陳宇航 趙鐵石 郭建綱 陳麗緩 郝增亮

(1.北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院， 廊坊 065000；2.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004;3.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 秦皇島 066004)

0 引言

多任務(wù)協(xié)同、多模式融合是機(jī)械裝備發(fā)展的趨勢(shì)。為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用，機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域涌現(xiàn)出一系列新穎的機(jī)構(gòu)形式，如可重構(gòu)機(jī)構(gòu)、并聯(lián)冗余自由度機(jī)構(gòu)和含有子閉環(huán)的機(jī)構(gòu)等。并且針對(duì)多模式并聯(lián)機(jī)構(gòu)、多任務(wù)融合機(jī)構(gòu)、一機(jī)多用等方向開展了較多研究。

關(guān)于可重構(gòu)機(jī)構(gòu)、多模式機(jī)構(gòu)等研究成果較多，戴建生團(tuán)隊(duì)[1-2]首先闡述了變胞機(jī)構(gòu)的機(jī)理和應(yīng)用，并對(duì)相關(guān)研究進(jìn)展進(jìn)行了系統(tǒng)梳理；于靖軍等[3]論述了多模式機(jī)構(gòu)的研究進(jìn)展以及未來應(yīng)用的可能；單彥霞等[4]基于TCI指標(biāo)提出一種能實(shí)現(xiàn)多模式機(jī)構(gòu)操作模式平穩(wěn)切換的方法。劉偉等[5]基于自由度可變的混聯(lián)支鏈綜合了一類多模式機(jī)構(gòu)，能實(shí)現(xiàn)3種運(yùn)動(dòng)模式間的變換。沈惠平等[6]提出了一種動(dòng)平臺(tái)可重構(gòu)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性。鄒琦等[7]設(shè)計(jì)了一種運(yùn)用離合器與齒輪系配合完成機(jī)架重構(gòu)過程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。石志新等[8]采用方位特征集法對(duì)四自由度雙模式機(jī)構(gòu)展開綜合，并對(duì)其中一種進(jìn)行位置分析。具有冗余自由度的機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)輸出具有更多可能性。QU等[9-10]提出一種具有冗余自由度的平面機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和奇異性分析；ZHAO等[11]提出一種具有冗余自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于運(yùn)動(dòng)的冗余特性使該機(jī)構(gòu)具有非常大的轉(zhuǎn)角工作空間；GOSSELIN等[12-14]先后提出一類新型的具有轉(zhuǎn)動(dòng)能力不受限制的平面冗余自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以及一類能夠通過冗余特性消除奇異位形并增大轉(zhuǎn)動(dòng)工作空間的空間機(jī)構(gòu)。在分支中引入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)，可以改善空間機(jī)構(gòu)性能，并能夠合理引入冗余自由度。LI等[15-16]對(duì)一類分支含子閉環(huán)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，通過在分支內(nèi)引入子閉環(huán)綜合一類少分支多自由度形式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并為步行機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種含閉環(huán)結(jié)構(gòu)的支腿；朱小蓉等[17]綜合了一類分支中含有雙驅(qū)動(dòng)五桿閉環(huán)回路的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并提出了7種耦合度為0的回路。文獻(xiàn)[18-19]面向調(diào)姿隔振應(yīng)用，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分支中引入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)使原機(jī)構(gòu)具有冗余自由度，并通過子閉環(huán)實(shí)現(xiàn)高低頻混合輸入。

多模式機(jī)構(gòu)更多關(guān)注不同模式間的切換，而多模式融合應(yīng)用在實(shí)際工程中應(yīng)用同樣廣泛，本文拓展多模式機(jī)構(gòu)的范疇，設(shè)計(jì)一種分支內(nèi)含有六桿子閉環(huán)輸入單元的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過解析與數(shù)值相結(jié)合的方法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，以期實(shí)現(xiàn)“高頻低幅值”與“低頻大幅值”兩種模式運(yùn)動(dòng)的融合。

1 機(jī)構(gòu)形式

在6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，各分支轉(zhuǎn)動(dòng)副R為輸入。通常對(duì)輸入副R的實(shí)際驅(qū)動(dòng)形式有電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)和四桿機(jī)構(gòu)間接驅(qū)動(dòng)，如圖1所示直接驅(qū)動(dòng)形式，運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算相對(duì)簡單，但動(dòng)力學(xué)性能較差；間接驅(qū)動(dòng)形式，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析較復(fù)雜，但動(dòng)力性能較好。

圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副R的驅(qū)動(dòng)形式Fig.1 Driving forms of rotating pair R

圖2 雙輸入單元組成原理Fig.2 Dual-input unit composition principle

為實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)雙模融合運(yùn)動(dòng)，對(duì)驅(qū)動(dòng)副R的驅(qū)動(dòng)形式進(jìn)行雙模融合輸入設(shè)計(jì)，其實(shí)現(xiàn)形式為在驅(qū)動(dòng)副桿件的適當(dāng)位置，通過另一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R′與一個(gè)平面六桿子閉環(huán)機(jī)構(gòu)(RPRRRP)連接，構(gòu)成雙輸入單元如圖2所示；也可以將該設(shè)計(jì)理解為將驅(qū)動(dòng)副R替換為一個(gè)局部并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該局部并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含一個(gè)驅(qū)動(dòng)分支和一個(gè)約束分支，其中約束分支只包含一個(gè)R副，驅(qū)動(dòng)分支為包含一個(gè)平面六桿機(jī)構(gòu)的混聯(lián)分支，形式為(RPRRRP)R。

根據(jù)Kutzbach-Grübler公式[20]計(jì)算可得(RPRRRP)R-R雙輸入單元的自由度為2，需要兩個(gè)輸入，機(jī)構(gòu)才能有確定運(yùn)動(dòng)。以兩個(gè)P副為實(shí)際輸入，它們分別對(duì)應(yīng)兩種運(yùn)動(dòng)模式的驅(qū)動(dòng)，因此通過雙輸入單元的輸出桿可實(shí)現(xiàn)雙模運(yùn)動(dòng)融合。

通過上述方法實(shí)現(xiàn)雙模融合輸入后，機(jī)構(gòu)形式為6-[(RPRRRP)R-R]US，如圖3所示。顯然雙輸入局部并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出桿件即為原6-RUS機(jī)構(gòu)的原動(dòng)件，且運(yùn)動(dòng)形式仍為原輸入副R的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此對(duì)于動(dòng)平臺(tái)，約束形式與6-RUS相同，所以動(dòng)平臺(tái)仍能實(shí)現(xiàn)空間六自由度運(yùn)動(dòng)。對(duì)于6-RUS機(jī)構(gòu)，此時(shí)驅(qū)動(dòng)副R的輸入中包含兩種成分，分別對(duì)應(yīng)雙輸入子閉環(huán)中兩種性質(zhì)的驅(qū)動(dòng)，可根據(jù)應(yīng)用需求進(jìn)行組合。每個(gè)[(RPRRRP)R-R]US分支需要雙輸入，總體機(jī)構(gòu)才能具有確定運(yùn)動(dòng)，因此6-[(RPRRRP)R-R]US并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度數(shù)為12，輸入數(shù)大于末端構(gòu)件自由度數(shù)，屬于運(yùn)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖3 機(jī)構(gòu)形式及坐標(biāo)系Fig.3 Mechanism form and coordinate system

對(duì)該機(jī)構(gòu)的分析，可以將機(jī)構(gòu)劃分為內(nèi)、外兩層，內(nèi)層機(jī)構(gòu)：(RPRRRP)R-R雙輸入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)；外層機(jī)構(gòu)：6-RUS。內(nèi)、外層機(jī)構(gòu)通過共同的R副實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和力的傳遞。

2 單模式機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析

機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、基座和6條形式相同的分支組成，每條分支與上平臺(tái)通過球副連接，鉸接點(diǎn)記為Bi，其中i為分支標(biāo)號(hào)，i=1,2,…,6；分支底部與基座通過2個(gè)R副和1個(gè)P副連接，其中2個(gè)R副的鉸接點(diǎn)記為Ai、Fi。在Ai、Fi所在平面的幾何中心建立基坐標(biāo)系{o},在Bi所在平面的幾何中心建立動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系{m},如圖3所示。

每個(gè)分支中包含兩個(gè)驅(qū)動(dòng)副，通過鎖定其中一個(gè)驅(qū)動(dòng)，可讓機(jī)構(gòu)工作于單一運(yùn)動(dòng)模式，以靈活適應(yīng)不同應(yīng)用場景。

雙輸入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)簡圖如圖4所示，將左側(cè)移動(dòng)副設(shè)定為調(diào)姿驅(qū)動(dòng)，對(duì)應(yīng)一類低頻大行程驅(qū)動(dòng)器，例如電動(dòng)缸、液壓缸等；右側(cè)水平移動(dòng)副設(shè)為振動(dòng)驅(qū)動(dòng)，對(duì)應(yīng)一類高頻小行程驅(qū)動(dòng)器，如作動(dòng)器、高頻直線電機(jī)等。

2.1 調(diào)姿模式運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

當(dāng)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)被鎖定，機(jī)構(gòu)僅實(shí)現(xiàn)低頻小幅值的位姿運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分為兩步：①對(duì)外層6-RUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行反解求得各分支輸入角θi。②建立內(nèi)層驅(qū)動(dòng)子閉環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，根據(jù)θ求得實(shí)際驅(qū)動(dòng)l1。

步驟(1)：不考慮驅(qū)動(dòng)子閉環(huán)RPRRRP，外層機(jī)構(gòu)形式為6-RUS，分支簡圖如圖5所示，建立分支坐標(biāo)系{i}，R副與基座鉸接點(diǎn)Ai為坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖5 RUS單分支簡圖Fig.5 Simple diagram of single branch of RUS

根據(jù)桿長約束關(guān)系可得

(1)

(2)

式中l(wèi)AiBi、lAiCi、lBiCi——桿AiBi、AiCi、BiCi的長度

xBi、yBi、zBi——鉸鏈點(diǎn)Bi的坐標(biāo)

步驟(2)：雙輸入單元機(jī)構(gòu)簡圖如圖6所示。由于任意分支內(nèi)雙輸入單元的計(jì)算過程相同，為了表達(dá)式簡潔，除驅(qū)動(dòng)變量外，其余忽略分支下角標(biāo)i。

圖6 雙輸入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.6 Mechanism diagram of dual-input sub closed loop

圖6中，l1i、l6i(i=1,2,…,6)是兩個(gè)驅(qū)動(dòng)尺寸，即第i分支內(nèi)FG、AE長度，l0、l2、l3、l4、l5分別為桿FA、GH、HD、DE、AH的長度，α為FG與水平方向夾角，β為桿DE與水平方向夾角，γ為桿GD與水平方向夾角。在調(diào)姿運(yùn)動(dòng)模式下，l1是變量，l6是定值。

根據(jù)幾何關(guān)系建立雙輸入子閉環(huán)機(jī)構(gòu)的矢量封閉方程

l5+l3=l6i+l4

(3)

解得

(4)

其中

(5)

式中ku1、ku2、ku3——中間系數(shù)

點(diǎn)D和點(diǎn)H坐標(biāo)為

(6)

(7)

令

(8)

式中yG——點(diǎn)G的y軸坐標(biāo)

zG——點(diǎn)G的z軸坐標(biāo)

K——桿GD斜率

由桿長l2約束關(guān)系可得

(9)

驅(qū)動(dòng)量尺寸FG的長度關(guān)系式為

(10)

將式(8)、(9)所求值代入式(10)，即求得此時(shí)的實(shí)際驅(qū)動(dòng)量l1i。

2.2 振動(dòng)模式運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

當(dāng)調(diào)姿驅(qū)動(dòng)被鎖定，機(jī)構(gòu)輸出六維振動(dòng)。此時(shí)圖6中，l1i是固定值，l6i是變量。其運(yùn)動(dòng)學(xué)反解同樣分兩步，步驟1與調(diào)姿模式相同，參照式(1)；步驟2為根據(jù)θ求得實(shí)際驅(qū)動(dòng)l6i。

類似調(diào)姿運(yùn)動(dòng)求解過程可得α與θ的關(guān)系式為

(11)

其中

(12)

式中kv1、kv2、kv3——中間系數(shù)

點(diǎn)D坐標(biāo)表示為

(13)

(14)

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)位姿已知，由步驟(1)求得外層機(jī)構(gòu)6-RUS驅(qū)動(dòng)角θi，然后根據(jù)式(11)、(13)依次求得角α和點(diǎn)D坐標(biāo)，最后通過式(14)解得振動(dòng)模式的驅(qū)動(dòng)輸入l6i。

3 雙模式融合運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析

機(jī)構(gòu)進(jìn)行雙模融合運(yùn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)輸入個(gè)數(shù)為12，動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)自由度數(shù)為6，屬于自由度冗余機(jī)構(gòu)。對(duì)于給定位姿，可以得到無窮多組反解。結(jié)合一般實(shí)際應(yīng)用工況，設(shè)定兩種反解求解策略，使得到的反解具有更為明確的實(shí)際意義，具體如下：

任意時(shí)刻t，動(dòng)平臺(tái)輸出的融合運(yùn)動(dòng)位姿，可分解為兩種成分：低頻大范圍的位姿運(yùn)動(dòng)和高頻小幅值的振動(dòng)，即

W(t)=Wu(t)+Wv(t)

(15)

式中W——雙模式融合運(yùn)動(dòng)位姿

Wu——位姿運(yùn)動(dòng)成分

Wv——振動(dòng)成分

雙模融合運(yùn)動(dòng)可理解為一種平衡位置不斷改變的振動(dòng)，變化的平衡位置即是位姿運(yùn)動(dòng)。因此在反解計(jì)算中，可以設(shè)定兩種驅(qū)動(dòng)求解分配策略：

(1)先Wu(t)后Wv(t)：先求平衡位置后疊加振動(dòng)

先求解任意時(shí)刻t平衡位置Wu(t)的對(duì)應(yīng)的反解輸入，即調(diào)姿輸入，再以Wu(t)為當(dāng)前平衡位置，求解機(jī)構(gòu)從Wu(t)運(yùn)動(dòng)到W(t)的位姿反解，即振動(dòng)輸入，過程如下：

假定各分支內(nèi)振動(dòng)輸入l6i在驅(qū)動(dòng)中位鎖定，l6i的中位值作為求解l1i時(shí)一項(xiàng)固定的結(jié)構(gòu)參數(shù)。以Wu(t)為目標(biāo)位姿計(jì)算任意時(shí)刻t調(diào)姿輸入的值，即

L1(t)=L1(0)+u(t)

(16)

其中

(17)

式中L1——調(diào)姿輸入矢量

u——調(diào)姿輸入增量矢量

ui——l1i的增量

以Wu(t)為當(dāng)前位姿，Wu(t)+Wv(t)為目標(biāo)位姿，L1(t)為結(jié)構(gòu)參數(shù)，根據(jù)振動(dòng)模式的反解過程計(jì)算該t時(shí)刻振動(dòng)驅(qū)動(dòng)尺寸為

L6(t)=L6(0)+v(t)

(18)

其中

(19)

式中L6——振動(dòng)輸入矢量

v——振動(dòng)輸入增量矢量

vi——l6i的增量

在求L6的過程中，L1為時(shí)變結(jié)構(gòu)參數(shù)，t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的值為L1(t)。

(2)先Wv(t)后Wu(t)：先求振動(dòng)再改變平衡位置

以初始位置為平衡位，求解任意時(shí)刻t的振動(dòng)位姿Wv(t)所對(duì)應(yīng)的輸入，即振動(dòng)輸入，再求每一時(shí)刻，機(jī)構(gòu)從Wv(t)運(yùn)動(dòng)到Wu(t)+Wv(t)對(duì)應(yīng)的反解輸入，即調(diào)姿輸入。該策略為策略(1)的對(duì)偶過程，具體步驟為：

先鎖定L1以其為固定參數(shù)，并以Wv(t)為目標(biāo)位姿，計(jì)算任意時(shí)刻振動(dòng)輸入L6(t)，再以L6(t)為瞬時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)，t時(shí)刻，以Wv(t)為初始形位，W(t)為目標(biāo)形位計(jì)算L1(t)。

需要注意兩點(diǎn)：①兩種求解策略的先后順序僅是計(jì)算邏輯的先后，實(shí)際操作時(shí)，任意時(shí)刻計(jì)算得到L1(t)和L6(t)后，兩者同時(shí)輸入系統(tǒng)。②相同位姿下，兩種策略計(jì)算的雙輸入結(jié)果不同，設(shè)定的兩種策略所解算出的是機(jī)構(gòu)無窮多組解中的兩組，但調(diào)姿輸入和振動(dòng)輸入各自的反解模型不變。

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析

已知機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸入L1(t)、L6(t)，求動(dòng)平臺(tái)的位姿W(t)為機(jī)構(gòu)正解。由于各分支內(nèi)存在子閉環(huán)機(jī)構(gòu)，因此機(jī)構(gòu)正解同樣需要分兩步完成。

(1) 內(nèi)層子閉環(huán)機(jī)構(gòu)正解

任意分支i內(nèi)，外層機(jī)構(gòu)6-RUS的分支驅(qū)動(dòng)角θi是關(guān)于l1i、l6i的函數(shù)，然而θi=f(l1i,l6i)的解析解難以獲得。因此采用數(shù)值方法求取。當(dāng)l1i確定，θi隨l6i變化呈單調(diào)遞增關(guān)系，因此可以把l1i先給定，采用二分法迭代對(duì)比l6i，最終獲得滿足誤差允許要求的解。求解過程如圖7所示。

圖7 內(nèi)層子閉環(huán)正解流程圖Fig.7 Process of positive solution in sub-closed loop

圖7中，N為最大迭代次數(shù)；e(k)為l6i第k次迭代誤差，θL、θR為當(dāng)前循環(huán)下θi取值的邊界；ε為設(shè)定的求解精度。

(2)外層6-RUS機(jī)構(gòu)正解

根據(jù)各分支子閉環(huán)內(nèi)實(shí)際驅(qū)動(dòng)，通過步驟(1)求得子閉環(huán)輸出桿的轉(zhuǎn)角θ，即外層6-RUS機(jī)構(gòu)分支的驅(qū)動(dòng)角。對(duì)于6-RUS機(jī)構(gòu)，全部輸入θi已知，求動(dòng)平臺(tái)的位姿W(t),為機(jī)構(gòu)正解過程。

q=f(W)

(20)

方程組(20)為非線性方程組，根據(jù)輸入q求位姿W，解析方法難以求解，因此考慮采用數(shù)值法。為了讓求解過程快速收斂，可采用牛頓法[21]，迭代方程為

Wk+1=Wk+G(Wk)qΔk

(21)

其中

qΔk=q-f(Wk)

(22)

式中Wk——第k次迭代位姿

qΔk——q的第k次迭代誤差

G——機(jī)構(gòu)一階影響系數(shù)

外層6-RUS機(jī)構(gòu)正解流程如圖8所示。

圖8 6-RUS機(jī)構(gòu)正解流程圖Fig.8 Process of forward solution of 6-RUS mechanism

5 數(shù)值算例與仿真

通過理論模型計(jì)算和運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分別對(duì)上述理論分析正確性進(jìn)行驗(yàn)證。不同的反解分配策略得到僅是無窮解中的一組，因此只需按一種策略進(jìn)行驗(yàn)證即可，本文按先Wu(t)后Wv(t)策略進(jìn)行。

5.1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

動(dòng)平臺(tái)與基座鉸鏈點(diǎn)尺寸如圖9所示。

圖9 鉸鏈點(diǎn)分布尺寸圖Fig.9 Distribution dimension diagram of hinge points

驅(qū)動(dòng)分支內(nèi)各桿件尺寸見表1。

根據(jù)上述參數(shù)建立機(jī)構(gòu)三維模型，并導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真。

表1 桿件尺寸參數(shù)

5.2 單自由度運(yùn)動(dòng)融合算例

首先驗(yàn)證機(jī)構(gòu)在單一輸出自由度方向上的運(yùn)動(dòng)融合能力，機(jī)構(gòu)具有6個(gè)輸出自由度，分別為3轉(zhuǎn)動(dòng)和3移動(dòng)，任取其中2個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)作為數(shù)值算例。不失一般性，選取x軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)和y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)為例。

(1)繞x軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)

給定動(dòng)平臺(tái)單軸雙模融合運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

(23)

其中

rx(t)=r1x(t)+r2x(t)

(24)

式中rx——x軸角位移

r1x——x軸角位移位姿運(yùn)動(dòng)分量

r2x——x軸角位移振動(dòng)分r1x(t)=10°sin(0.4πt)，r2x(t)=1°sin(2πt)，按先Wu(t)后Wv(t)規(guī)則，計(jì)算l1i(t)和l6i(t)的驅(qū)動(dòng)增量u(t)和v(t)，理論值如圖10所示。

圖10 繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雙輸入理論值Fig.10 Dual-input theoretical value of x-axis rotation

繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，容易判斷分支1、2，分支3、6和分支4、5的驅(qū)動(dòng)規(guī)律兩兩相同，因此圖10中6條分支的驅(qū)動(dòng)曲線兩兩覆蓋，呈現(xiàn)3種規(guī)律。雙模融合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真需要通過2次仿真來驗(yàn)證。第1次，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為r1x(t)，并且令v(t)=0，仿真后測量u(t)的變化規(guī)律；第2次，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)為r(t)，并將上一次仿真所得數(shù)據(jù)u(t)作為已知條件給入系統(tǒng)，仿真后測量v(t)。兩次仿真得到的輸入增量u(t)和v(t)的變化曲線如圖11所示。

圖11 繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雙輸入仿真值Fig.11 Dual-input simulation value of x-axis rotation

對(duì)比圖10和圖11可知，理論計(jì)算值與仿真值的變化趨勢(shì)一致。進(jìn)一步精確對(duì)比，將仿真數(shù)據(jù)導(dǎo)出并與每一時(shí)刻的理論計(jì)算值作差，得雙輸入偏差曲線，如圖12所示。

圖12 繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)理論與仿真輸入偏差Fig.12 Input deviation between theory and simulation of x-axis rotation

(2)繞y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)

給定繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的雙模融合運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

(25)

其中

ry(t)=r1y(t)+r2y(t)

(26)

式中ry——y軸角位移

r1y——y軸角位移位姿運(yùn)動(dòng)分量

r2y——y軸角位移振動(dòng)分r1y(t)=8°sin(2πt/3)，r2y(t)=0.5°sin(4πt)。同樣按先Wu(t)后Wv(t)計(jì)算u(t)和v(t)的理論值，如圖13所示。

圖13 繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雙輸入理論值Fig.13 Dual-input theoretical value of y-axis rotation

以相同運(yùn)動(dòng)規(guī)律在ADAMS中仿真，仿真同樣需要兩次，得仿真結(jié)果如圖14所示。

圖14 繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雙輸入仿真值Fig.14 Dual-input simulation value of y-axis rotation

對(duì)比圖13、14可知，理論計(jì)算與仿真結(jié)果曲線變化規(guī)律基本一致。進(jìn)一步精確驗(yàn)證，同樣作出理論計(jì)算與仿真結(jié)果的偏差曲線如圖15所示。

圖15 繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)理論與仿真輸入偏差Fig.15 Input deviation between theory and simulation of y-axis rotation

圖15中偏差數(shù)據(jù)同樣為10-6量級(jí)，再次證明機(jī)構(gòu)輸出單自由度的融合運(yùn)動(dòng)時(shí)，理論值與仿真值完全一致。通過以上兩個(gè)算例可以證明，機(jī)構(gòu)反解的理論模型對(duì)于單自由度運(yùn)動(dòng)是正確的。

5.3 多自由度運(yùn)動(dòng)融合算例

表2 融合運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.2 Fusion motion parameters

圖16 三軸復(fù)合下雙模融合運(yùn)動(dòng)輸入理論值Fig.16 Theoretical values of inputs with dual-mode fusion motion under triaxial composite

圖17 三軸復(fù)合下雙模融合運(yùn)動(dòng)輸入仿真值Fig.17 Simulation values of inputs with dual-mode fusion motion under triaxial composite

根據(jù)給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并按先Wu(t)后Wv(t)規(guī)則，通過理論模型計(jì)算得雙輸入曲線如圖16所示。以同樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和求解規(guī)則，運(yùn)用ADAMS仿真得輸入曲線如圖17所示。計(jì)算、仿真過程與單自由度算例相似。

對(duì)比圖16、17可知，三軸復(fù)合下，平臺(tái)進(jìn)行雙模融合運(yùn)動(dòng)，輸入理論計(jì)算值與仿真值變化趨勢(shì)一致。導(dǎo)出理論值與仿真值數(shù)據(jù)，兩者作差，并繪制偏差曲線如圖18所示。

圖18 三軸復(fù)合下雙模融合運(yùn)動(dòng)輸入偏差Fig.18 Input deviationof dual-mode fusion motion under triaxial composite

由圖18可知，任意時(shí)刻理論計(jì)算與仿真結(jié)果的偏差均在10-6量級(jí)，可以認(rèn)定理論結(jié)果與仿真結(jié)果完全相同。證明運(yùn)動(dòng)學(xué)反解理論模型對(duì)于多自由度復(fù)合下的雙模融合運(yùn)動(dòng)同樣正確。

5.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解算例與仿真

根據(jù)上述關(guān)系，任意給定一組各輸入的幅值和周期，參數(shù)如表3、4所示。

表3 調(diào)姿輸入?yún)?shù)Tab.3 Attitude adjustment input parameters

表4 振動(dòng)輸入?yún)?shù)Tab.4 Vibration input parameters

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的理論運(yùn)算流程，在雙輸入融合驅(qū)動(dòng)下，動(dòng)平臺(tái)的6維位姿輸出曲線如圖19所示，其中，rx、ry、rz為按x-y-z順序歐拉角測量，rz為z軸角位移；px和py分別表示x軸位移和y軸位移。并將同樣的驅(qū)動(dòng)規(guī)律給入仿真模型，仿真后測量動(dòng)平臺(tái)的位姿輸出，方位度量規(guī)則以及位置測量參考點(diǎn)與理論計(jì)算保持一致，測量結(jié)果如圖20所示。

從圖19、20可以看出，每個(gè)自由度上的運(yùn)動(dòng)均呈現(xiàn)大幅值上疊加小幅值的規(guī)律，證明機(jī)構(gòu)能夠把雙輸入子閉環(huán)內(nèi)的兩個(gè)獨(dú)立的輸入進(jìn)行融合，并在輸出運(yùn)動(dòng)上得以體現(xiàn)。對(duì)比理論結(jié)果和仿真結(jié)果，可以看出，動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是一致的。進(jìn)一步精確對(duì)比，將仿真結(jié)果導(dǎo)出，并與理論計(jì)算值作差，得到正解位姿輸出的偏差曲線如圖21所示。

圖19 動(dòng)平臺(tái)位姿理論值Fig.19 Theoretical posture of moving platform

圖20 動(dòng)平臺(tái)位姿仿真值Fig.20 Simulation posture of moving platform

圖21 理論值與仿真值位姿偏差Fig.21 Deviation of posture between theory and simulation

圖21中，erx、ery、erz分別表示歐拉角3個(gè)方向的偏差，epx、epy、epz表示3個(gè)方向位移的偏差。由圖21可知，偏差最大取值范圍仍在10-6量級(jí)，可以認(rèn)定理論結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致。證明機(jī)構(gòu)正解的流程與方法同樣正確。

6 結(jié)論

(1)提出一種通過六桿機(jī)構(gòu)與機(jī)構(gòu)原驅(qū)動(dòng)桿件組合的新型雙輸入子閉環(huán)結(jié)構(gòu)。使機(jī)構(gòu)既能實(shí)現(xiàn)雙模式運(yùn)動(dòng)融合，又可以保持原6-RUS機(jī)構(gòu)的原動(dòng)件不變。

(2)建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型和內(nèi)、外層機(jī)構(gòu)數(shù)值方法的正解流程，將分析過程分為子閉環(huán)內(nèi)與外主體機(jī)構(gòu)兩部分，子閉環(huán)的輸出運(yùn)動(dòng)即為外主體機(jī)構(gòu)的輸入，其中外主體即為6-RUS機(jī)構(gòu)，可以直接運(yùn)用原有結(jié)論進(jìn)行分析，將雙輸入融合的難點(diǎn)問題集中在雙輸入子閉環(huán)內(nèi)。

(3)通過算例分別對(duì)單軸運(yùn)動(dòng)雙模融合、多軸復(fù)合運(yùn)動(dòng)雙模融合的反解，以及雙輸入融合驅(qū)動(dòng)下的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行理論計(jì)算與仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，理論分析結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致，證明了針對(duì)所提構(gòu)型所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型以及計(jì)算流程的正確性。