陳世明 姜根蘭 張 正

多智能體系統(tǒng)控制在近些年發(fā)展迅速,廣泛應(yīng)用于無人機(jī)編隊(duì)、傳感器網(wǎng)絡(luò)、機(jī)械臂裝配、多導(dǎo)彈聯(lián)合攻擊等領(lǐng)域.一致性作為協(xié)同控制的基礎(chǔ),成為多智能體系統(tǒng)研究中的核心問題.近年來,學(xué)者們針對多智能體系統(tǒng)不同類型的一致性問題進(jìn)行了大量研究,如完全一致性[1?4]、領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性[5]、群體一致性[6]、比例一致性[7?9]等.以上一致性成果主要集中在設(shè)計(jì)控制器使智能體狀態(tài)誤差最終趨于零.但是在實(shí)際系統(tǒng)中,由于執(zhí)行器偏差、計(jì)算誤差和惡劣環(huán)境,智能體系統(tǒng)會存在通信約束(如通信時(shí)滯[10?11]、數(shù)據(jù)量化[12]等)、外部干擾、未知耦合等情況,若仍要求每個(gè)智能體的真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)之間的偏差趨于零,這在有限條件下往往難以實(shí)現(xiàn).因此,Dong 等[13]提出使智能體狀態(tài)偏差函數(shù)在某一確定有界區(qū)間內(nèi)波動的實(shí)用一致性概念,可適用于更為復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng).

為解決不同非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中的一致性問題,學(xué)者們對基于實(shí)用一致性概念的多智能體控制算法進(jìn)行了深度研究[13?17].文獻(xiàn)[13]研究了有向通信拓?fù)湎戮哂型獠繑_動、相互作用不確定和時(shí)變時(shí)滯的一般高階線性時(shí)不變?nèi)合到y(tǒng)實(shí)用一致性問題.在實(shí)際系統(tǒng)中,當(dāng)采樣周期變大時(shí),若要使智能體狀態(tài)誤差趨于零,初始狀態(tài)就須非常接近,顯然限制了系統(tǒng)的有效性.基于文獻(xiàn)[13],文獻(xiàn)[14]進(jìn)一步探討了二階多智能體系統(tǒng)齊次采樣下的實(shí)用一致性.為解決初始控制輸入量過大,出現(xiàn)輸入飽和而導(dǎo)致削弱系統(tǒng)性能的問題,文獻(xiàn)[15]利用時(shí)基發(fā)生器,提出多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間實(shí)用一致性框架.具有振蕩器的系統(tǒng),也難以實(shí)現(xiàn)智能體狀態(tài)誤差最終趨于零,因此文獻(xiàn)[16]研究了異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上非線性非均勻Stuart-Landa 振子的實(shí)用動態(tài)一致性.文獻(xiàn)[17]研究了帶未知耦合權(quán)重的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的實(shí)用一致性.以上已有的實(shí)用一致性研究只考慮非理想網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中智能體之間的合作關(guān)系,即用非負(fù)權(quán)重的通信拓?fù)鋪肀硎?在許多實(shí)際系統(tǒng)中,合作與競爭關(guān)系同時(shí)存在.

文獻(xiàn)[18]率先設(shè)通信拓?fù)錂?quán)重為負(fù)以表示智能體間的競爭關(guān)系,提出結(jié)構(gòu)平衡圖假設(shè),利用拉普拉斯算子證明了智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)二分一致.隨后該結(jié)論被推廣至更一般的線性多智能體系統(tǒng)[19?20].文獻(xiàn)[21]研究了切換拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的二分一致性,建立了智能體穩(wěn)態(tài)與拉普拉斯矩陣間的聯(lián)系.文獻(xiàn)[22]引入正負(fù)生成樹概念,得出矩陣加權(quán)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)二分一致的充要條件,但只適用于結(jié)構(gòu)平衡圖.對于結(jié)構(gòu)不平衡下的矩陣加權(quán)網(wǎng)絡(luò),文獻(xiàn)[23]通過矩陣耦合,得出了實(shí)現(xiàn)二分一致的代數(shù)條件.文獻(xiàn)[24]針對含有對抗關(guān)系和時(shí)變拓?fù)涞鸟詈想x散系統(tǒng),考慮了拓?fù)淝袚Q后出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不平衡或結(jié)構(gòu)平衡的兩個(gè)子系統(tǒng)成員隨時(shí)間變化的情況,實(shí)現(xiàn)了有界雙向同步.上述二分一致性的研究大部分考慮智能體間的誤差最終能趨于零,本文將著重考慮受到通信時(shí)延、數(shù)據(jù)量化影響下智能體間的誤差收斂于可控區(qū)間的二分實(shí)用一致性.

量化一致性概念最早由文獻(xiàn)[25]提出,隨后文獻(xiàn)[26]基于矩陣譜理論分別研究了通訊信息在一致量化和對數(shù)量化下多智能體系統(tǒng)的一致性問題.文獻(xiàn)[27]構(gòu)建了基于磁滯效應(yīng)量化的多智能體網(wǎng)絡(luò)的混雜系統(tǒng)模型,該混雜系統(tǒng)能夠有效避免震顫現(xiàn)象,并進(jìn)一步分析了系統(tǒng)解的有限時(shí)間收斂性.文獻(xiàn)[28]考慮競爭關(guān)系和通信量化下多智能體系統(tǒng)的二分一致性.文獻(xiàn)[29]研究了具有量化通信約束的非線性多智能體系統(tǒng)分布式二分一致性問題.以上論文對通信量化做了大量研究,但均未考慮通信時(shí)滯,而時(shí)滯也是影響多智能體系統(tǒng)一致性的重要因素.

綜合考慮上述因素,本文將以帶有通信時(shí)滯和量化數(shù)據(jù)等通信約束且同時(shí)存在合作、競爭關(guān)系的實(shí)際系統(tǒng)為對象,研究其二分實(shí)用一致性問題,提出了基于融合時(shí)滯項(xiàng)、取整函數(shù)、符號函數(shù)的量化器的右端不連續(xù)控制協(xié)議.根據(jù)微分包含理論和菲利波夫解的框架證明了控制器在右端不連續(xù)情況下仍能求得系統(tǒng)的全局解,實(shí)現(xiàn)智能體位置狀態(tài)收斂至模相同但符號不同的可控區(qū)間.相較于文獻(xiàn)[17],本文同時(shí)考慮了智能體間的合作與競爭關(guān)系.相較于文獻(xiàn)[18,20],本文考慮了通信時(shí)滯、量化數(shù)據(jù)等通信約束對智能體系統(tǒng)的影響.在文獻(xiàn)[25,28]的基礎(chǔ)上,本文將漸近一致性推廣至實(shí)用一致性,使智能體間的誤差收斂于一個(gè)可控區(qū)間,且收斂上界值與任何全局信息和初始值無關(guān).

1 預(yù)備知識及問題描述

1.1 圖論

1.2 規(guī)范變換

引入一類正交矩陣C,其定義如下:

易得,C滿足CTC=CCT=I,且C?1=C.diag{σ1,σ2,···,σn}表示對角矩陣,其對角線元素為{σ1,σ2,···,σn}.對于固定無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜土阃ㄐ艜r(shí)延的多智能體系統(tǒng),常采用控制協(xié)議x˙(t)=u(t)=?Lx(t),對其規(guī)范變換.令z=Cx,C ∈C,由C?1=C,x=Cz,則

其中,LD=CLC=D ?CAC為規(guī)范變換后拉普拉斯矩陣,

引理 1[18].L與LD等譜,即具有相同的特征值集合sp(L)=sp(LD).

1.3 右端不連續(xù)微分方程與微分包含F(xiàn)ilippov 解

針對右端不連續(xù)微分方程,在微分包含理論和菲利波夫解的框架基礎(chǔ)下求全局解.考慮如下m維微分方程

1.4 問題陳述

考慮包含n個(gè)智能體的系統(tǒng),智能體i的動力學(xué)方程為

其中xi(t)∈R 表示智能體i的位置狀態(tài)變量,ui(t)∈R表示智能體i的控制輸入.

定義 3.給定的控制器ui,i=1,2,···,n,若對任意初始值xi(0),i=1,2,···,n,都存在一個(gè)不依賴任何全局信息和初始值的正數(shù)ε,使得

則稱系統(tǒng)(6)能實(shí)現(xiàn)二分實(shí)用一致.

2 通信受限的多智能體系統(tǒng)二分實(shí)用一致性

針對多智能體系統(tǒng)(6),提出如下控制器,

其中Q(x) 為 量化函數(shù),定義Q(x)=?(x/ηγ)+0.5」γ,i=1,2,···,n,γ為量化水平參數(shù),η ∈(0,1] 為量化器精度,τ為智能體j向智能體i通信傳輸時(shí)發(fā)生的通信延遲,?·」為向下取整函數(shù),s ign(·) 為符號函數(shù).

本文討論的是有向強(qiáng)連通符號圖下多智能體系統(tǒng)二分實(shí)用一致性問題,系統(tǒng)鄰接矩陣中存在負(fù)元素,由式(2)得變換后的鄰接矩陣為,

其中σi,σj={?1,1}.

上述量化器是將連續(xù)狀態(tài)空間映射到離散信息符號碼集合,智能體狀態(tài)僅取整數(shù),在控制器(8)作用下,系統(tǒng)(6)本質(zhì)上是一個(gè)右端不連續(xù)的非光滑系統(tǒng),其解需要在菲利波夫意義下討論.

定義 4.如果函數(shù)x(t):[?τ,T)→Rn滿足:

則 [x(t),w(t),w′(t)]:[?τ,T)→Rn×Rn為系統(tǒng)(6)滿足初始條件 (?(t),ψ(t),ψ′(t)) 的解.

定理 1.對任意初始向量函數(shù)?(t) 和任意可測向量輸出函數(shù)ψ(t)、ψ′(t),系統(tǒng)(11)存在全局解.

證明.1)局部解的存在性

基于參考文獻(xiàn)[2]對引理1 的證明,易得系統(tǒng)(11)在 [ 0,T) 上存在局部解.依據(jù)泛函微分方程理論,通過局部解的有界性可得存在全局解.故進(jìn)一步證明局部解的有界性.

2)設(shè)系統(tǒng)(11)的解為[x(t),w(t),w′(t)]:[?τ,T)→Rn×Rn,令

若能證明Y(t) 對t為非增函數(shù),y(t) 對t為非減函數(shù),則上述解有界.我們將利用反證法證明該解的有界性.首先分四步證明Y(t) 對t為非增函數(shù).

定理 2.假設(shè)多智能體系統(tǒng)的固定有向通信拓?fù)銰為強(qiáng)連通符號圖,考慮存在通信時(shí)延和量化數(shù)據(jù)通信約束的多智能體系統(tǒng)(6),在控制器(8)的作用下,系統(tǒng)在任意初始條件下均能實(shí)現(xiàn)二分實(shí)用一致,即

其中,?ε>0.

證明.構(gòu)造如下Lyapunov 函數(shù):

由式(1),對?ε>0,有

由此可得,對任意一個(gè)智能體i的狀態(tài)xi(t) 都能收斂到集合 [ (θ ?0.5)γη,(θ+0.5)γη] 中.由此可得,

3 仿真實(shí)例

實(shí)例 1.考慮由6個(gè)智能體構(gòu)成的多智能體系統(tǒng),其有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示.該拓?fù)鋱D滿足結(jié)構(gòu)平衡,圖中兩個(gè)子群分別為V1={1,2,3}和V2={4,5,6},子群之間為競爭關(guān)系,子群內(nèi)部為合作關(guān)系.

圖1 拓?fù)鋱DFig.1 Topological graph

由通信拓?fù)鋱D不難得到鄰接矩陣A,對鄰接矩陣A規(guī)范變換,取轉(zhuǎn)換矩陣為C=diag{1,1,1,?1,?1,?1}. 其中,轉(zhuǎn)換矩陣C為正交矩陣,C=diag{σ1,σ2,···,σn},σi={?1,1},滿足CTC=CCT=I,C?1=C; d iag{σ1,σ2,···,σn}表示對角矩陣,其對角線元素為{σ1,σ2,···,σn}.

取η=1,γ=3,τ=0.1,各智能體初始值x(t)=[1 2.5 6?1?4?3],t ∈[?0.1,0).由式(29)易得,l imt→∞(|xi(t)|?|xj(t)|)=γη=3.

圖2 為系統(tǒng)(6)在控制器(8)的作用下各智能體位置狀態(tài)變化曲線,由圖可知各智能體位置狀態(tài)絕對值的誤差收斂于可控區(qū)間 [0,3],存在競爭關(guān)系的兩個(gè)子群最終能實(shí)現(xiàn)收斂,即通信受限的多智能體系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)二分實(shí)用一致.

圖2 γ =3, η =1 智能體位置狀態(tài)軌跡Fig.2 γ =3, η =1 The trajectories of all agents

圖3、圖4 為在相同初始值狀態(tài)下分別取γ=1、γ=0.1時(shí)的各智能體位置狀態(tài)曲線,表明通過改變γ值可以控制智能體位置狀態(tài)絕對值誤差的波動區(qū)間,所設(shè)計(jì)的γ值越小,智能體位置狀態(tài)絕對值的誤差波動區(qū)間也越小.

圖3 γ =1, η =1 智能體位置狀態(tài)軌跡Fig.3 γ =1, η =1 The trajectories of all agents

圖4 γ =0.1,η =1 智能體位置狀態(tài)軌跡Fig.4 γ =0.1,η =1 The trajectories of all agents

實(shí)例 2.為了進(jìn)一步說明本文的研究意義,選用8個(gè)智能體組成的最鄰近耦合小世界網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),智能體互連構(gòu)成的有向拓?fù)鋱D如圖5 所示,此處無向圖為一種特殊的有向圖,圖中未標(biāo)權(quán)重的連邊權(quán)重設(shè)為1.其中,兩個(gè)子群V1={1,2,3,4}、V2={5,6,7,8},取η=1,γ=0.5,τ=0.1,智能體初始狀態(tài)分別為x(t)=[1 2 4 5?1?2?4?5],t ∈[?0.1,0).

圖5 最鄰近耦合小世界網(wǎng)絡(luò)Fig.5 Nearest-neighbor coupled network

對鄰接矩陣A規(guī)范變換,取轉(zhuǎn)換矩陣為C=diag{1,1,1,1,?1,?1,?1,?1}.由式(29) 易得,limt→∞(|xi(t)|?|xj(t)|)≤ε=γη=0.5.

圖6 為系統(tǒng)(6)在控制器(8)的作用下各智能體位置狀態(tài)變化曲線.由圖可知,各智能體位置狀態(tài)絕對值的誤差收斂于可控區(qū)間 [ 2.8,3.2],存在競爭關(guān)系的兩個(gè)子群最終能實(shí)現(xiàn)收斂,運(yùn)用本文所設(shè)計(jì)的控制策略,最鄰近耦合小世界網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)二分實(shí)用一致.

圖6 γ =0.5,η =1 智能體位置狀態(tài)軌跡Fig.6 γ =0.5,η =1 The trajectories of all agents

4 結(jié)論

本文研究了有向強(qiáng)連通符號圖下通信受限的多智能體子群系統(tǒng)二分實(shí)用一致性問題,設(shè)計(jì)了一種基于量化器的分布式控制協(xié)議,使智能體位置狀態(tài)絕對值的誤差收斂于可控區(qū)間,并得到了誤差收斂上界值,該上界值不依賴于任何全局信息和初始狀態(tài),僅與量化器參數(shù)有關(guān),所設(shè)計(jì)量化水平參數(shù)越小,收斂區(qū)間也越小.后續(xù)工作將考慮推廣至離散系統(tǒng)和高階系統(tǒng).