謝蘇靜，陶勝達(dá)，王春勇

(賀州學(xué)院 教育與音樂學(xué)院，廣西賀州 542899)

§1 引言及主要結(jié)果

本文主要研究非齊次Klein-Gordon-Maxwell方程多解的存在性問題

其中ω ＞0是一個(gè)常數(shù)，u，φ:R3→R，V(x)(R3，R)是位勢(shì)，ω表示相位，u表示粒子的場，φ表示電磁位勢(shì).為了描述三維空間中非線性Klein-Gordon-Maxwell場與靜電場之間的相互作用所產(chǎn)生的孤立波問題，文[1]首次提出了方程模型

其中0＜ω ＜m0，4＜q ＜6，m0和e分別表示粒子的質(zhì)量和電量.作為方程(1)的一般情形，方程

近年來受到了很多學(xué)者的關(guān)注，文[2]研究了λ0時(shí)關(guān)于方程(2)只有一個(gè)平凡解，除此之外，文[3]證明了當(dāng)(2，4)，0，λ ＞0且充分大時(shí)，方程(2)至少有一個(gè)徑向?qū)ΨQ非平凡解，更多關(guān)于方程(1)和(2)的研究可以閱讀文獻(xiàn)[4-5].

方程(*)是方程(1)和(2)的推廣，對(duì)于方程(*)的研究，在a(x)1且g(x)0的特殊條件及非線性項(xiàng)f滿足局部(AR)條件下，文[6]研究帶有強(qiáng)制位勢(shì)下方程(*)的無窮多解的存在性;文[7]在a(x)1且g(x)0且位勢(shì)是變號(hào)的情形下通過弱化非線性項(xiàng)f所滿足的條件，獲得了與文[6]相同的結(jié)果，而在位勢(shì)是消失位勢(shì)的情形下，文[8]討論了方程(*) 的解的多重性問題.尤其需要指出的是:在非線項(xiàng)具有擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)，文[9]用變分法研究了當(dāng)a(x)1時(shí)方程(*)的多解性，得到如下結(jié)果.

定理A若V(x)，a(x)，g(x)以及f(x，u)滿足如下假設(shè)條件.

則存在常數(shù)m ＞0，當(dāng)‖g‖2＜m，a(x)1時(shí)關(guān)于方程(*)至少有兩個(gè)不同的解(u，φ).

值得注意的是:上述大部分已有文獻(xiàn)在處理方程(*)解的存在性或多重性問題均要求a(x)1且g(x)0，或a(x)1.受文[9-10]的啟發(fā)，本文主要考慮a(x)，g(x)是一個(gè)正連續(xù)函數(shù)的情形下，利用變分法和山路定理研究在非線性具有擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)方程(*)多解的存在性，所得的結(jié)果推廣和完善了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

本文若V(x)，a(x)，g(x)以及f(x，u)滿足如下假設(shè)條件.

對(duì)于R3和|z|≥L成立.

得到的主要結(jié)果如下.

§2 預(yù)備知識(shí)及相關(guān)引理

首先回顧文[11]中關(guān)于臨界點(diǎn)理論的一些基本知識(shí).

Ls(R3)(1≤s ＜∞)是通常意義下的Lebegue空間，相應(yīng)的范數(shù)為

令H1(R3):{2(R3):2(R3)}，相應(yīng)的范數(shù)為

令D1，2(R3):{2*(R3):2(R3)}，相應(yīng)的范數(shù)為

顯然，Φ(u，φ)1(E ×D1，2(R3))，且(*)是Φ(u，φ)的Euler-Lagrange方程，其中D1，2(R3)是在‖.‖下的完備化空間.

在(V)的假設(shè)之下，有如下的緊性引理成立.

引理2.1(見[11]) 若假設(shè)(V)成立，則嵌入(R3)(2≤p ≤2*6)是連續(xù)的，即存在正常數(shù)C，使得

引理2.2(見[12]) 由假設(shè)(V)成立，嵌入(R3)(2≤p ＜6)是緊嵌入.

由于Φ(u，φ)具有強(qiáng)不確定性，為了避免這種不確定性，利用文獻(xiàn)[13]中臨界理論中的還原法.

引理2.3(見[13-14]) 對(duì)于1(R3)，根據(jù)Lax-Milgram定理，則存在唯一的φφuD1，2(R3)，使得方程

成立.

進(jìn)一步地，映射Ψ:1(R3)(u)φuD1，2(R3)連續(xù)可微，它對(duì)應(yīng)的圖像

引理2.4(見[15]) 下列說法是等價(jià)的.

(i) (u，φ)1，2(R3) 是Φ的臨界點(diǎn)(i.e.(u，φ)是系統(tǒng)(*)的解);

(ii)u是J的臨界點(diǎn)，且φφu.因此泛函1當(dāng)R 是J的臨界點(diǎn)時(shí)，(u，φu)1(R3)×D1，2(R3)是方程(*)的一個(gè)解.

§3 主要結(jié)果的證明

引理3.1若(V)， (A)， (G)， (F1)成立，且存在常數(shù)m3＞0使得g滿足‖g‖2＜m3，則存在常數(shù)ρ，α ＞0，使得J(u)|‖u‖ρ ≥α.

證由假設(shè)(A)， (F1)以及H?lder不等式，有

引理3.2若假設(shè)(V)， (A)和(F2)成立，則存在v0，且‖v0‖ ＞ρ，使得J(v0)＜0，其中ρ是引理3.1所定義的.

證由假設(shè)(A)，(F2)以及引理2.3(i) 中的-ω ≤φu ≤0，則

由于4＜μ ＜6，故對(duì)于0，當(dāng)t →+∞時(shí)，J(tu)→-∞.取v0tu，當(dāng)t ＞0足夠大且0 時(shí)，J(v0)＜0.

引理3.3若假設(shè)(V)， (A)， (G)以及(F1)成立，且{un} ?E是J的有界PS序列，則{un}在E中有強(qiáng)收斂的子列.

證 由于{un}?E是J的有界PS序列，所以{un}滿足

由Sobolev嵌入定理可知，存在v1，使得

其中{vn}?{un}?E且{vn}滿足(7).

第一部分:易見當(dāng)n →∞時(shí)

第二部分:證明當(dāng)n →∞時(shí)

第四部分:證明當(dāng)n →∞時(shí)

由(A)，(F1)，s ＞r-1以及H?lder不等式，可以得到

因此由假設(shè)(A)，(10)以及(4，6)， 2(s-r)≤s ≤6(s-r)，故當(dāng)n →∞時(shí)有

由(15)-(18)和(14)可得‖vn-v‖→0.

定理1.1的證明由于2(R3)，g ≥0，且0，因此存在函數(shù)，使得

從而有

由于(4，6)，故當(dāng)t ＞0足夠大時(shí)，得c:inf{J(u) :0， 其中ρ是引理3.1所定義的，:{:‖u‖＜ρ}.

根據(jù)Ekeland變分原理[11]，則存在{un}?，使得對(duì)于所有的，

成立，且

從而{un}是J的有界PS序列.根據(jù)引理3.3可知，存在u0，使得J′(u0)0且J(u0)c1＜0.

定理1.2的證明根據(jù)山路定理[11]，由引理3.1，引理3.2可知，存在序列{un}?E，使得

矛盾.因此meas(Ω0)0，即:R3時(shí)，幾乎處處有η(x)0，且在Lp(R3)(2≤p ＜6)中，ηn →0.

由假設(shè)(G)以及H?lder不等式，類似于(21)的討論，當(dāng)n →+∞時(shí)，有

由(22)， (A)， (F3)， 4＜μ ＜6，-ω ≤φu，故當(dāng)n →∞時(shí)，則

因此0≥-1.這與4＜μ ＜6矛盾.因此{(lán)un}在E中有界.