孔德坤 張子南

“晶胞的計(jì)算”一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，近幾年新高考試題中晶胞的計(jì)算由立方晶系逐漸過(guò)渡到四方晶系、六方晶系和正交晶系，如何高效快速解決晶胞問(wèn)題呢？本文嘗試通過(guò)遷移“高中數(shù)學(xué)知識(shí)”來(lái)解決晶胞計(jì)算的難點(diǎn)問(wèn)題，以供學(xué)生參考學(xué)習(xí)使用，

一、均攤法在計(jì)算微粒數(shù)目時(shí)的應(yīng)用

1.立方晶系、四方晶系、正交晶系晶胞中不同位置粒子的計(jì)算（見(jiàn)圖1）

注：對(duì)于獨(dú)立原子構(gòu)成的分子，其分子式不能用均攤法，直接根據(jù)晶胞得出，

二、遷移數(shù)學(xué)知識(shí)解決新高考中晶胞計(jì)算問(wèn)題

1.利用“平行線定理和勾股定理”計(jì)算兩原子之間的距離

例l （2021年山東高考題節(jié)選）XeF2晶體屬四方晶系，晶胞參數(shù)如圖4所示，晶胞棱邊夾角均為90°，以晶胞參數(shù)為單位長(zhǎng)度建立的坐標(biāo)系可以表示晶胞中各原子的位置，稱為原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，如A點(diǎn)原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為（1/2，1/2，1/2）.已知Xe-F鍵長(zhǎng)為rpm，則晶胞中A、B間距離d= ___pm.

例2 （2020年山東高考節(jié)選）以晶胞參數(shù)為單位長(zhǎng)度建立的坐標(biāo)系可以表示晶胞中各原子的位置，稱作原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo).四方晶系CdSnAs，的晶胞結(jié)構(gòu)如圖6所示，晶胞棱邊夾角均為90°，晶胞中部分原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)如表1所示.

找出距離Cd（0，0，0）最近的Sn ____（用分?jǐn)?shù)坐標(biāo)表示）.

解析原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)是指晶胞中的原子坐標(biāo)只能取分?jǐn)?shù)或零.晶體中原子的坐標(biāo)參數(shù)是以晶胞的i個(gè)軸作為坐標(biāo)軸，以三個(gè)軸的軸長(zhǎng)（a，b，c）作為坐標(biāo)軸的單位，如圖7所示.與數(shù)學(xué)上空間向量坐標(biāo)的計(jì)算方法一致，區(qū)別在于數(shù)學(xué)上用實(shí)際長(zhǎng)度表示，在晶體中坐標(biāo)全部用分?jǐn)?shù)表示，逢1為0，即為原子位置在各晶軸方向的長(zhǎng)度（即數(shù)學(xué)實(shí)際值）除以晶軸的長(zhǎng)度所得的值，若所得值為1則寫為0.

由均攤法可知黑球數(shù)目為1+1/2×4+8×1/8=4，白色大球在內(nèi)部為8個(gè)，白色小球數(shù)目為1/4 x4+6×1/2=4，又其中一個(gè)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為（0，0，0），說(shuō)明黑球代表Cd，白色大球代表As，白色小球代表Sn，此外，也可以根據(jù)各原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)判斷，距離Cd（0，0，0）最近的Sn如圖8中的A、B.A點(diǎn)在數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)為（0. 5a，0，0.25a），B點(diǎn)在數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)為（0. 5a，0.5a，0）.在晶體中，用對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)坐標(biāo)除于晶軸對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度，即可得到對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為A（O.5，0，0.25）、B（O.5，0.5，0），故距離Cd（0.0，0）最近的Sn為（0.5，0.0. 25）、（0.5，0.5，0）.

3，利用“球的體積公式”計(jì)算空間占有率

例3 （2021年全國(guó)乙卷節(jié)選）AICr2具有體心四方結(jié)構(gòu)，如圖9所示，處于頂角位置的是 原子.設(shè)Cr和A1原子半徑分別為ro和rAl，則金屬原子空間占有率為_(kāi)__%（列計(jì)算表達(dá)式）.

②根據(jù)投影定理，點(diǎn)在平面上的投影為過(guò)點(diǎn)做平面的垂線，垂足即為投影點(diǎn).晶胞在x軸方向上的投影即為晶胞中各原子在正面（即平面ABCD）上的投影，根據(jù)投影定理可以畫出其投影如圖11所示.