寇立偉 項(xiàng) 基

近年來(lái),多移動(dòng)機(jī)器人的協(xié)同控制得到了越來(lái)越廣泛的研究與應(yīng)用[1?5].和單一機(jī)器人相比,多移動(dòng)機(jī)器人能夠執(zhí)行更加復(fù)雜的任務(wù),同時(shí)對(duì)外部環(huán)境的變化有更強(qiáng)的魯棒性.典型的多移動(dòng)機(jī)器人協(xié)同控制主要包括包絡(luò)控制[6]、主從編隊(duì)控制[7]、環(huán)形運(yùn)動(dòng)控制等.本文主要研究非完整約束下的多移動(dòng)機(jī)器人的包圍控制問(wèn)題,旨在設(shè)計(jì)一種協(xié)同控制器,不考慮具體的編隊(duì)形狀同時(shí)能夠保證移動(dòng)目標(biāo)指數(shù)收斂到多移動(dòng)機(jī)器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部.

目前,已有一些完整、系統(tǒng)的包圍控制研究成果.如文獻(xiàn)[8]采用圖論和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論研究了一階積分型機(jī)器人的包圍控制問(wèn)題;文獻(xiàn)[9]利用復(fù)鄰接矩陣方法設(shè)計(jì)了一種分布式包圍控制器.但是,以上控制策略無(wú)法擴(kuò)展到受非完整約束的多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng).非完整系統(tǒng)控制的難點(diǎn)在于,不存在任何連續(xù)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律使其穩(wěn)定到平衡點(diǎn)[10].然而,文獻(xiàn)[11]指出如果選擇合適的坐標(biāo)平移,非完整系統(tǒng)能夠滿足輸出反饋線性化條件,使得控制器設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)潔.該方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在機(jī)器人、水面船等各類非完整系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中[12?13].

另一方面,多移動(dòng)機(jī)器人的包圍控制問(wèn)題可認(rèn)為是環(huán)形運(yùn)動(dòng)控制的擴(kuò)展.環(huán)形運(yùn)動(dòng)控制在包圍目標(biāo)點(diǎn)的同時(shí),圍繞目標(biāo)點(diǎn)做等角度的圓周運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)[14]考慮靜止目標(biāo),研究了在聯(lián)合連通圖條件下的環(huán)形運(yùn)動(dòng)控制.文獻(xiàn)[15]考慮了速度約束下的非完整移動(dòng)機(jī)器人的環(huán)形運(yùn)動(dòng)控制.在實(shí)際工程應(yīng)用中,感興趣的目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)常隨著時(shí)間不斷變化.文獻(xiàn)[16?17]研究了多小車對(duì)常速移動(dòng)目標(biāo)的環(huán)形包圍;文獻(xiàn)[18]研究了目標(biāo)速度時(shí)變情況下的環(huán)形包圍控制.

以上文獻(xiàn)都要求事先指定編隊(duì)形狀或是相鄰機(jī)器人之間、機(jī)器人和目標(biāo)點(diǎn)之間的相對(duì)距離/角度.然而,考慮實(shí)際復(fù)雜時(shí)變的外部環(huán)境,不可能對(duì)其事先指定.而且對(duì)于時(shí)效性較強(qiáng)的包圍控制,將目標(biāo)包圍在機(jī)器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部是其首要任務(wù),例如軍事領(lǐng)域中對(duì)敵方目標(biāo)的包圍打擊等.基于以上考慮,文獻(xiàn)[19]提出了一種新的目標(biāo)包圍控制策略,該策略能夠使目標(biāo)收斂到多智能體構(gòu)成的凸包內(nèi)部,并且無(wú)需指定包圍隊(duì)形.

在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,本文研究了受非完整約束的多移動(dòng)機(jī)器人的移動(dòng)目標(biāo)包圍控制問(wèn)題.通過(guò)坐標(biāo)偏置,為移動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)輸出反饋線性化控制器,并引入障礙函數(shù)和自適應(yīng)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)障礙規(guī)避和對(duì)移動(dòng)目標(biāo)的速度估計(jì).和文獻(xiàn)[19]相比,本文一方面將單積分系統(tǒng)擴(kuò)展到了受非完整約束的多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng),另一方面將靜止目標(biāo)擴(kuò)展到了未知常速移動(dòng)的目標(biāo).主要貢獻(xiàn):1) 控制器可使多移動(dòng)機(jī)器人包圍移動(dòng)目標(biāo),使其指數(shù)收斂至移動(dòng)機(jī)器人所構(gòu)成的凸包內(nèi)部;2) 引入障礙函數(shù)保證了機(jī)器人之間的障礙規(guī)避;3) 引入自適應(yīng)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)了對(duì)移動(dòng)目標(biāo)的速度估計(jì);4) 利用局部線性化方法研究了多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)方位角動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性.

1 系統(tǒng)建模和問(wèn)題描述

文中,N={1,2,···,n},n代表移動(dòng)機(jī)器人個(gè)數(shù),本文假設(shè)n ≥3.?θ ∈R,R(θ)=[τ(θ),ν(θ)],τ(θ)=[cos(θ),sin(θ)]T,ν(θ)=[?sin(θ),cos(θ)]T.給定任一n維向量x∈Rn,∥x∥=[|x1|,|x2|,···,|xn|]T,∥x∥代表模長(zhǎng).給定任意兩個(gè)向量xi和xj,xij:=xi ?xj.xi ?xj(xi xj) 表示xi, k

1.1 系統(tǒng)建模

考慮如下n個(gè)移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

ri=[xi,yi]T表示世界坐標(biāo)系下機(jī)器人i的幾何中心,θi代表機(jī)器人的方位角.ui=[ui,ωi]T代表機(jī)器人的獨(dú)立控制輸入,其中ui和ωi分別代表機(jī)器人的縱向線速度和旋轉(zhuǎn)角速度.

定義多移動(dòng)機(jī)器人的位置分布r=[r1,r2,···,rn]和相應(yīng)多移動(dòng)機(jī)器人構(gòu)成的凸包:

其中,r0表示目標(biāo)的位置,v0表示運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的未知常值速度.目標(biāo)點(diǎn)和凸包距離定義如下:

顯然,當(dāng)且僅當(dāng)r0∈co(r),Pr0(r)=0.該結(jié)果表示實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)目標(biāo)包圍控制目標(biāo).

本文選取移動(dòng)機(jī)器人i縱軸正前方,距離機(jī)器人幾何中心δ遠(yuǎn)的點(diǎn)作為偏置點(diǎn)(第2 節(jié)分析表明相對(duì)ui滿足輸出反饋線性化條件),如圖1所示.此外,本文采用最近鄰居規(guī)則來(lái)確定機(jī)器人i的鄰居節(jié)點(diǎn).機(jī)器人i的鄰居節(jié)點(diǎn)可由以下集合Ni表示

圖1 目標(biāo)包圍示意圖Fig.1 Illustration of target fencing

1.2 問(wèn)題描述

由于目標(biāo)速度v0未知,本文引入自適應(yīng)項(xiàng)vi對(duì)v0進(jìn)行估計(jì).結(jié)合第1.1 節(jié)機(jī)器人i的局部測(cè)量信息,本文研究的移動(dòng)目標(biāo)包圍控制問(wèn)題可總結(jié)如下.

考慮多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)(1)和目標(biāo)動(dòng)態(tài)(2),設(shè)計(jì)帶有速度估計(jì)器vi的控制器ui,例如

使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下三個(gè)性質(zhì):

1)目標(biāo)指數(shù)收斂到多移動(dòng)機(jī)器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部,即limt→∞Pr0(r(t))=0;

2)機(jī)器人之間的碰撞可以避免,即∥rij(t)∥>d,?t ≥0,ij ∈N;

3) 速度估計(jì)器vi漸近收斂到目標(biāo)速度v0,即limt→∞vi(t)=v0.

2 主要結(jié)果

本節(jié)首先利用輸出反饋線性化方法推導(dǎo)出多移動(dòng)機(jī)器人的移動(dòng)目標(biāo)包圍控制策略,然后利用Lyapunov 理論對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行了嚴(yán)格的收斂性分析.

2.1 控制器設(shè)計(jì)

由式(1)可知,機(jī)器人i動(dòng)態(tài)滿足如下約束:

Frobenius 定理表明該約束不可積,因此該約束是典型的非完整約束,不滿足反饋線性化的條件,無(wú)法通過(guò)線性化的方法設(shè)計(jì)控制器.文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步指出,不存在任何連續(xù)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律使該系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn).為克服以上缺點(diǎn),本文選取移動(dòng)機(jī)器人i縱軸正前方,距離機(jī)器人幾何中心δ遠(yuǎn)的點(diǎn)作為偏置點(diǎn)(如圖1 所示).由幾何關(guān)系可知,該點(diǎn)與機(jī)器人幾何中心滿足=ri+τ(θ)δ,該點(diǎn)隨時(shí)間微分可得

式中,常數(shù)矩陣Q=diag{1,δ }. 由于R(θi)Q為可逆矩陣,表明輸出相對(duì)于輸入ui相對(duì)階為1,滿足輸出反饋線性化條件[20].

定義誤差向量

該向量隨時(shí)間微分可得

由于無(wú)法獲取移動(dòng)目標(biāo)的速度信息,本文利用速度估計(jì)器對(duì)其估計(jì).控制器設(shè)計(jì)如下

2.2 收斂性分析

定理 1.考慮多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)(1) 和移動(dòng)目標(biāo)動(dòng)態(tài)(2),其中移動(dòng)目標(biāo)以未知常速運(yùn)動(dòng).假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人位置在初始時(shí)刻滿足∥rij(0)∥>d,ij ∈N,則當(dāng)參數(shù)δ足夠小時(shí),多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)在控制器(8)的作用下可以實(shí)現(xiàn)移動(dòng)目標(biāo)的包圍控制,同時(shí)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)滿足性質(zhì)1)～3).此外,多移動(dòng)機(jī)器人的方位角可以漸近收斂到目標(biāo)的移動(dòng)方向.

由上述分析可知,控制器可以實(shí)現(xiàn)多移動(dòng)機(jī)器人對(duì)移動(dòng)目標(biāo)的包圍控制,但并未考慮包圍控制過(guò)程中移動(dòng)機(jī)器人方位角的穩(wěn)定性.從實(shí)際應(yīng)用考慮,移動(dòng)機(jī)器人方位角的穩(wěn)定性對(duì)包圍控制的效果有重要意義.

當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)性質(zhì)1)～3)時(shí),由控制器(8)可知ui=Q?1R?1(θi)v0,其元素形式為:

定義能量函數(shù)V(θi)=1?cos(θi ?θ0)∈L∞.該函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

注 2.盡管本文設(shè)計(jì)的多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的協(xié)同包圍控制器針對(duì)的是以未知常速運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)目標(biāo),但該控制器亦適用于靜止目標(biāo).因?yàn)殪o止目標(biāo)的速度一直保持為0,亦屬于特殊的 “未知常速運(yùn)動(dòng)”的移動(dòng)目標(biāo).針對(duì)靜止目標(biāo),控制器(8)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)滿足性質(zhì)1)～3),同時(shí)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人位置和方位角的收斂.但和一般未知常速移動(dòng)目標(biāo)(即速度不為0 的常速移動(dòng)目標(biāo))相比,靜止目標(biāo)沒(méi)有移動(dòng)方向的概念,也可認(rèn)為靜止目標(biāo)的移動(dòng)方向是任意的.對(duì)于靜止目標(biāo)的協(xié)同包圍任務(wù),本文的控制器不保證機(jī)器人的方位角最終會(huì)收斂到什么方向.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)以5個(gè)移動(dòng)機(jī)器人為例,驗(yàn)證控制器的有效性.給定機(jī)器人的初始位置ri(0)=20[cos(2(i ?1)π/5),sin(2(i?1)π/5)]T,i∈{1,2,3,4,5};初始方位角θ1(0)=θ2(0)=0,θ3(0)=π/2,θ4(0)=2π/3,θ5(0)=π.移動(dòng)目標(biāo)的初始位置r0(0)=[0,?40]T,移動(dòng)速度v0=[3,1]T.給定控制器參數(shù)K=diag{0.5,0.5}以及 (δ,μ,d)=(0.1,25,15).

圖2 繪制了目標(biāo)包圍控制中多移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡.其中淺藍(lán)色虛線表示目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡,多邊形表示移動(dòng)機(jī)器人在t={0,15,30,45,60}s 時(shí)刻所構(gòu)成的凸多邊形,箭頭表示機(jī)器人在相應(yīng)時(shí)刻的位置和方位角.平均位置誤差e? 隨時(shí)間變化的曲線如圖3 所示,由圖3 可知隨時(shí)間變化e? 會(huì)收斂到0.結(jié)合第2 節(jié)收斂性分析可知,目標(biāo)包圍控制的性質(zhì)1)能夠?qū)崿F(xiàn).任意兩個(gè)機(jī)器人之間的相對(duì)距離變化如圖4 所示.由圖4 易知,機(jī)器人間的相對(duì)距離始終保持∥rij(t)∥>d,ij ∈N,因此整個(gè)目標(biāo)包圍控制可以保證障礙規(guī)避.

圖2 目標(biāo)包圍控制中多移動(dòng)機(jī)器人的軌跡Fig.2 Trajectories of multiple mobile robots during target fencing control

圖3 平均位置誤差Fig.3 Time evolution of the average position error

圖4 機(jī)器人 i 和 j 之間的相對(duì)距離Fig.4 Time evolution of the relative distance between robot i and robot j

此外,速度估計(jì)曲線隨時(shí)間變化如圖5 所示,由圖5 可知速度估計(jì)會(huì)漸近收斂到目標(biāo)速度,即limt→∞vi(t)=v0.圖6 繪制了機(jī)器人在世界坐標(biāo)系下的速度隨時(shí)間變化曲線,由圖6 可知該速度漸近收斂到目標(biāo)速度.圖7 繪制了機(jī)器人的方位角隨時(shí)間變化的曲線,由圖7 易知所有機(jī)器人的方位角都可漸近收斂到目標(biāo)的移動(dòng)方向.

圖5 速度估計(jì)Fig.5 Time evolution of the velocity estimation

圖6 機(jī)器人在世界坐標(biāo)系下的速度Fig.6 The robots＇ velocity in terms of global frame of reference

圖7 機(jī)器人的方位角Fig.7 The robots＇ bearing angle

4 結(jié)論

本文研究了非完整約束下多移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的移動(dòng)目標(biāo)包圍控制問(wèn)題.控制器基于輸出反饋線性化方法,并且無(wú)需事先指定包圍隊(duì)形.基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)作了嚴(yán)格的收斂性分析.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)包圍控制、機(jī)器人間的障礙規(guī)避、對(duì)移動(dòng)目標(biāo)未知速度的有效估計(jì)以及機(jī)器人的方位角能夠漸近收斂到目標(biāo)的移動(dòng)方向.