曾 鵬，李遠飛

(廣州華商學院 數(shù)據(jù)科學學院，廣東廣州 510000)

§1 引言

跟蹤理論已經(jīng)成為動力系統(tǒng)中非常重要的一個理論分支，特別是在結構穩(wěn)定性理論中扮演著非常重要的角色[1-2].平均跟蹤性質(zhì)的概念最早是由Blank[3-4]給出，并且證明了某些攝動雙曲系統(tǒng)具有平均跟蹤性質(zhì).自平均跟蹤性質(zhì)概念問世以來，越來越多的學者開始關注各種類型的跟蹤性質(zhì)，對它們與動力系統(tǒng)所熟知的其它概念的關系進行了深入的研究，并取得了一些有價值的成果[5-11].

迭代函數(shù)系統(tǒng)是分形理論的重要分支，最早可以追溯到Hutchinson[12]構造了Rn中的有限個相似的壓縮映射族來對分形集的自相似性研究，它是分形圖像處理中最富生命力并且最具有廣闊應用前景的領域之一，1985年，Barnsley[13]發(fā)展了這一分形構型系統(tǒng)，并命名為迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS).近年來發(fā)現(xiàn)動力系統(tǒng)中的很多重要的概念，如吸引子，極小性，傳遞性等都能夠被推廣到迭代函數(shù)系統(tǒng)[13-15].

自Glavan和Gutu在文[15]中定義迭代函數(shù)系統(tǒng)的偽軌跟蹤性質(zhì)以來，受到越來越多的學者對這方面的關注[15-21]，他們將多經(jīng)典動力系統(tǒng)中的各種跟蹤性質(zhì)都引入到迭代函數(shù)系統(tǒng)中來，并且獲得了一些比較好的性質(zhì).如Bahabadi[17]介紹了迭代函數(shù)系統(tǒng)的平均跟蹤性質(zhì)，并且證明了一個迭代函數(shù)系統(tǒng)具有平均跟蹤性質(zhì)當且僅當它的斜積變換具有平均跟蹤性質(zhì);Nia[18]引進了迭代函數(shù)系統(tǒng)的漸近平均跟蹤性質(zhì)，并將經(jīng)典動力系統(tǒng)中漸近平均跟蹤性質(zhì)的相關性質(zhì)都推廣到了迭代函數(shù)系統(tǒng)中;Shabani[20]給出了迭代函數(shù)系統(tǒng)中的遍歷跟蹤性質(zhì)并研究了其與拓撲混合，鏈混合，跟蹤性之間的一些關系.

緊致度量空間連續(xù)映射的特殊性最早是由Bowen在文[2]中為了研究公理A微分同胚的遍歷性質(zhì)引入的，F(xiàn)akhari和Ghane在文[7]中定義了偽軌特殊性并研究了它與遍歷跟蹤性質(zhì)的關系.最近，Shabani[20]將偽軌特殊性的概念推廣到了迭代函數(shù)系統(tǒng).

本文主要研究迭代函數(shù)系統(tǒng)中的偽軌特殊性和平均跟蹤性質(zhì)的相關關系，并且證明了下面的結論.

1.如果IFS(F)有偽軌特殊性質(zhì)，則它有平均跟蹤性質(zhì);

2.如果IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì)并且F中某些f有稠密的-回復點，則IFS(F)是拓撲傳遞的.

§2 預備知識

記Z+為非負整數(shù)集，N為正整數(shù)集.在經(jīng)典的動力系統(tǒng)中，稱偶對(X，f)是一個拓撲動力系統(tǒng)，其中(X，ρ)是一個緊致的度量空間，f:X →X為連續(xù)的映射.

設(X，ρ)是一個緊致的度量空間，對任意，ε ＞0，記B(x，ε):ρ(x，y)＜ε}.設A ?Z+，用|A|表示集合A的個數(shù)，用d(A)表示集合A的密度，且

由字符{0，1，···，m-1}組成的所有的單邊無限序列集定義為

設(X，ρ)是一個緊致的度量空間，fi:X →X(i0，1，···，m-1)為連續(xù)映射，則F{f0，f1，···，···fm-1}為作用在X上的連續(xù)映射族，則稱迭代函數(shù)系統(tǒng)為由F作用在X上所生成的半群，記為IFS(F).Z+，及ωω0ω1ω2，稱序列為IFS(F)的軌道，即

定義2.1[18]設IFS(F)為迭代函數(shù)系統(tǒng).

(1) 對任意的非空開集，若存在Z+和使得?，則稱IFS(F)是拓撲傳遞的.

(2) 對任意的非空開集，若存在N ＞0，對任意的n ＞N，有?，則稱IFS(F)是拓撲混合的.

(3) 對任意的以及任意的δ ＞0，若都存在一條從x到y(tǒng)的δ-鏈(偽軌)，則稱IFS(F)是鏈傳遞的.

定義2.2[13-14]設IFS(F)為迭代函數(shù)系統(tǒng).

(1) 設δ ＞0，若存在正整數(shù)NN(δ)及使得?n ≥N(δ)和非負整數(shù)k，有

則稱序列{xi}iZ+是IFS(F)的一條δ-平均偽軌.

(2) 若對于任意的ε ＞0，存在δ ＞0，使得對任意的一條δ-平均偽軌都能被X中的點ε-平均跟蹤，即存在，使得

則稱IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì).

定義2.3[21]設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng)，[0，1).如果對任意的ε ＞0，存在δ ＞0使得IFS(F)中任意的一條δ-平均偽軌，都能被X中的點z，ε-q-跟蹤，即存在，使得＜ε}＞q，則稱IFS(F)有-平均跟蹤性質(zhì).

定義2.4[20]設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng).IFS(F)有偽軌特殊性是指對于任意的ε ＞0，存在δδ()＞0和KK()＞0，使得對任意的非負整數(shù)

§3 偽軌特殊性與平均跟蹤性質(zhì)

本節(jié)主要證明如果IFS(F)有偽軌特殊性質(zhì)，則它有平均跟蹤性質(zhì).該結論可由文獻[17，19，21]間接獲得，受文獻[8]的啟發(fā)，下面給出一個直接證明的方法.

定理3.1設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng).如果IFS(F)有偽軌特殊性質(zhì)，則它有平均跟蹤性質(zhì).

設lsM+t，s ≥0，0≤t ＜M.則|{i ≤n，ρ(fωi(xi)，xi+1)≥δ}|＜s+1，否則

與(1)式矛盾.因此有

設X是緊致的黎曼流形.稱迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS({f0，···，fm-1})是 擴張的(參見文獻[20])是指對任意的{0，1，···，m-1}，fi為C1-擴張映射.即，存在常數(shù)C ＞0和λi(0，1)滿足對任意的N和，有‖

例3.2設映射f0，f1作用在S1上，定義

顯然，IFS({f0，f1})是擴張的.則由文獻[20]中引理6.4和注記6.2可知IFS({f0，f1})有偽軌特殊性質(zhì).從而根據(jù)定理3.1 知，IFS({f0，f1})有平均跟蹤性質(zhì).

下面的例3.3來自文獻[20]中例7.1.

例3.3設X{a，b，c}，ρ為離散的度量.其中a，b，c為X中三個不同的點.對任意的定義f0(x)a，f1(x)b，f2(x)c.則f0，f1，f2是X上的連續(xù)映射.設F{f0，f1，f2}.文獻[20]中作者證明了IFS(F)有偽軌特殊性，從而根據(jù)定理3.1知，IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì).

§4 傳遞性與平均跟蹤性質(zhì)

文獻[10]中證明了f有平均跟蹤性質(zhì)且具有稠密的-回復點，則f是拓撲傳遞的.本節(jié)證明如果IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì)且滿足F中某些f有稠密的-回復點，則IFS(F)是拓撲傳遞的.

首先需要下面的引理4.1和引理4.2(見文獻[10]中引理4.1和引理4.2).

下面的引理4.3來自文獻[21]中的定理6.2.

引理4.3設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng).則IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì)當且僅當對任意的[0，1)，IFS(F)有-平均跟蹤性質(zhì).

定理4.4設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng).如果IFS(F)有平均跟蹤性質(zhì)且滿足F中某些f有稠密的-回復點，則IFS(F)是拓撲傳遞的.

根據(jù)引理4.1有

從而有

所以

因此IFS(F)是拓撲傳遞的.

由定理3.1和定理4.4，可以得到下面的推論4.5.

推論4.5設IFS(F)是一個迭代函數(shù)系統(tǒng).如果IFS(F)有偽軌特殊性且滿足F中某些f有稠密的-回復點，則IFS(F)是拓撲傳遞的.

下面給出一個具有平均跟蹤性質(zhì)但沒有拓撲傳遞性的例子(可參見文獻[21]例6.5)

例4.6設映射f0，f1作用在[0，1]上，定義

則由文獻[16]中定理2.1知，IFS({f0，f1})有平均跟蹤性質(zhì).但是IFS({f0，f1})不是拓撲傳遞的.

致謝感謝審稿人的仔細閱讀以及相關建議，本文受廣州華商學院科研項目資助.