◎ 吳子昊 吳莖潔

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《2020修訂版課標(biāo)》）中提出高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，其中“直觀想象”是六大核心素養(yǎng)之一，并提出要將培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的目標(biāo)落實(shí)于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中。有研究指出，學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅可以在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中得到落實(shí)，還可以通過(guò)整合、開(kāi)發(fā)豐富的課程資源，采取多樣的學(xué)習(xí)方式對(duì)課程進(jìn)行創(chuàng)新性建構(gòu)［1］，使學(xué)生在真實(shí)情境中提升素養(yǎng)。本文旨在以數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)為載體探究如何達(dá)成直觀想象素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。

一、PBL與直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

《2020修訂版課標(biāo)》對(duì)直觀想象素養(yǎng)的界定如下：直觀想象是學(xué)生借助幾何直觀、空間想象感受物體形狀的多樣性以及物體的運(yùn)動(dòng)變化，利用幾何圖形解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)［2］。

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)（Project-Based Learning）（以下簡(jiǎn)稱“PBL”）發(fā)源于20世紀(jì)美國(guó)著名哲學(xué)家、教育家杜威的實(shí)用主義教育思想，包括“三中心論”——經(jīng)驗(yàn)中心、兒童中心、活動(dòng)中心，“從做中學(xué)”等［3］。PBL以學(xué)生為中心，以學(xué)科概念和原理為基礎(chǔ)，其主要形式是學(xué)生以小組為單位圍繞復(fù)雜、真實(shí)問(wèn)題或任務(wù)進(jìn)行相互協(xié)作、研究，解決問(wèn)題，制作項(xiàng)目產(chǎn)品或形成解決方案，從而建構(gòu)學(xué)科知識(shí)體系。

直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)立足于學(xué)生對(duì)物體形狀多樣性和物體運(yùn)動(dòng)變化在平面與空間中的直觀感受，而要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將其抽象出來(lái)則依賴于生活中的大量真實(shí)情境，這與PBL重視對(duì)真實(shí)問(wèn)題的解決這一特點(diǎn)有著內(nèi)在的邏輯一致性。培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)需要在大量具體的現(xiàn)實(shí)情境和抽象的純數(shù)學(xué)情境中，提供各種具體實(shí)物或抽象化的實(shí)物模型、幾何模型、三維立體模擬模型等，通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)逐步積累豐富的直觀想象方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)［4］。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，PBL活動(dòng)過(guò)程中呈現(xiàn)出的多種現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)情境問(wèn)題與學(xué)生最終基于這些驅(qū)動(dòng)問(wèn)題完成的“數(shù)學(xué)作品”（實(shí)物或非實(shí)物）能夠作為直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的有效載體。

直觀想象素養(yǎng)的形成需要依托空間形式特別是幾何圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考［5］，且已有國(guó)外研究表明，PBL對(duì)于幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)活動(dòng)往往能夠產(chǎn)生積極的影響［6］。另外，PBL在非認(rèn)知因素比如幾何學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)上的積極影響則更加明顯［7］，PBL對(duì)于那些“高能力卻因?yàn)樯险n分心而表現(xiàn)不佳”的學(xué)生尤其有效，這種形式的學(xué)習(xí)方式較好地抓住了學(xué)生的注意力，提高了其學(xué)習(xí)的熱情。

在現(xiàn)階段，我國(guó)數(shù)學(xué)PBL的設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)、實(shí)施、評(píng)價(jià)等各環(huán)節(jié)并不成熟，其體系亟待完善［8］。這對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)提出了一定程度的變革與挑戰(zhàn)，課程的創(chuàng)新性建構(gòu)需要學(xué)科教育研究人員與基礎(chǔ)教育工作者一起群策群力。本文以高中數(shù)學(xué)中的部分解析幾何、立體幾何內(nèi)容為例，探究如何創(chuàng)新性地建構(gòu)旨在有效培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的PBL活動(dòng)。

二、選定項(xiàng)目主題

從學(xué)科角度來(lái)看，直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)的形成有著密切關(guān)系，并且在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)的形成發(fā)展過(guò)程中都離不開(kāi)直觀想象素養(yǎng)。直觀想象素養(yǎng)與解析幾何、立體幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)?！?020修訂版課標(biāo)》中要求“在平面解析幾何的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)例了解幾何圖形的背景、結(jié)合情境描述圖形特征及問(wèn)題，借助直觀想象解決問(wèn)題”。按照線性順序?qū)W習(xí)，學(xué)生能夠掌握?qǐng)A錐曲線、立體幾何兩部分相應(yīng)知識(shí)，但對(duì)于建立知識(shí)的聯(lián)系，掌握知識(shí)的異同，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通存在不足，因此需要一個(gè)載體將兩部分內(nèi)容有機(jī)結(jié)合。

從學(xué)生角度來(lái)看，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往不能較好地將立體幾何與平面幾何相結(jié)合及采用幾何的方法揭示數(shù)學(xué)結(jié)論本質(zhì)。學(xué)生在日積月累的應(yīng)試訓(xùn)練中習(xí)慣采用代數(shù)法，即建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法解決立體幾何問(wèn)題，難以從圖形中判斷平面幾何圖形與立體幾何圖形之間的位置等關(guān)系，因此需要一種有效的學(xué)習(xí)方式幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

PBL活動(dòng)是學(xué)生在復(fù)雜的、真實(shí)的問(wèn)題中探索學(xué)習(xí)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中能夠使學(xué)生掌握所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能。與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂不同，學(xué)生在PBL中通過(guò)自主探究、小組合作等方式達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解。通過(guò)數(shù)學(xué)PBL，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生能夠自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并給出解決問(wèn)題的模型。在這個(gè)過(guò)程中能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不是記憶公式定理、不是無(wú)盡題海，學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題。

基于以上思考，有充分的理由認(rèn)為PBL是聯(lián)結(jié)解析幾何與立體幾何內(nèi)容的較好方式，由此選定項(xiàng)目主題——解析幾何和立體幾何PBL活動(dòng)。

三、設(shè)計(jì)項(xiàng)目任務(wù)

具體而言，將本項(xiàng)目分為四個(gè)子任務(wù)，并給每個(gè)子任務(wù)設(shè)計(jì)若干驅(qū)動(dòng)問(wèn)題供學(xué)生小組選擇并進(jìn)行研究。需要說(shuō)明的是，PBL活動(dòng)只能作為一種輔助性教學(xué)手段，無(wú)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)，因此本研究設(shè)計(jì)的若干PBL活動(dòng)建議教師在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)解析幾何與立體幾何內(nèi)容后作為一種課外補(bǔ)充活動(dòng)加入。

（一）項(xiàng)目任務(wù)與驅(qū)動(dòng)問(wèn)題

1.任務(wù)一：橢圓的繪制

（1）教材上提供了利用圖板、細(xì)繩和釘子畫出橢圓的方法，其原理是橢圓的第一定義。你能選擇一種數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、超級(jí)畫板、Geogebra等）并根據(jù)橢圓的第一定義繪制橢圓嗎？你能找到幾種方法？

（2）利用你所選擇的數(shù)學(xué)軟件，如何根據(jù)平面截圓錐的方式在空間中繪制橢圓？思考圓和橢圓的關(guān)系，你能說(shuō)明圓錐與這兩種平面圖形的關(guān)系嗎？

（3）你能將這些方法進(jìn)行歸類，并評(píng)價(jià)一下它們的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？

所需數(shù)學(xué)知識(shí)或技能：橢圓、圓、圓錐的定義和性質(zhì)；學(xué)會(huì)收集資料，閱讀文獻(xiàn)；使用一種數(shù)學(xué)軟件繪制橢圓。

活動(dòng)形式：選擇一種數(shù)學(xué)軟件，通過(guò)思考、討論以及查閱資料等，得出或找到繪制橢圓的不同方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行歸類和評(píng)價(jià)。

成果形式：提交一份書面報(bào)告。要求：分類介紹橢圓的繪制方法，每種方法附上所繪制橢圓的圖片（保留作圖過(guò)程，示例如圖1所示），說(shuō)明作法、原理（必要時(shí)附上證明），可簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)該方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

圖1 數(shù)學(xué)軟件繪制橢圓示例

2.任務(wù)二：橢圓車輪的滾動(dòng)

（1）為什么車輪要設(shè)計(jì)成圓形？

（2）如果想讓橢圓車輪在路面上平穩(wěn)滾動(dòng)，這樣的路面應(yīng)該是什么樣的呢？

（3）你能否制作出這樣的橢圓車輪和路面？

所需數(shù)學(xué)知識(shí)或技能：橢圓的定義和性質(zhì)；學(xué)會(huì)查找文獻(xiàn)；用數(shù)學(xué)軟件建立模型；動(dòng)手操作。

活動(dòng)形式：思考和討論車輪設(shè)計(jì)成圓形的原因，用數(shù)學(xué)軟件對(duì)橢圓車輪的“滾動(dòng)”過(guò)程建模（見(jiàn)圖2），研究制作能使橢圓車輪平穩(wěn)滾動(dòng)的路面及橢圓車輪的實(shí)物模型。

圖2 橢圓車輪滾動(dòng)過(guò)程建模

成果形式：橢圓車輪及路面實(shí)物模型，如圖3所示。

圖3 橢圓車輪及路面的實(shí)物模型示例

3.任務(wù)三：立體幾何與手工制品

（1）回憶旋轉(zhuǎn)體的形成原理，你能否用多種方法制作出圓柱、圓錐、圓臺(tái)的模型？

（2）你能繪制出正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體的平面展開(kāi)圖，并制作出模型嗎？

（3）你能利用柱、錐、臺(tái)、球等簡(jiǎn)單幾何體和正多面體拼接制成手工制品（如小鳥(niǎo)、千紙鶴等），并使其與實(shí)物盡可能相似嗎？

所需數(shù)學(xué)知識(shí)或技能：幾何體的概念；幾何體的展開(kāi)圖；幾何體的表面積、體積。

活動(dòng)形式：查閱書籍，收集相關(guān)資料，繪制簡(jiǎn)單幾何體的展開(kāi)圖并制作模型；根據(jù)自己的需要選擇并拼接幾何體，使其成為有趣的工藝品。

成果形式：成型的立體幾何手工制品。

4.任務(wù)四：空間幾何體的投影

（1）你知道三視圖的原理嗎？

（2）放置在桌面上的幾何體是如何產(chǎn)生影子的？請(qǐng)你嘗試通過(guò)調(diào)節(jié)光線與投影面的角度、改變光源照射的幾何體側(cè)面來(lái)變換幾何體的影子的形狀。

（3）請(qǐng)你通過(guò)調(diào)整幾何體（柱體、椎體、臺(tái)體、球等）的相對(duì)位置，調(diào)節(jié)光線角度來(lái)利用幾何體的影子構(gòu)圖，比如人的側(cè)面、小動(dòng)物的形狀等。

所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)或技能：球、臺(tái)體、柱體、椎體等空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；三視圖及投影；影子面積與光線角度的關(guān)系。

活動(dòng)形式：通過(guò)調(diào)節(jié)光線角度以及幾何體的擺放位置等，探索具有意義的影子圖像；鎖定圖像目標(biāo)，通過(guò)研究影子大小與光線的角度關(guān)系，影子形狀與光源照射的幾何體側(cè)面的關(guān)系，不斷修正完善自己的投影方案；拍照記錄幾何體的擺放形式，給出最佳圖案對(duì)應(yīng)的光線角度。

成果形式：照片展示（見(jiàn)圖4）、數(shù)學(xué)海報(bào)、數(shù)學(xué)論文。

圖4 空間幾何體的投影示例

（二）項(xiàng)目任務(wù)所涉及的知識(shí)點(diǎn)

四個(gè)子任務(wù)的開(kāi)展均需要扎實(shí)的解析幾何和立體幾何知識(shí)作為理論基礎(chǔ)。PBL活動(dòng)主要涉及如下有關(guān)幾何的知識(shí)點(diǎn)，如圖5和圖6所示。

圖5 解析幾何所涉及知識(shí)點(diǎn)

圖6 立體幾何所涉及知識(shí)點(diǎn)

四、制定評(píng)價(jià)方式

PBL中任務(wù)的實(shí)施以學(xué)生小組為單位自主活動(dòng)為主，教師給予及時(shí)的指導(dǎo)，幫助學(xué)生自我評(píng)估。在項(xiàng)目完成后教師可設(shè)置問(wèn)題串，定性評(píng)價(jià)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，考查學(xué)生在經(jīng)歷PBL活動(dòng)后是否對(duì)幾何知識(shí)有認(rèn)知上的提升。

問(wèn)題一：在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水。當(dāng)圓柱桶豎直、水平、傾斜時(shí)，圓錐桶內(nèi)水平面可能呈現(xiàn)出哪些幾何形狀，畫出直觀示意圖說(shuō)明。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：?jiǎn)栴}一將立體幾何與解析幾何相結(jié)合，主要考查學(xué)生利用實(shí)物，運(yùn)用特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，借助直觀想象探討問(wèn)題，揭示數(shù)學(xué)結(jié)論本質(zhì)。

問(wèn)題二：參考圖7，證明點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)橢圓，即證明｜PF｜+｜PF′｜為定值。

圖7 Dandelin雙球

設(shè)計(jì)說(shuō)明：?jiǎn)栴}二設(shè)計(jì)了一個(gè)Dandelin雙球問(wèn)題用于辨析橢圓的第一定義，旨在考查學(xué)生對(duì)于橢圓的深入理解及立體幾何空間想象能力。

另一種評(píng)價(jià)方式是學(xué)生根據(jù)自己在PBL活動(dòng)中的參與表現(xiàn)進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，該評(píng)價(jià)大多體現(xiàn)在情感、興趣、動(dòng)機(jī)等非認(rèn)知因素上。例如，任務(wù)二的目標(biāo)是合作制作能使橢圓車輪平穩(wěn)滾動(dòng)的路面模型，在過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神，運(yùn)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能完成任務(wù)，針對(duì)任務(wù)二的活動(dòng)過(guò)程，制定過(guò)程性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。過(guò)程性評(píng)價(jià)主要以自評(píng)的形式進(jìn)行，自評(píng)側(cè)重于學(xué)生在活動(dòng)中表現(xiàn)出四個(gè)方面的能力：①文獻(xiàn)收集與運(yùn)用能力；②團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力；③數(shù)學(xué)運(yùn)用和交流表達(dá)能力；④創(chuàng)新能力，并將其定量描述為不同權(quán)重的得分，主要通過(guò)學(xué)生自我評(píng)分的形式來(lái)完成。

五、結(jié)論與啟示

（一）旨在培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的PBL活動(dòng)特征

本文對(duì)旨在培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的PBL活動(dòng)的建構(gòu)與開(kāi)發(fā)進(jìn)行具體描述，揭示其一般性與特殊性的特征。一般性體現(xiàn)在其活動(dòng)特點(diǎn)：較為廣泛的知識(shí)覆蓋面、小組探究、多樣的成果形式、多種評(píng)價(jià)方式相結(jié)合等；特殊性體現(xiàn)在基于不同內(nèi)容載體還有更加豐富的項(xiàng)目活動(dòng)值得開(kāi)發(fā)。

PBL這種學(xué)習(xí)形式盡管新穎，但是在迎合項(xiàng)目連貫性時(shí)常常會(huì)破壞原有的知識(shí)體系及順序，因此教師應(yīng)注意在設(shè)計(jì)項(xiàng)目任務(wù)時(shí)盡量避免PBL帶來(lái)的知識(shí)離散化、碎片化問(wèn)題，盡量使知識(shí)的傳授具有其原有的邏輯體系，使其真正落實(shí)到直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)中去。

（二）PBL活動(dòng)對(duì)學(xué)生非認(rèn)知因素的積極影響

國(guó)外有關(guān)不同學(xué)科PBL的相關(guān)實(shí)證研究表明，PBL對(duì)低學(xué)習(xí)成就學(xué)生有積極影響［9］。數(shù)學(xué)學(xué)科的研究也表明，低學(xué)業(yè)表現(xiàn)的學(xué)生在PBL中比較高學(xué)業(yè)表現(xiàn)的學(xué)生有更大的進(jìn)步［10］。PBL活動(dòng)的呈現(xiàn)形式使知識(shí)更具情境性和真實(shí)性，這對(duì)具有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)焦慮或是缺乏學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)機(jī)等類型的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有一定幫助。有理由認(rèn)為，本研究設(shè)計(jì)的PBL活動(dòng)可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的興趣與動(dòng)機(jī)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的非認(rèn)知因素上有所突破。