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        分式方程的尋“根”之旅

        2022-11-20 18:10:41唐榮喜
        初中生世界 2022年22期

        文/唐榮喜

        斐波那契是最早應用分式方程的歐洲數(shù)學家,早在13 世紀就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《計算之書》中給出了大量分式方程的應用問題,典型的有“分10 問題”和“分錢問題”。但《計算之書》中的所有分式方程在化整后,都沒有出現(xiàn)增根現(xiàn)象,因此,斐波那契也就沒有意識到分式方程增根的存在。

        1850 年之后,西方許多數(shù)學著作中也出現(xiàn)了分式方程,但作者們往往對分式方程和分數(shù)系數(shù)方程不加區(qū)別,對增根仍視而不見。

        “0 能否作除數(shù)”是分式方程是否產(chǎn)生增根的一個重要原因。1880 年左右,分析學的嚴密化促使數(shù)學家們重新討論這個問題。德國數(shù)學家利普希茨、奧地利數(shù)學家斯托爾茨等相繼指出:0 不能作除數(shù)。這次大討論在一定程度上促進了分式方程增根問題的解決。

        1882 年,美國康奈爾大學三位數(shù)學教授奧里佛、威特和瓊斯在他們合著的《代數(shù)》中討論了分式方程的解法,證明了下面的定理:方程兩邊乘同一個數(shù),若這個數(shù)既不是未知數(shù)的函數(shù),也不是0或無窮大,則方程的根不變。三位數(shù)學家對分式方程增根和失根問題已經(jīng)有了比較清晰的認識,他們指出,在方程轉(zhuǎn)化過程中,每一步都必須是正確的,并且是可逆的,否則必須將所得結果代入原方程進行檢驗,若有任何一步不正確或不可逆,就有可能會出現(xiàn)增根或失根。方程兩邊同時乘最簡公分母顯然不可逆,因此必須將所得結果代入原方程進行檢驗。結果若滿足原方程,即為方程的根,否則就是增根。

        1899 年,美國賓夕法尼亞大學教授費舍和施瓦特在他們編寫的《代數(shù)基礎》中給出了分式方程的一般解法:先移項,使得分式方程的一邊化為0,然后進行通分、化簡,再令分式的分子等于0 且分母不等于0 來求解,用這種方法解分式方程避免了增根的產(chǎn)生。

        分式方程的增根問題,從發(fā)現(xiàn)到解決經(jīng)歷了漫長而曲折的歷程,增根問題的完美解決是數(shù)學家們前赴后繼、不懈追求的結果。數(shù)學家們鍥而不舍、追求真理的執(zhí)著精神值得我們學習。

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