變形破壞模式和錯(cuò)綜復(fù)雜的力學(xué)性質(zhì)。巖石的本構(gòu)關(guān)系涉及到巖石的變形破壞機(jī)理，然而目前研究并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。損傷理論有助于揭示巖石破壞機(jī)理，結(jié)合損傷理論的本構(gòu)模型研究也取得了一定的突破，但仍需向全方位發(fā)展，而不僅僅是基于小細(xì)節(jié)上的改動(dòng)，特別是針對(duì)裂紋擴(kuò)展情況，使其適用于實(shí)際巖石工程。

目前，關(guān)于巖石損傷本構(gòu)模型的研究多數(shù)從微觀(guān)角度，假定巖石的微元強(qiáng)度符合某種概率分布函數(shù)，進(jìn)而推導(dǎo)損傷演化關(guān)系，基于某種強(qiáng)度準(zhǔn)則構(gòu)建損傷本構(gòu)模型，此類(lèi)研究已取得了一定進(jìn)展[1- 4]。較為常用的幾種概率分布函數(shù)，包括Weibull分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、冪函數(shù)分布和指數(shù)函數(shù)分布，基于這些分布參數(shù)建立的損傷本構(gòu)模型多數(shù)不具備通用性，無(wú)法反應(yīng)不同圍壓下的試驗(yàn)情況[5]。如Weibull分布函數(shù)并不適用于準(zhǔn)脆性材料，這是因?yàn)闇?zhǔn)脆性材料具有尺寸效應(yīng)，若材料是一種準(zhǔn)脆性巖石，那么建立損傷本構(gòu)模型時(shí)依托Weibull分布函數(shù)就會(huì)存在紕漏。此外，正態(tài)分布具有兩頭低、中間高的特征，若使巖石的微元強(qiáng)度服從該分布，可能導(dǎo)致巖石強(qiáng)度參數(shù)值出現(xiàn)負(fù)數(shù)，因此依托正態(tài)分布函數(shù)構(gòu)建損傷本構(gòu)模型也有明顯缺陷?；趯?duì)數(shù)正態(tài)分布、冪函數(shù)分布和指數(shù)函數(shù)分布建立的本構(gòu)模型亦存在較為明顯缺陷，未考慮巖體內(nèi)部初始裂紋，以及巖體變形過(guò)程中裂紋逐漸擴(kuò)展這一動(dòng)態(tài)現(xiàn)象。

本文為建立一種適用范圍更廣、考慮裂紋擴(kuò)展情況的損傷本構(gòu)模型，在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從Harris分布函數(shù)，并考慮裂紋擴(kuò)展情況，進(jìn)而引入裂紋閉合系數(shù)，建立考慮Harris分布和裂紋閉合效應(yīng)的巖石損傷本構(gòu)模型，提出了Harris分布參數(shù)的確定方法，并基于室內(nèi)試驗(yàn)得出的粉砂巖應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)及參考相關(guān)文獻(xiàn)的巖石數(shù)據(jù)對(duì)本文模型進(jìn)行了雙重驗(yàn)證。

1 巖石損傷模型的建立

首先，基于J.Lemaitre應(yīng)變等價(jià)理論，構(gòu)建損傷本構(gòu)模型，表示如下

[σ*]=[σ]/(1-hD)=[E][ε]/(1-hD)

(1)

式中，[E]為巖石材料彈性矩陣；[σ*]為有效應(yīng)力矩陣；[σ]為名義應(yīng)力矩陣；[ε]為應(yīng)變矩陣；D為巖石的損傷變量；h為裂紋閉合系數(shù)，取值范圍0≤h≤1。

若巖石破壞前的微元強(qiáng)度表現(xiàn)為線(xiàn)彈性特征，且認(rèn)定為符合虎克定律，則式(1)可改寫(xiě)為[6-7]

[ε]=[E][σ*]=[E][σ]/(1-hD)

(2)

據(jù)文獻(xiàn)[8]可知，依托Harris分布函數(shù)，該函數(shù)具有衰減特性，公式如下

(3)

式中，F(xiàn)為自變量；S為因變量；a、b為大于0的模型參數(shù)。

假若將Harris概率分布函數(shù)作為巖石微元強(qiáng)度服從的一種準(zhǔn)則，只需基于式(3)，求自變量F的導(dǎo)數(shù)，即可得出巖石微元強(qiáng)度的概率密度函數(shù)，用p(F)表示，即

(4)

將p(F)作為損傷變量D，可得巖石的損傷演化方程為

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)可得

(6)

由式(6)可知，由于p(F)>0，損傷演化方程具有單調(diào)遞增的特性。2種極端情況：當(dāng)F=0時(shí)，D=0，對(duì)應(yīng)沒(méi)有損失的完整巖石；當(dāng)F趨向于無(wú)窮大時(shí)，D=1，對(duì)應(yīng)巖石完全破壞，不再有承載能力。

三軸壓縮情況下，只需聯(lián)立式(2)、(6)，即可獲得三軸情況下的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型，即

(7)

式中，σ1為最大主應(yīng)力；E為彈性模量；ε1為軸向應(yīng)變；σ3為圍壓；μ為泊松比。

由于巖石屈服準(zhǔn)則多樣性且形式復(fù)雜，如若將軸向應(yīng)力作為微元強(qiáng)度，則不利于巖石損傷模型的建立及求解，其求解形式將十分復(fù)雜，推廣應(yīng)用較難；如若將軸向應(yīng)變作為微元強(qiáng)度，相比較而言，模型表達(dá)式更為簡(jiǎn)易、方便求解。因此，微元強(qiáng)度選取軸向應(yīng)變，即令F=ε1，則根據(jù)式(7)可得巖石損傷本構(gòu)模型，即

(8)

2 分布參數(shù)的確定方法

(9)

由條件②可得

(10)

由式(9)、(10)可以求出參數(shù)a與b，即

(11)

(12)

聯(lián)立式(11)、(12)代入式(8)，構(gòu)建了考慮裂紋閉合效應(yīng)的巖石損傷本構(gòu)模型，該模型包含了Harris分布函數(shù)的參數(shù)a與b。

3 巖石室內(nèi)試驗(yàn)

試驗(yàn)材料主要為粉砂巖，試驗(yàn)采用伺服控制巖石三軸壓力試驗(yàn)儀器，圍壓σ3設(shè)定為0、5、10、20 MPa。巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)見(jiàn)圖1。經(jīng)過(guò)觀(guān)察，巖石破壞形式有共軛剪切、張剪破裂并存、以剪切破壞為主3種。巖石各參數(shù)與圍壓的關(guān)系見(jiàn)圖2。從圖2可知，巖石峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變和殘余強(qiáng)度均隨圍壓的增加而增大，三者與圍壓的擬合均呈較好的線(xiàn)性關(guān)系。此外，低圍壓下粉砂巖表現(xiàn)為較強(qiáng)脆性，高圍壓下表現(xiàn)為較強(qiáng)塑性。高圍壓下巖樣的殘余承載能力越強(qiáng)，殘余強(qiáng)度與峰值應(yīng)力之比越來(lái)越大。無(wú)圍壓時(shí)，比值約為0.17；圍壓為10 MPa時(shí)，比值約為0.44；圍壓為10 MPa時(shí)，比值約為0.63；而圍壓為20 MPa時(shí)，比值約為0.8。

圖1 不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

圖2 巖石各參數(shù)與圍壓的關(guān)系

依據(jù)試驗(yàn)曲線(xiàn)獲取本文提出模型曲線(xiàn)。圖3為粉砂巖的試驗(yàn)曲線(xiàn)與模型曲線(xiàn)對(duì)比結(jié)果。從圖3可知，各圍壓下的試驗(yàn)曲線(xiàn)與模型曲線(xiàn)吻合度均較好，峰前部分兩者相似度更甚，峰后匹配效果較峰前差，預(yù)測(cè)的殘余強(qiáng)度整體高于試驗(yàn)獲得的殘余強(qiáng)度；此外，本文提出的模型能夠一定程度反映峰后的脆延轉(zhuǎn)換特性，表明本文提出的模型適用于描述粉砂巖的變形破壞特征。

4 工程實(shí)例與模型的進(jìn)一步驗(yàn)證

為說(shuō)明本文提出模型是否適用其他巖性，本文采用參考文獻(xiàn)[9]的巖石三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出試驗(yàn)曲線(xiàn)數(shù)據(jù)，獲取4種圍壓下的數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證。表1為4種圍壓下的模型參數(shù)。

表1 不同圍壓下本文模型的參數(shù)

裂紋閉合系數(shù)值較難確定，本文選定不同的h值，如當(dāng)h=0.8、0.85、0.9和1時(shí)，得出不同裂紋閉合系數(shù)下的本構(gòu)方程。很明顯，當(dāng)h=1時(shí)，建立的本構(gòu)方程即為前人研究的未考慮裂紋閉合效應(yīng)的巖石損傷本構(gòu)方程，故本文模型能夠選用不同的模型曲線(xiàn)進(jìn)行擬合。

試驗(yàn)曲線(xiàn)與理論模型曲線(xiàn)比較見(jiàn)圖4。從圖4可以看出，試驗(yàn)曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)擬合效果較好。特別指出的是，峰前階段的試驗(yàn)曲線(xiàn)部分與理論曲線(xiàn)部分基本重合，峰后階段也具有相當(dāng)?shù)钠ヅ涑潭?，說(shuō)明本文模型是合理和可行的?；谔岢瞿Ｐ瞳@取的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)能夠完全呈現(xiàn)峰前巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和一定程度反映峰后的破壞過(guò)程曲線(xiàn)，一定程度上也反映了巖石的應(yīng)變軟化特性。h值可有效調(diào)節(jié)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)，峰值前，h值對(duì)曲線(xiàn)影響不大，峰值后影響較為明顯。巖石的殘余強(qiáng)度隨著h的減小而增大，然而當(dāng)h值更大時(shí)，更能反映巖石的脆性特征，h=0.9時(shí)，試驗(yàn)曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)的重合度最高。因此，選定不同的h值可以獲取更為廣泛的損傷本構(gòu)模型曲線(xiàn)，進(jìn)而取得更好的模擬效果。

圖3 粉砂巖的試驗(yàn)曲線(xiàn)與模型曲線(xiàn)對(duì)比

圖4 試驗(yàn)曲線(xiàn)與理論曲線(xiàn)的比較

圖5 不同圍壓下的損傷演化曲線(xiàn)

將表1中的Harris分布參數(shù)值代入式(6)獲取損傷演化曲線(xiàn)，見(jiàn)圖5。從圖5可以看出，損傷演化曲線(xiàn)大致呈現(xiàn)“S”形，是一個(gè)遞增的過(guò)程。損傷演化曲線(xiàn)初始階段對(duì)應(yīng)巖石破壞過(guò)程的彈性階段，損傷變量很小，其值近乎為0，曲線(xiàn)趨于水平；曲線(xiàn)中間階段對(duì)應(yīng)于屈服階段，該階段維持時(shí)間較短，曲線(xiàn)斜率迅速增加；末端曲線(xiàn)又趨于水平，對(duì)應(yīng)于峰后破壞階段，曲線(xiàn)斜率迅速降低，曲線(xiàn)趨于水平。

5 討 論

準(zhǔn)確確定概率分布函數(shù)中的分布參數(shù)十分重要。本文的模型參數(shù)是通過(guò)多元函數(shù)取極值的方法進(jìn)行計(jì)算的，可以看出用該方法具有較好的模擬效果。但筆者認(rèn)為，模型參數(shù)還可以通過(guò)曲線(xiàn)擬合的方法獲得。將式(8)變?yōu)?/p>

(13)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(14)

對(duì)式(14)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，公式兩端取對(duì)數(shù)，得出

(15)

基于式(15)可知，等式左右均為對(duì)數(shù)關(guān)系式，可將每個(gè)對(duì)數(shù)關(guān)系式作為一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系式，故可將式(15)用線(xiàn)性關(guān)系擬合，可將參數(shù)b視作擬合直線(xiàn)的斜率，lna視作擬合直線(xiàn)的截距。進(jìn)一步依據(jù)參考文獻(xiàn)的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，獲取模型參數(shù)a、b。

本文引入了裂紋閉合系數(shù)h，并通過(guò)h的取值對(duì)試驗(yàn)曲線(xiàn)進(jìn)行模擬效果較好。關(guān)于裂紋閉合系數(shù)的具體求解公式，本文提供一種思路：假設(shè)殘余強(qiáng)度處對(duì)應(yīng)的損傷變量為1，根據(jù)式(8)可得

(16)

式中，σ1r為殘余強(qiáng)度；σ3r為殘余圍壓；ε1r為最大主應(yīng)變。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮裂紋閉合系數(shù)，采用Harris分布函數(shù)建立了巖石損傷本構(gòu)模型，確定了模型參數(shù)的計(jì)算方法，基于粉砂巖的三軸壓縮室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)提出的損傷本構(gòu)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

(1)巖石峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)變和殘余強(qiáng)度均隨圍壓呈線(xiàn)性增大，本文模型曲線(xiàn)與試驗(yàn)曲線(xiàn)較為一致，表明本文提出的模型適用于描述粉砂巖的變形破壞特征。

(3)模型能完全反映巖石的峰前階段應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并能很好地反映峰后階段的破壞過(guò)程。選定不同的裂紋閉合系數(shù)獲取不同的損傷本構(gòu)模型，與試驗(yàn)結(jié)果比較，本文模型曲線(xiàn)匹配度較高，符合巖石的變形破壞規(guī)律。

(4)探討了模型參數(shù)的不同求解方法，后期可通過(guò)對(duì)比不同方法求解的參數(shù)對(duì)模型的影響，使巖石損傷本構(gòu)模型具有更廣的使用范圍。此外，還提供了裂紋閉合系數(shù)的一種求解方法。