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        分?jǐn)?shù)到分式,特殊到一般

        2022-06-21 06:51:42浦?jǐn)⒌?/span>
        初中生世界 2022年22期
        關(guān)鍵詞:公分母分式分母

        文/浦?jǐn)⒌?/p>

        為了幫助同學(xué)們?nèi)嫦到y(tǒng)地掌握本章知識(shí)技能和思想方法,領(lǐng)會(huì)知識(shí)內(nèi)涵和本質(zhì),老師將從下面三個(gè)方面來加以剖析。

        一、認(rèn)清分式概念的本質(zhì)

        我們七年級(jí)學(xué)過“用字母表示數(shù)”的相關(guān)知識(shí),所以,從分?jǐn)?shù)到分式,實(shí)際上就是由特殊的數(shù)走向一般的式;我們還學(xué)過整式,知道單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式,并由此得到了分式。由此可見,分式與分?jǐn)?shù)、整式有著千絲萬縷的聯(lián)系。我們既可以把分式看成是分?jǐn)?shù)的一般化,又可以將其看成是兩個(gè)整式之間的特殊除法。另外,整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),同理,整式與分式統(tǒng)稱為有理式。由此充分說明,數(shù)與式及其發(fā)展是一脈相承的,數(shù)式之間相同的性質(zhì),簡稱數(shù)式通性。

        二、掌握分式性質(zhì)和運(yùn)算

        既然從分?jǐn)?shù)到分式是從特殊到一般,那么,我們學(xué)習(xí)分式就要利用數(shù)學(xué)的類比思想,從分式的源頭——分?jǐn)?shù)出發(fā),設(shè)法把新知識(shí)(分式的問題)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)(分?jǐn)?shù)的問題)??梢?,在本章學(xué)習(xí)中,特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化就是最重要的數(shù)學(xué)思想方法。

        下面以“異分母分式相加減”為例具體說明。我們可以從圖1看到異分母分式的加減是如何一步步通過類比和轉(zhuǎn)化,變成我們完全熟悉的整式加減,最后變成最簡單的整數(shù)加減。

        圖1

        三、學(xué)透分式方程及應(yīng)用

        初中代數(shù)的知識(shí)分為數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)五塊。如果引進(jìn)負(fù)數(shù)是初中代數(shù)的第一次飛越,那么從數(shù)走向式,就是初中代數(shù)的第二次飛越。我們學(xué)習(xí)數(shù)與式,歸根結(jié)底是為學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)等知識(shí)奠基。因此,分式方程可以認(rèn)為是分式的數(shù)學(xué)運(yùn)用,而用分式方程解決實(shí)際問題又可以認(rèn)為是分式的實(shí)際應(yīng)用,兩者都體現(xiàn)了分式的價(jià)值。

        在學(xué)習(xí)分式方程時(shí),我們自然會(huì)聯(lián)想到整式方程。通過類比,我們可以發(fā)現(xiàn),分式方程比整式方程多了一個(gè)含有未知數(shù)的分母,所以,分式方程必須要檢驗(yàn),避免分母為0 時(shí)式子無意義。另外,分式方程的解法步驟中,去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,與整式方程的解法步驟唯一不同的是去分母。整式方程去分母是方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù),而分式方程是方程兩邊同時(shí)乘各分母的最簡公分母。一旦去分母成功,分式方程就變成了整式方程。因此最簡公分母中必定含有未知數(shù),所以,這個(gè)最簡公分母的值可能為0,這是分式方程會(huì)產(chǎn)生增根的本質(zhì)原因。如果求出的未知數(shù)的值使最簡公分母為0,那么這個(gè)未知數(shù)的值就是原方程的增根,否則就是原方程的根。

        利用分式方程解決實(shí)際問題,跟前面所學(xué)的用一元一次方程、二元一次方程組等各類方程來解決實(shí)際問題一樣,都是根據(jù)題目中的等量關(guān)系,設(shè)法把實(shí)際問題抽象、建模成數(shù)學(xué)中的方程問題,然后利用方程的知識(shí)進(jìn)行求解。由于分式方程的特殊性,求出來的解需要先檢驗(yàn)是不是原分式方程的解,再檢驗(yàn)是不是實(shí)際問題的解。

        從上面的研究我們可以看出,分式來源于分?jǐn)?shù),也可以看成來源于整式;分式的基本性質(zhì)來源于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì);分式的加減、乘除、乘方運(yùn)算來源于分?jǐn)?shù)的相應(yīng)運(yùn)算;分式方程是分式的運(yùn)用和應(yīng)用,但在解決問題時(shí)還是要回歸整式方程。這樣全面、整體的認(rèn)識(shí),會(huì)讓我們覺得分式的學(xué)習(xí)非常自然和簡單??梢?,學(xué)好數(shù)學(xué),一要抓住新舊知識(shí)的聯(lián)系,從舊知走向新知;二要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法來思考,學(xué)會(huì)類比、轉(zhuǎn)化等重要的思想方法;三要用整體的視角來進(jìn)一步構(gòu)建新的知識(shí)體系,從更高視角認(rèn)識(shí)每一個(gè)知識(shí)板塊。只有這樣,我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)更加生動(dòng)有趣。

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