周翠玲，莫宏敏

(吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南吉首 416000)

§1 引言

線性互補(bǔ)問題應(yīng)用廣泛，如力學(xué)中的接觸力學(xué)問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的期權(quán)定價(jià)問題，工程學(xué)中的流體彈性動(dòng)態(tài)潤滑問題等都可以轉(zhuǎn)化為線性互補(bǔ)問題來進(jìn)行求解(見文獻(xiàn)[1-2]).線性互補(bǔ)問題的數(shù)學(xué)模型為找到解Rn，使得

記為LCP(M，q)，其中M(mij)Rn×n為給定實(shí)矩陣，Rn為給定實(shí)向量.

2006年，文獻(xiàn)[3]給出當(dāng)矩陣M為P-矩陣時(shí)，其相應(yīng)線性互補(bǔ)問題解的誤差界

其中x*是LCP(M，q)的解，r(x)min{x，Mx+q}，[0，1]n表示d為分量di[0，1]的區(qū)間向量，Ddiag(d1，d2，...，dn).近年來，國內(nèi)外學(xué)者基于文獻(xiàn)[3]的研究，對(duì)P-矩陣的子類矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計(jì)進(jìn)行了系列研究，獲得了一些較好的誤差界估計(jì)式(見文獻(xiàn)[4-10]).本文利用文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果，對(duì)P-矩陣的子類矩陣B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界進(jìn)行了進(jìn)一步研究，得到了B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界新估計(jì)式.理論分析證明新估計(jì)式優(yōu)于文獻(xiàn)[6-7]中的已有結(jié)果，數(shù)值算例也驗(yàn)證了結(jié)果的有效性.

首先介紹定義和有關(guān)結(jié)論.

定義1.1[12]設(shè)A(aij)Rn×n，若

則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.若aij≤0(j)，N，則稱A為Z-矩陣.若A為Z-矩陣且A-1≥0，則稱A為M-矩陣.

定義1.2[4]設(shè)M(mij)Rn×n，若對(duì)任意的N，i，有

則稱M為B-矩陣.

命題1.1[5]設(shè)M(mij)Rn×n，且MB++C，其中

在文獻(xiàn)[5]中，Pen?等給出B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計(jì)式:設(shè)M(mij)Rn×n為B-矩陣，且MB++C，其中B+(bij) 如(1) 式所示，則

當(dāng)矩陣B+的對(duì)角占優(yōu)性很弱時(shí)，β為一個(gè)很小的值，則相應(yīng)解的誤差界(2)就會(huì)是一個(gè)很大的值.為了改進(jìn)(2)式，Li等在文獻(xiàn)[6]中得到以下新誤差界估計(jì)式:設(shè)M(mij)Rn×n為B-矩陣，且MB++C，其中B+(bij)如(1) 式所示，則

在文獻(xiàn)[7]中，Li等給出:若M(mij)Rn×n為B-矩陣，則矩陣M是弱鏈對(duì)角占優(yōu)B-矩陣，并給出以下誤差界新估計(jì)式:設(shè)M(mij)Rn×n為B-矩陣，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，則

下面繼續(xù)對(duì)B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計(jì)進(jìn)行研究，給出B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界新估計(jì)式.

§2 主要結(jié)果

引理2.1(見[11，p11]) 設(shè)A(aij)Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

引理2.2(見[8，p2]) 設(shè)γ ＞0且η ≥0， 則對(duì)任意的[0，1]， 有

引理2.3(見[9，p4]) 設(shè)A(aij)Rn×n， 且

則對(duì)任意的xi[0，1]，N， 有

定理2.1設(shè)M(mij)Rn×n為B-矩陣，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，則

綜上所述，由(6)式和(17)式成立知(5)式成立，故定理2.1得證.

下面對(duì)(3)式，(4)式，及(5)式進(jìn)行理論上的比較.

定理2.2設(shè)M(mij)Rn×n為B-矩陣，且MB++C，其中B+(bij)如(1)式所示，那么

證根據(jù)B+為具有正對(duì)角元的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，易知0＜wj1(B+)≤l1(B+)＜1，0＜pi(B+)≤li(B+)＜1，，故有

且對(duì)任意的1≤j ≤n-1，有

于是由0＜pi(B+)＜1， (19)-(20)式，以及(22)-(23)式知(18)式的第一個(gè)不等式成立;由(21)式和(24)式知(18)式的第二個(gè)不等式成立;故(18)式成立，定理2.2得證.

§3 數(shù)值算例

例3.1考慮B-矩陣

綜上，(5)式優(yōu)于(3)-(4)式.

例3.2考慮B-矩陣

MB++C，其中

顯然，(5)式比(3)-(4)式更精確.

例3.3考慮三對(duì)角矩陣Rn×n:

當(dāng)b2.2，a-1.5，c-0.5，α?xí)r，M為B-矩陣，因此，可應(yīng)用(3)-(5)式對(duì)B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界進(jìn)行估計(jì)，具體結(jié)果見表1.

表1 (I -D+DM)-1‖‖∞的上界

表1 (I -D+DM)-1‖‖∞的上界

由表1知應(yīng)用(5)式所得的結(jié)果比應(yīng)用(3)-(4)式所得的結(jié)果要小，故(5)式比(3)-(4)式更精確.

上述數(shù)值算例充分說明:本文所獲得的結(jié)論改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]中的定理4，文獻(xiàn)[7]中的定理2.