孟憲洋 尤海榮 何 平 張 果李 恒

(1.四川輕化工大學自動化與信息工程學院,四川自貢 643000;2.人工智能四川省重點實驗室,四川自貢 643000;3.東北大學信息科學與工程學院,遼寧沈陽 110819;4.華中農業(yè)大學工學院,湖北武漢 430070;5.香港理工大學智能建造實驗室,香港九龍 999077)

1 引言

隨著機器人技術的發(fā)展,機械臂作為機器人的核心部件,其應用領域正在迅速拓寬[1].如代替人類從事重復且持久(工業(yè)流水線)、惡劣且危險(涉及核及化學武器)等性質的任務.這些任務都需要對期望軌跡進行高精度的軌跡跟蹤.但是,由于機械臂是一個具有時變、強耦合性質的非線性系統(tǒng)[2],存在模型不確定、未知外部干擾和測量誤差等問題.因此,實現(xiàn)不確定機械臂的軌跡跟蹤控制非常具有挑戰(zhàn)性.

針對機械臂的軌跡跟蹤問題,國內外許多學者進行了大量的研究,提出了許多有效的方案.當前主流的控制方法有:滑?？刂品╗3]、自適應控制法[4]、模糊控制法[5]、神經網絡控制法[6]等.滑模變結構控制作為常用的控制方案,對參數(shù)變化及匹配不確定性、未知外部干擾和時滯等方面都具有強魯棒性,核心是利用盡可能大的切換增益來減少擾動的影響.但也造成了嚴重的抖振敏感問題,從而導致機械臂的磨損.基于自適應反演非奇異快速末端滑模控制可以很好的解決機械臂的擾動和不確定性問題,不僅瞬時響應快而且可以有效的減小抖動[7].針對機器人的高精度運動控制,采用樣本延遲測量單元來消除機械臂的非線性和不確定性,非奇異終端滑模自適應無模型控制方法展現(xiàn)出良好的跟蹤性能[8].此外,采用延時估計方法對系統(tǒng)模型和外部干擾進行估計,并把時延估計誤差看作外部干擾也能夠實現(xiàn)機械臂的軌跡跟蹤[9].雖然自適應控制法在面對受控系統(tǒng)參數(shù)變化時,可以通過及時的辨識以調整控制規(guī)律.但需要嚴格的實時性,否則無法實現(xiàn)軌跡跟蹤控制目標.在無干擾的情況下,利用自適應反演控制策略,可以使得機械臂的軌跡跟蹤誤差是全局漸進一致穩(wěn)定的[10].基于任務空間分布的自適應控制策略對解決電機發(fā)熱可能引起參數(shù)漂移的問題具有良好的效果[11].此外,還可以利用神經網絡、模糊邏輯等方法逼近系統(tǒng)的不確定性[12],并將學習到的結果與常規(guī)的控制方法相結合,從而實現(xiàn)對機械臂的軌跡跟蹤.基于自適應模糊滑?？刂撇呗跃褪菍⒛：壿嬇c滑模控制相結合來解決具有未知非線性動力學的機械臂軌跡跟蹤控制問題[13].而基于神經網絡的滑模自適應控制方法就是神經網絡與自適應滑?？刂葡嘟Y合,不僅實現(xiàn)了機械臂的軌跡跟蹤控制,而且減弱了滑模引起的抖振問題[14].將神經網絡模型與終端滑模相結合,以徑向基神經網絡來逼近機械臂模型中各個元素,可以實現(xiàn)無模型控制[15].但是,這些控制方案需要實時在線學習模型的參數(shù)信息,且設計復雜.

近年來,收縮理論伴隨著黎曼幾何的發(fā)展[16]而提出,且在非線性控制方面進行了一定的應用[17].其中收縮反步控制是以收縮理論為基礎引入反步法的一種收縮分析控制方法.JOUFFROY等人首次設計了基于收縮穩(wěn)定性理論的反步控制器[18].此外,基于收縮分析的狀態(tài)反饋控制方法可以用來解決不確定參數(shù)和外部干擾的全驅動機械系統(tǒng)的跟蹤問題[19].與滑動面的滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合,則可以解決具有不確定性的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[20].更進一步,利用收縮理論來研究水下航行器的增量穩(wěn)定性[21].本文從四旋翼無人機的跟蹤控制命令中得到啟發(fā)[22],將基于連續(xù)介質力學和微分幾何的收縮理論[23],即增量穩(wěn)定收斂分析方案[24]運用到機械臂的軌跡跟蹤控制.相比已有的研究成果,本文的創(chuàng)新之處在于:1)本文設計了非線性干擾觀測器,實現(xiàn)對未知干擾的有效觀測;2)擴展了收縮反步控制方法的應用范圍,解決了機械臂的軌跡跟蹤控制問題.最后,在二連桿機械臂上進行對比仿真實驗,不僅證明了本算法具有良好的魯棒性,而且具有結構設計簡單、計算效率高的優(yōu)點.

2 收縮理論

考慮以下非線性系統(tǒng)

其中:x是系統(tǒng)(1)的n維狀態(tài),f是非線性向量場且各階偏導數(shù)存在.此外,進一步假設系統(tǒng)是光滑的.收縮理論[23]的概念與微分幾何密切相關,粗略地講,就是對狀態(tài)進行參數(shù)化以觀察任意兩條軌跡距離的變化.

則系統(tǒng)(1)是收縮的,任意給定兩條軌跡上兩點的距離L將會指數(shù)收斂到零.這里M(x,t)是對稱正定矩陣,也稱度量矩陣.λ是正常數(shù),也稱收縮率.

引理2考慮如下具有擾動形式的動力系統(tǒng):

3 機械臂動力學模型

考慮圖2所示的二連桿機械臂,其拉格朗日模型為

圖1 距離收縮圖示Fig.1 Distance contraction illustration

圖2 2-DOF機械臂Fig.2 2-DOF robot manipulator

因此,不確定二連桿機械臂動力學方程可以表示為

4 基于干擾觀測器的收縮反步法控制設計

機械臂系統(tǒng)控制設計主要目標是使實際角度qs跟隨到期望角度qd.由于未知干擾信號ds的存在,在設計控制器時,首先,使用干擾觀測器對干擾進行觀測得到觀測信號.然后,對機械臂系統(tǒng)采用收縮反步法進行控制設計,得到最終控制力矩τ,從而實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的控制.其控制系統(tǒng)結構框圖如圖3所示.

圖3 控制器結構框圖Fig.3 Block diagram of controller

4.1 擾動觀測器設計

假設1假設未知干擾ds的時變方程有界,令其表示為=φ.這里φ是未知的有界函數(shù),即存在正標量?,使得‖φ(t)‖≤?.常見的摩擦、飽和、平滑周期不確定性因素等不確定性擾動均屬于此類情形.

為了實現(xiàn)對有界不確定性干擾的有效觀測并增強系統(tǒng)的魯棒性,可以設計干擾觀測器

定義干擾觀測的誤差為

由于假設1界定的擾動項φ為時變有界的數(shù),式(6)的虛擬動力學可表示為1https://zhuanlan.zhihu.com/p/71717022.

4.2 控制器設計

基于收縮理論的反步控制的詳細設計過程如下:

5 穩(wěn)定性分析

注2此處測地線γ(s)=s(·)+(1?s)(·)?為直線,對式(21)進行路徑積分得到式(23)時,當指定誤差系統(tǒng)的初始軌跡γ(0)=w?=0,則對于系統(tǒng)實際產生的任意軌跡γ(1)=w.故而由以上分析可知:一旦證明系統(tǒng)收縮即可得出系統(tǒng)軌跡與期望軌跡之間的距離是有界的結論.

引理3當且僅當對任意一個正定對稱矩陣Q,存在一個正定矩陣P滿足Lyapunov方程

則矩陣A是Hurwitz的.此外,如果A是Hurwitz矩陣,則存在唯一正定解P[30].

若考慮無擾動估計環(huán)境,那么由式(14)和式(2)組成的系統(tǒng)可表示為

將跟蹤誤差e和輔助變量z1帶入上式并化簡整理得

計算特征值λ(A ?I2)=?1±i,可知矩陣A ?I2是Hurwitz的.令Q=I4,由引理3求得其唯一正定解為P ?I2,其中,

綜上所述,在無擾動的情況下,選取適當?shù)膮?shù)可使矩陣A ?I2是Hurwitz的,證明本文所設的收縮反步控制律可使系統(tǒng)穩(wěn)定.

6 數(shù)值仿真

6.1 二連桿機械臂模型參數(shù)

為了驗證上述所提方法的有效性,考慮動力學模型如下所示的二連桿機械臂[29]

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其中g=9.8 m/s2是重力加速度.Js1和Js2分別表示每個連桿的轉動慣量.ms1和ms2分別表示每個連桿的質量.ls1和ls2分別是每個連桿的長度.其動力學參數(shù)如表1所示.

表1 二連桿機械臂的參數(shù)Table 1 Parameters of two-link manipulator

6.2 可靠性驗證

為了驗證本文控制算法的有效性、可行性和可靠性,不失一般性,二連桿機械臂的初始狀態(tài)擬定為q0=[0.6 0.5]T,v0=[0 0]T,二連桿機械臂的期望軌跡分別擬定為q01=sin(0.5πt),q02=cos(0.5πt).控制器參數(shù)為kq=1,kv=3,與式(24)相一致.

在傳統(tǒng)滑?？刂粕弦胫笖?shù)趨近律可以有效的減弱抖振問題,但只要控制中含有符號函數(shù)sgn(·),抖振現(xiàn)象在控制輸出中就不可避免,利用飽和函數(shù)連續(xù)變化的特征,用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)

其中:控制器參數(shù)選取為Λ=diag{1,1},ε=0.8,k1=5.跟蹤誤差被定義為e=qs?qd,滑模面被設計為σ=+Λe.其實質就是利用飽和特性減弱切換的不連續(xù)特性.

通過對本文所提方法(14)和基于指數(shù)趨近律的滑?？刂撇呗?25)進行數(shù)值仿真,分別從位置軌跡跟蹤、位置軌跡跟蹤誤差和控制輸入等3個方面來進行對比仿真實驗,其仿真結果如圖4-9所示.

對比圖4和圖5的位置軌跡跟蹤曲線,可以看出,大約在3 s左右時,二關節(jié)機械臂的每個關節(jié)位置跟蹤到了預定的軌跡曲線.因此,本項實驗表明,通過收縮反步法設計的控制力矩能夠有效的實現(xiàn)二連桿機械臂的軌跡跟蹤.

圖4 關節(jié)1位置跟蹤曲線Fig.4 Position tracking curves of joints 1

圖5 關節(jié)2位置跟蹤曲線Fig.5 Position tracking curves of joints 2

分析圖6和圖7所呈現(xiàn)的位置跟蹤誤差曲線,調整時間約為5 s.隨后,位置跟蹤誤差曲線的波動逐漸平穩(wěn)并趨向于零.兩種控制策略在穩(wěn)定誤差的調整時間段內沒有明顯的差異.因此,本項實驗結果表明在收縮反步法的輸入控制力矩的作用下,可以保持被控對象“穩(wěn)”、“快”、“準”的特性,其跟蹤誤差能夠有效的收斂到穩(wěn)定狀態(tài),使得機械臂能夠快速且穩(wěn)定的跟蹤到期望參考軌跡.

圖6 關節(jié)1位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Position tracking error curves of joints 1

圖7 關節(jié)2位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curves of joints 2

分析圖8和圖9,其為輸入力矩的動態(tài)響應變化曲線,其控制力矩是光滑的控制輸入曲線,同時產生周期性的輸入現(xiàn)象.而且從控制力矩中看出基于收縮反步控制策略與用于抑制抖振的改進指數(shù)趨近的滑?？刂撇呗韵嘁恢?保證了機械臂系統(tǒng)對期望軌跡的良好的趨近和收斂特性.

圖8 關節(jié)1控制輸入Fig.8 Control input for joint 1

圖9 關節(jié)2控制輸入Fig.9 Control input for joint 2

從理論角度來看,一方面,由于滑動模態(tài)需要在工程實踐中現(xiàn)場設計,而系統(tǒng)的滑模運動又與被控制對象的參數(shù)變換和外界干擾無關,另一方面,滑模變結構控制對具有外界干擾和未建模動態(tài)的非線性系統(tǒng)具有很強的魯棒性.因此,滑模變結構控制比較適合機械臂的控制.然而,滑模控制作為一種不連續(xù)的控制方法,其控制輸出的抖振現(xiàn)象是不可避免的.而改進后的指數(shù)趨近滑?？刂品椒ㄒ呀浘邆淞己玫内吔匦院褪諗刻匦?是一種較為成熟的機械臂控制方案.基于連續(xù)介質力學與微分幾何的收縮理論,本文將增量穩(wěn)定收斂分析方法運用到機械臂的軌跡跟蹤控制,通過與常規(guī)且成熟的機械臂控制方案進行實驗對比,充分說明了本算法不僅具有良好的魯棒性,而且具備設計機構簡單,計算效率高的優(yōu)點.

6.3 魯棒性驗證

為了驗證本文控制算法的魯棒性,在前述相同的初始狀態(tài)q0=[0.6 0.5]T,v0=[0 0]T,和相同的期望軌跡q01和q02的條件下,考慮未知的外界干擾為ds=[ds1ds2]T=[?e?t?cost ?e?t+sint]T,與 假設1相一致.此時控制器參數(shù)為kq=1,kv=3.干擾觀測器參數(shù)為ks=999.

通過圖10和圖11的響應曲線可以看出,當系統(tǒng)中引入非線性干擾觀測器后,系統(tǒng)的輸出受干擾的影響進一步減小,不僅使得機械臂關節(jié)角位置跟蹤性能有所改善,而且證明了干擾觀測器能很好的觀測到未知干擾,以便于減小干擾對系統(tǒng)的影響.

圖10 關節(jié)1位置跟蹤曲線(含干擾觀測器)Fig.10 Position tracking curves of joints 1(disturbance observer)

圖11 關節(jié)2位置跟蹤曲線(含干擾觀測器)Fig.11 Position tracking curves of joints 2(disturbance observer)

圖12是引入非線性觀測器后,實現(xiàn)對未知有界干擾有效觀測后的關節(jié)位置跟蹤誤差曲線.與圖10和圖11相對應,可以看出通過選取足夠大的收縮率,其跟蹤誤差曲線能收斂到穩(wěn)定狀態(tài).

圖12 關節(jié)位置跟蹤誤差曲線Fig.12 Position tracking error curves of joints

通過圖13的實驗結果可以看出,通過選取足夠大的收縮率(如ks=999),干擾觀測誤差能夠收斂到原點附近的小鄰域內.干擾估計誤差ed(t)的近似值使其誤差不超過10?3.因此,本項實驗證明了此非線性觀測器能實現(xiàn)對未知干擾的有效觀測.

圖13 干擾觀測誤差曲線Fig.13 Disturbance observation error curve

在選取足夠大的收縮率(如ks=999)情況下,控制力矩的動態(tài)響應如圖14所示.關節(jié)1的輸入力矩在10單位左右,關節(jié)2的輸入力矩在2單位左右.可以看出,控制力矩的輸入仍然是符合工程實踐需求的,不會引起過負荷現(xiàn)象.

圖14 關節(jié)控制輸入Fig.14 Control input for joint

圖15和圖16是外界干擾向量ds在收縮率參數(shù)逐漸增大過程中所對應的干擾觀測誤差變化曲線.其中,觀測誤差ei(i=1,2,3,4)是依次對應的收縮率參數(shù)值分別為ks1=9,ks2=99,ks3=599,ks4=999的響應曲線.且觀測誤差e4變化曲線與圖13的曲線相對應.因此,從上圖的實驗結果可以看出,通過選擇足夠大收縮率ks,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計誤差能收斂到原點附近.

圖15 干擾觀測誤差ds1變化曲線Fig.15 Disturbance ds1 observation error curve

圖16 干擾觀測誤差ds2變化曲線Fig.16 Disturbance ds2 observation error curve

圖17呈現(xiàn)了二軸連桿機械臂在三維空間坐標系下(t,qs1,qs2)的運動跟蹤軌跡.可以看出,通過收縮反步控制原理,二軸連桿機械臂可以在三維空間坐標系下完美的跟蹤期望軌跡.

圖17 三維形式軌跡圖Fig.17 Three-dimensional form of trajectory figure

本文以不確定二連桿機械臂系統(tǒng)為被控制對象,以收縮理論為核心設計收縮反步控制器,將有界外部干擾的實際值與估計值誤差限定在特性收縮區(qū)域內,驗證了在干擾外界干擾的情況下的魯棒性,證明了本算法設計結構簡單、高效的特性.

7 總結

本文針對一類存在模型不確定、未知外部干擾的機械臂設計了收縮反步跟蹤控制器,該控制器包括收縮理論、反步法和干擾觀測器三部分.通過控制機械臂的關節(jié)角度使其跟蹤到期望軌跡.對于二階反饋聯(lián)接閉環(huán)系統(tǒng),以給定軌跡為中心的恒定半徑球開始并始終包含在收縮區(qū)域中的任何軌跡保持在該球中,并指數(shù)收斂到給定的軌跡.但由于采用的是反步控制技術,因此系統(tǒng)受到了嚴格的反饋形式約束.后續(xù)將繼續(xù)對增量穩(wěn)定性進行研究,擴展其應用范圍.例如,將相關控制算法與七自由度冗余手術型機器人相結合,實現(xiàn)遠程手術的人機協(xié)同控制[32].亦或是將相關理論推廣到機器人編隊[33]和多智能體一致性[34].