白宗龍 師黎明 孫金瑋

稀疏信號(hào)恢復(fù)具有廣泛的應(yīng)用性和充分的理論支持,因此成為信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要且受到持續(xù)關(guān)注的研究課題.稀疏信號(hào)恢復(fù)可應(yīng)用于麥克風(fēng)陣列信號(hào)處理[1?3],圖像處理[4?9],腦電信號(hào)處理[10?11],雷達(dá)信號(hào)處理[12?14]等領(lǐng)域.目前,有多種稀疏信號(hào)恢復(fù)算法被提出,主要包括基于?p范數(shù)(0

SBL 與其他貝葉斯算法類似,通過賦予信號(hào)稀疏先驗(yàn)分布,最大化后驗(yàn)分布得到信號(hào)的估計(jì).與其他貝葉斯方法不同的是SBL 采取構(gòu)建多層貝葉斯框架的方式賦予信號(hào)中每個(gè)元素獨(dú)立的稀疏分布,根據(jù)稀疏分布的不同,SBL 可以分為基于Student-t 先驗(yàn)的SBL[16],基于Laplace 先驗(yàn)的SBL[17?18],基于合成LASSO 先驗(yàn)的分布等[19].SBL 最早在文獻(xiàn)[16]中提出,該文獻(xiàn)中構(gòu)建了一種多層貝葉斯框架,通過賦予信號(hào)中每個(gè)元素多層共軛先驗(yàn),等價(jià)賦予信號(hào)Student-t 稀疏先驗(yàn).多層共軛先驗(yàn)的貝葉斯框架的構(gòu)造使得模型中每層參數(shù)可以依次更新.類似的,文獻(xiàn)[17]提出一種基于Laplace 先驗(yàn)的多層貝葉斯框架.文獻(xiàn)[18]中提出一種針對(duì)復(fù)值信號(hào)的自聚焦的基于Laplace 先驗(yàn)的多層貝葉斯框架.文獻(xiàn)[19]中提出一種基于合成LASSO 先驗(yàn)的多層貝葉斯框架,賦予信號(hào)LASSO 先驗(yàn).由于LASSO 分布缺少共軛先驗(yàn),文中采用了高斯接近的方法進(jìn)行求解.該文獻(xiàn)對(duì)應(yīng)于在文獻(xiàn)[20]中提出的一種基于凸優(yōu)化的自適應(yīng)LASSO 算法.

由于SBL 算法在參數(shù)更新時(shí)需要矩陣求逆運(yùn)算,導(dǎo)致計(jì)算量很高.為降低計(jì)算復(fù)雜度,文獻(xiàn)[21]提出一種基于基選擇的快速SBL 算法,文獻(xiàn)[17]給出了Lalapce 先驗(yàn)下基于基選擇的快速算法,但是該算法無法推廣至復(fù)值信號(hào)模型.文獻(xiàn)[22]提出一種基于最大化證據(jù)下界的快速算法,但是該算法穩(wěn)定性欠佳,存在不收斂的情況.文獻(xiàn)[23]提出一種基于近似消息傳遞(Approximate message passing,AMP)的SBL 算法,并在文獻(xiàn)[24]針對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn).文獻(xiàn)[25]提出一種基于空間輪換的SBL 算法.文獻(xiàn)[26]在[25]基礎(chǔ)上提出一種應(yīng)用于大數(shù)據(jù)量的基于標(biāo)量平均場(chǎng)的SBL 算法.

為提高稀疏信號(hào)恢復(fù)的準(zhǔn)確性,本文開展了基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法研究.在貝葉斯模型構(gòu)造階段,本文中通過構(gòu)建一種與現(xiàn)有SBL 算法不同的多層貝葉斯框架,賦予信號(hào)中每個(gè)元素具有獨(dú)立權(quán)重的LASSO 先驗(yàn),比現(xiàn)有稀疏先驗(yàn)更有效的鼓勵(lì)稀疏.根據(jù)該多層貝葉斯框架提出一種基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法.為進(jìn)一步降低提出算法的計(jì)算復(fù)雜度,在貝葉斯推斷階段利用空間輪換技術(shù)避免矩陣求逆運(yùn)算,形成一種快速算法.

1 稀疏信號(hào)恢復(fù)問題描述

稀疏信號(hào)恢復(fù)問題是指已知測(cè)量矩陣A ∈RM×N,利用欠采樣數(shù)據(jù)x ∈RM和稀疏恢復(fù)算法估計(jì)稀疏信號(hào)g ∈RN的問題.實(shí)值稀疏信號(hào)恢復(fù)的數(shù)學(xué)模型表示如下:

其中,w ∈RM是可加性高斯白噪聲.復(fù)值信號(hào)模型與實(shí)值信號(hào)模型的區(qū)別在于測(cè)量矩陣A ∈CM×N是復(fù)值矩陣,測(cè)量數(shù)據(jù)x ∈CM和稀疏信號(hào)g ∈CN是復(fù)值向量,w ∈CM是復(fù)值圓周對(duì)稱高斯白噪聲.

由于測(cè)量數(shù)據(jù)x是欠采樣數(shù)據(jù),即數(shù)據(jù)維度M小于信號(hào)維度N,因此使用最小二乘算法求解信號(hào)g是一個(gè)不適定問題.然而,Candes 等在文獻(xiàn)[27]中證明了在已知信號(hào)g是稀疏信號(hào)且滿足有限等距性質(zhì)(Restricted isometry property,RIP)條件下,稀疏信號(hào)恢復(fù)問題具有唯一解.為了利用信號(hào)的稀疏先驗(yàn)信息,最直接的方法是添加正則項(xiàng)∥g∥0約束解的范圍.從而將稀疏信號(hào)恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題:

其中,ζ是正則化因子.然而,凸優(yōu)化問題 (2)是一個(gè)NP-hard 問題,難以進(jìn)行求解.常用的求解問題(2)的方法是將?0范數(shù)釋放至?1范數(shù),形成如下凸優(yōu)化問題:

其中,∥·∥1表示?1范數(shù).凸優(yōu)化問題 (3)可以通過LASSO 算法進(jìn)行求解,但是LASSO 算法不能一定保證收斂,為提高算法性能,Zou 在文獻(xiàn)[20]中對(duì)LASSO 算法進(jìn)行了改進(jìn),提出了自適應(yīng)LASSO算法,并對(duì)該算法的Oracle 特性進(jìn)行了證明1Oracle 特性具體包括模型選擇相和性和參數(shù)估計(jì)漸進(jìn)正態(tài)性.其含義為,在一些變量不是提前已知的情況下,如果算法具有Oracle 特性,那么它能夠篩選出正確的預(yù)測(cè)的概率為1 而且能夠有效而正確地估計(jì)非零估計(jì)量..自適應(yīng)LASSO 算法求解如下優(yōu)化問題:

其中,gi是信號(hào)g中的第i個(gè)元素,ωi表示信號(hào)元素gi的權(quán)重.

本文利用稀疏貝葉斯框架構(gòu)建了基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法,通過構(gòu)建多層貝葉斯網(wǎng)絡(luò)賦予信號(hào)中每個(gè)元素獨(dú)立信號(hào)的LASSO 先驗(yàn),從而實(shí)現(xiàn)貝葉斯框架下的自適應(yīng)LASSO 算法.

2 貝葉斯模型

在貝葉斯模型中,所有未知變量都被認(rèn)為是隨機(jī)變量,并根據(jù)未知變量的先驗(yàn)信息賦予隨機(jī)變量不同的分布.本文中根據(jù)信號(hào)的稀疏特性賦予未知信號(hào)g自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)分布p(g|η),并且假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)x是一個(gè)條件概率為p(x|g,ρ) 的隨機(jī)過程.其中,ρ表示噪聲的精度,即噪聲方差的倒數(shù).下面將對(duì)該多層貝葉斯框架進(jìn)行具體的描述.

2.1 觀測(cè)模型

假定實(shí)值模型中觀測(cè)噪聲w是方差為ρ?1的高斯白噪聲,復(fù)值模型中觀測(cè)噪聲w是方差為ρ?1的圓周共軛復(fù)高斯白噪聲,則實(shí)值模型和復(fù)值模型中測(cè)量數(shù)據(jù)x的條件概率表示如下:

其中,?=2 對(duì)應(yīng)于實(shí)值模型,?=1 對(duì)應(yīng)于復(fù)值模型.為更新噪聲精度ρ,假設(shè)ρ服從于如下Gamma分布:

其中,c和d是預(yù)設(shè)的模型參數(shù),且c>0 是Gamma分布的形狀參數(shù),d>0 是Gamma 分布的尺度參數(shù).在變量ρ服從于Gamma 分布 (6)的假定下,變量的均值和方差分別表示為.

2.2 信號(hào)模型

類似于其它SBL 算法,未知信號(hào)g的自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)p(g|η) 通過多層共軛先驗(yàn)的形式實(shí)現(xiàn).首先,使用零均值的多維高斯分布對(duì)信號(hào)進(jìn)行如下建模:

其中,Λ=diag{λ}表示多維高斯分布的協(xié)方差矩陣,λ=[λ1,λ2,···,λN]T表示信號(hào)的方差向量且λi >0,d iag{·}表示對(duì)角矩陣操作.對(duì)于變量λ,假設(shè)其服從于如下獨(dú)立的Gamma 分布:

其中,η=[η1,η2,···,ηN]T表示變量的向量且ηi >0.根據(jù)式 (7)和 (8),變量g關(guān)于變量η的邊緣分布可以通過對(duì)變量λ積分獲得,表示如下:

即,前兩層貝葉斯先驗(yàn) (7)和 (8)等價(jià)與賦予信號(hào)g一種LASSO 先驗(yàn),其中,ηi對(duì)應(yīng)于式 (4)中的權(quán)重wi.為了自適應(yīng)調(diào)節(jié)LASSO 先驗(yàn)的權(quán)重,對(duì)非負(fù)變量η賦予如下Gamma 分布:

其中,ai >0 和bi >0 為預(yù)設(shè)的模型參數(shù).

根據(jù)式 (9)和 (10),變量g關(guān)于a和b的邊緣分布可通過對(duì)變量η的積分獲得,結(jié)果如下:

其 中,Γ(·) 表示Gamma 函數(shù).實(shí)際 上,根據(jù)式(11),本文提出的貝葉斯框架最終賦予信號(hào)g一種Student-t 先驗(yàn).其中,Student-t 分布是一種具有長(zhǎng)拖尾特性的分布,可以表達(dá)信號(hào)的稀疏特性[16].基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 模型由式 (5),(7),(8),(10)構(gòu)成.該模型的因子圖如圖1 所示.圖中節(jié)點(diǎn)函數(shù)總結(jié)如下:

圖1 基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 框架的因子圖Fig.1 The factor graph of the proposed SBL framework using adaptive LASSO priors

2.3 基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)SBL 算法的稀疏恢復(fù)原理分析

SBL 算法本質(zhì)是一種魯棒的最大后驗(yàn)估計(jì)方法[2,16].一般通過I 型或II 型估計(jì)器稀疏求解[28].本文采用I 型估計(jì)器對(duì)提出的基于自適應(yīng)LASSO先驗(yàn)SBL 算法進(jìn)行分析.I 型估計(jì)器為最大化后驗(yàn)分布[28]:

在SBL 算法中,通過迭代的方式對(duì)參數(shù)進(jìn)行更新,對(duì)于每一次迭代需要使用上一次迭代的參數(shù).即在每一步迭代中等價(jià)于如下優(yōu)化問題:

其中,gnew和gold分別是本次迭代和上一次迭代中g(shù)的估計(jì).根據(jù)式 (9),式 (14) 可寫為如下形式:

由Laplace 分布和Gamma 分布的共軛性質(zhì)可得,變量η服從于如下Gamma 分布:

比較式 (17)和式 (4)可知,本文提出的基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法對(duì)應(yīng)于自適應(yīng)LASSO 算法.自適應(yīng)LASSO 算法需要預(yù)定義回歸系數(shù),但本文中算法具有自回歸特性,可自適應(yīng)選擇合適的回歸系數(shù),并且SBL 算法具有不確定估計(jì)特性,估計(jì)結(jié)果在統(tǒng)計(jì)意義上優(yōu)于自適應(yīng)LASSO算法.根據(jù)文獻(xiàn)[20],自適應(yīng)LASSO 算法是對(duì)LASSO 算法的改進(jìn),稀疏恢復(fù)性能優(yōu)于LASSO 算法.又根據(jù)文獻(xiàn)[17],基于Laplace 先驗(yàn)的SBL 算法對(duì)應(yīng)于LASSO 算法,并且性能優(yōu)于基于Student-t算法.文獻(xiàn)[19]提出的基于合成LASSO 先驗(yàn)的SBL算法對(duì)應(yīng)于自適應(yīng)LASSO 算法,但是由于采用高斯接近的方法進(jìn)行參數(shù)更新,導(dǎo)致在測(cè)量數(shù)少或者SNR 低時(shí)存在無法進(jìn)行高斯擬合的情況.本文提出的基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法通過多層貝葉斯框架的方式構(gòu)造自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn),避免了無法擬合的情況.通過以上分析可知,本文提出的基于基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法性能優(yōu)于現(xiàn)有算法.

為更直觀的表現(xiàn)本文提出的算法所提供的稀疏恢復(fù)特性,我們繪制了實(shí)值模型下不同算法的稀疏先驗(yàn)的代價(jià)函數(shù)的二位等高線圖,結(jié)果見圖2.復(fù)值信號(hào)模型與實(shí)值信號(hào)模型的結(jié)果類似,此處不再重復(fù)討論.圖中BPDN 是文獻(xiàn)[29]提出的算法,FastSBL是文獻(xiàn)[21]提出的基于Student-t 先驗(yàn)的SBL 算法,FastLap-SBL 是文獻(xiàn)[17]提出基于Laplace 先驗(yàn)的SBL 算法,aLASSO-SBL 是本文提出的基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法.其中,BPDN 和FastLap-SBL 的先驗(yàn)與參數(shù)無關(guān);FastSBL 和aLASSO-SBL 算法的參數(shù)設(shè)置相同,都為a=1,b=0.1.根據(jù)文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[30]和文獻(xiàn)[19],如果先驗(yàn)具有長(zhǎng)拖尾特性并且概率分布在零點(diǎn)處越 “尖銳”則越鼓勵(lì)稀疏,反映到二維等高線圖上為越靠近坐標(biāo)軸,越鼓勵(lì)稀疏.觀察圖2,自適應(yīng)LASSO先驗(yàn)的二維等高線圖相比于其他先驗(yàn)更靠近坐標(biāo)軸.由圖中可知,本文提出的算法比其他算法有更好的稀疏恢復(fù)性.

圖2 四種算法的稀疏先驗(yàn)代價(jià)函數(shù)二維等高線圖Fig.2 Two dimensional contour plots of cost functions of different sparse priors

另外,我們繪制了不同參數(shù)下自適應(yīng)LASSO先驗(yàn)的代價(jià)函數(shù)等高線圖,如圖3 所示,在參數(shù)a固定為 1 的條件下,參數(shù)b越接近于 0,二維等高線越靠近坐標(biāo)軸,即算法提供的解越稀疏.基于以上分析,相比于其它算法,本文提出的算法在理論上可以提供最稀疏的解,從而得到更精確的稀疏信號(hào)恢復(fù)性能.

圖3 本算法在不同參數(shù)下稀疏先驗(yàn)代價(jià)函數(shù)二維等高線圖Fig.3 Two dimensional contour plots of cost functions of the proposed sparse priors versus hyperparameters

3 變?cè)惾~斯推斷

在本文提出的貝葉斯模型中,所有隱藏變量的集合表示為 Θ ={g,λ,η,ρ}.根據(jù)圖1 表示的貝葉斯模型,聯(lián)合概率密度表示如下:

后驗(yàn)分布的閉合形式p(Θ|x) 需要計(jì)算邊緣分布密度函數(shù)p(x),但是p(x) 難以求得,因此本文采用變?cè)惾~斯推斷的方法進(jìn)行參數(shù)更新.變?cè)惾~斯推斷使用因子化變量分布對(duì)實(shí)際后驗(yàn)分布進(jìn)行近似.隱藏變量的因子化變量分布表示如下:

其中,q(Θ) 是實(shí)際后驗(yàn)p(Θ|x) 的近似.然后,通過最小化實(shí)際后驗(yàn)分布p(Θ|x) 與近似分布q(Θ) 的KL 散度(Kullback-Leibler,KL)對(duì)參數(shù)進(jìn)行更新,該過程等價(jià)于最大化如下目標(biāo)函數(shù):

如圖1 所示,本文提出的模型中所有節(jié)點(diǎn)的先驗(yàn)和似然函數(shù)都存在共軛指數(shù)分布族,因此變?cè)惾~斯推斷表示如下[31?32]:

其中,θk表示隱藏變量集合 Θ 中第k個(gè)變量,例如θ1表示變量g,Θθk表示集合 Θ 中去除第k個(gè)變量θk的集合,C表示常數(shù).

3.1 參數(shù)更新

根據(jù)式 (18),對(duì)數(shù)形式的聯(lián)合分布表示如下:

然后,參數(shù)可根據(jù)式 (21)和 (22)更新,下面給出具體更新規(guī)則.

參數(shù)g的更新:根據(jù)式 (21),實(shí)際后驗(yàn)分布p(g|x)的變?cè)品植嫉膶?duì)數(shù)形式為

其中,〈·〉表示參數(shù)的期望,cg表示更新參數(shù)g時(shí)的常量.由式 (23)可知,q(g) 可以使用多維高斯分布表示,其期望和方差表示如下:

其中,IM表示維度為M的單位矩陣.式 (24b)的推導(dǎo)使用了Woodbury 引理[33],目的是降低矩陣求逆的計(jì)算量.其中,Woodbury 引理見附錄A.

參數(shù)λ的更新:變量λ的對(duì)數(shù)近似后驗(yàn)為:

參數(shù)ρ的更新:根據(jù)式 (21)和式 (22),變量ρ的對(duì)數(shù)近似分布表示如下:

其中,cρ表示參數(shù)ρ更新時(shí)的常量.根據(jù)式 (31),變量ρ的近似分布為Gamma 分布,對(duì)應(yīng)參數(shù)如下:

其中,t r(·) 表示矩陣的跡.因此,參數(shù)ρ的更新規(guī)則為:

上述為本文提出的基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法所有參數(shù)的更新規(guī)則,以下將該算法簡(jiǎn)稱為aLASSO-SBL.為清晰描述算法,將參數(shù)更新流程總結(jié)如算法1 所示.

算法1.aLASSO-SBL 算法偽代碼

3.2 快速算法

根據(jù)參數(shù)更新規(guī)則,算法的主要計(jì)算量在于更新參數(shù)g的協(xié)方差矩陣 Σ.為進(jìn)一步降低算法計(jì)算量,本文采用空間輪換方法對(duì)參數(shù)g進(jìn)行更新.在g中元素相互獨(dú)立的假設(shè)下,根據(jù)式 (21),變量gi的對(duì)數(shù)近似分布表示如下:

快速算法的參數(shù)更新流程與第3.1 節(jié)中aLASSO-SBL 算法的區(qū)別在于參數(shù)g的更新,即使用式(36)替代式(24)進(jìn)行更新,其余參數(shù)更新規(guī)則不變.快速算法的優(yōu)勢(shì)在于更新參數(shù)g的協(xié)方差矩陣 Σ 時(shí)避免了矩陣求逆運(yùn)算,從而降低計(jì)算量,缺點(diǎn)在于忽略了變量g不同元素之間的協(xié)方差項(xiàng),所以在測(cè)量矩陣A的列向量相關(guān)的情況下,快速算法的稀疏信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確度會(huì)降低.為描述方便,下文中將快速算法簡(jiǎn)稱為FaLASSO-SBL 算法.

算法2.FaLASSO-SBL 算法偽代碼

3.3 算法計(jì)算量分析

本文通過使用算法中的乘法或除法運(yùn)算數(shù)量衡量計(jì)算復(fù)雜度,并且在欠定條件 (M

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提出的aLASSO-SBL和FaLASSO-SBL 算法的性能.仿真實(shí)驗(yàn)分別針對(duì)實(shí)值信號(hào)模型(?=2 )和復(fù)值信號(hào)模型(?=1)開展.對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,測(cè)量矩陣A中的元素滿足獨(dú)立同分布的高斯分布,稀疏信號(hào)g中非零元素服從于獨(dú)立同分布的高斯分布.對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,測(cè)量矩陣A中的元素和稀疏信號(hào)g中的非零元素都服從于獨(dú)立同分布的復(fù)高斯分布.無噪測(cè)量數(shù)據(jù)通過測(cè)量矩陣A與和稀疏信號(hào)g相乘得到,即Ag,然后對(duì)信號(hào)添加高斯白噪聲,信噪比(Signal-Noise Ratio,SNR)的定義如下:

各個(gè)算法的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性通過均方根誤差(Root-Mean-Square-Error,RMSE)衡量,定義如下:

本文使用的算法及相應(yīng)簡(jiǎn)稱總結(jié)如下:BPDN 為文獻(xiàn)[29]提出的基追蹤去噪算法,OMP 為文獻(xiàn)[34] 提出的正交基追蹤算法,aLASSO 為文獻(xiàn)[20]提出的自適應(yīng)LASSO 算法,FastSBL 為文獻(xiàn)[21] 提出的快速SBL 算法,GAMP-SBL 為文獻(xiàn)[24]中提出的基于近似消息傳遞(Approximate Message Passing,AMP)的SBL 算法,FastLap-SBL 為文獻(xiàn)[17]提出的基于Laplace 先驗(yàn)的快速SBL 算法,MFOCUSS 為文獻(xiàn)[35]提出的類?p范數(shù)優(yōu)化算法,HSL-SBL 為文獻(xiàn)[19] 提出的合成LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法,aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 是本文提出的基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法及其快速算法.其中,aLASSO 的正則因子設(shè)置為 1,MFOCUSS 的參數(shù)p按文中建議設(shè)為 0.8,FastSBL,Lap-SBL,HSL-SBL,aLASSOSBL 和FaLASSO-SBL 的模型參數(shù)設(shè)置為相同的接近于零的值 10?6.

本文中所有仿真實(shí)驗(yàn)使用MATLAB 軟件實(shí)現(xiàn),軟件版本為R2020a,操作系統(tǒng)為64 位Windows 10.硬件配置總結(jié)如下:處理器為AMD Ryzen 7 4750U,物理核心數(shù)為8,主頻為1.7 GHz,內(nèi)存容量為16 GB.

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)一

與凸優(yōu)化和貪婪算法相比,貝葉斯方法的一個(gè)重要特性是可以提供未知信號(hào)的后驗(yàn)分布而非點(diǎn)估計(jì)結(jié)果.利用后驗(yàn)分布估計(jì)參數(shù)的優(yōu)勢(shì)在于通過協(xié)方差矩陣 Σ 可以得到參數(shù)估計(jì)的不確定度,在統(tǒng)計(jì)的角度優(yōu)于凸優(yōu)化算法.本次實(shí)驗(yàn)中我們給出實(shí)值模型下各個(gè)算法對(duì)稀疏信號(hào)的估計(jì)結(jié)果.仿真中測(cè)量矩陣的維度為 5 0×200,即測(cè)量數(shù)為 50,信號(hào)長(zhǎng)度為 2 00,信號(hào)中非零元素的個(gè)數(shù)設(shè)置為 10,SNR設(shè)置為30 dB.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4 所示.其中,圖4(a)為純凈的稀疏信號(hào);圖4(b)為使用BPDN 算法恢復(fù)的信號(hào);圖4(c)為使用aLASSO 算法恢復(fù)的信號(hào);圖4(d)為使用OMP 算法恢復(fù)的信號(hào);圖4(e)為使用FaLASSO-SBL 算法恢復(fù)的信號(hào);圖4(f)為使用aLASSO-SBL 算法恢復(fù)的信號(hào).由圖4 可知.基于凸優(yōu)化的BPDN 和aLASSO 算法以及基于貪婪算法的OMP 算法僅提供點(diǎn)估計(jì)結(jié)果,而本文提出的aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 算法與其它貝葉斯算法相同,可以提供具有不確定度的估計(jì)結(jié)果.其中,圖中誤差線表示恢復(fù)信號(hào)的不確定度.由于FaLASSO-SBL 算法忽略協(xié)方差項(xiàng)導(dǎo)致對(duì)信號(hào)方差的估計(jì)小于aLASSO-SBL 算法估計(jì)的方差,但是協(xié)方差項(xiàng)的忽略會(huì)導(dǎo)致稀疏信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確性降低(見仿真實(shí)驗(yàn)二,三和四).

圖4 一維信號(hào)稀疏恢復(fù)圖Fig.4 Results for one-dimensional signal recovery

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)二

本次仿真實(shí)驗(yàn)研究各個(gè)算法稀疏恢復(fù)性能與測(cè)量數(shù)的關(guān)系.對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,信號(hào)長(zhǎng)度設(shè)置為200 ,非零元素?cái)?shù)設(shè)置為 30 ,測(cè)量數(shù)變化范圍為50到 100,間隔為 10.SNR 為30 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200 次.對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,測(cè)量數(shù)變化范圍為40到 90,其它參數(shù)設(shè)置與實(shí)值信號(hào)模型相同,原因是相同維度下,復(fù)值測(cè)量數(shù)據(jù)的信息量大于實(shí)值測(cè)量數(shù)據(jù)的信息量,所以需要更少的測(cè)量數(shù).實(shí)值信號(hào)模型和復(fù)值信號(hào)模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5 和圖6 所示.表1 給出了測(cè)量數(shù)為 80 時(shí)實(shí)值信號(hào)模型和復(fù)值信號(hào)模型下各算法單次運(yùn)行的時(shí)間.

圖5 實(shí)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系Fig.5 RMSE of different algorithms with the real-value signal model versus length of measurements

圖6 復(fù)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系Fig.6 RMSE of different algorithms with the complexvalue signal model versus length of measurements

由圖5 可知,針對(duì)實(shí)值信號(hào)模型,當(dāng)測(cè)量數(shù)M=50 時(shí),所有算法失效.當(dāng)測(cè)量數(shù)M ≥60 時(shí),本文提出的aLASSO-SBL 的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性優(yōu)于其他算法,特別是在測(cè)量數(shù)較小(6 0≤M ≤90)時(shí)恢復(fù)效果相較于其它算法有明顯提升.快速算法FaLASSOSBL 算法的準(zhǔn)確性相比于aLASSO-SBL 算法有一定程度的降低,但是如表1 所示,FaLASSO-SBL算法計(jì)算時(shí)間明顯低于aLASSO-SBL 算法.根據(jù)圖5 和表1,FastLap-SBL 算法和GAMP-SBL 算法的運(yùn)算速度比本文提出的FaLASSO-SBL 算法快,但是信號(hào)恢復(fù)的準(zhǔn)確度比本文提出的算法低.

如圖6 所示,對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,所有算法在測(cè)量數(shù) 7 0≤M ≤90 時(shí)稀疏恢復(fù)效果較好,在測(cè)量數(shù) 5 0≤M ≤70 時(shí),本文提出的aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 算法相比于其他算法具有更低的RMSE.在測(cè)量數(shù)M=40 時(shí),所有算法的恢復(fù)效果很差.在測(cè)量數(shù)M ≥60 時(shí),HSL-SBL 算法與本文提出的算法有相同的稀疏恢復(fù)效果,但是HSLSBL 算法在測(cè)量數(shù)小于 60 時(shí)出現(xiàn)不收斂的情況,所以無法顯示其在M <60 時(shí)的結(jié)果.相比HSLSBL 算法,本文提出的算法穩(wěn)定性較高.根據(jù)圖6和表1,對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,MFOCUSS 算法和GAMP-SBL 算法的計(jì)算速度比本文提出的FaLASSO-SBL 算法速度快,但信號(hào)恢復(fù)的準(zhǔn)確率低于本文提出的算法.原因是MFOCUSS 算法在歸一化因子選擇不合適時(shí)準(zhǔn)確性降低;GAMP-SBL 是一種基于Student-t 先驗(yàn)的快速SBL 算法,其優(yōu)勢(shì)在于計(jì)算速度快,但缺點(diǎn)在于其信號(hào)恢復(fù)的準(zhǔn)確率低于基于Student-t 先驗(yàn)的SBL 算法.

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文中提出的aLASSO-SBL 算法對(duì)高維信號(hào)的稀疏恢復(fù)性能,進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn).對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,信號(hào)長(zhǎng)度設(shè)置為 2 000,非零元素?cái)?shù)設(shè)置為 100,測(cè)量數(shù)變化范圍為 100 到 3 50,間隔為 50. SNR 為20 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為 2 00 次.復(fù)值信號(hào)模型參數(shù)設(shè)置與實(shí)值信號(hào)模型相同.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7 和圖8 所示.

圖7 高維實(shí)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系Fig.7 RMSE of different algorithms with the high-dimensional real-value signal model versus length of measurements

圖8 高維復(fù)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系Fig.8 RMSE of different algorithms with the high-dimensional complex-value signal model versus length of measurements

圖7 為高維信號(hào)實(shí)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系.由圖7 可知,本文提出的aLASSO-SBL 算法的稀疏信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確性優(yōu)于現(xiàn)有稀疏恢復(fù)算法.本文FaLASSO-SBL 算法的準(zhǔn)確性比aLASSO-SBL 算法有所降低,但在測(cè)量數(shù)M ≥150時(shí)高于其他算法.圖8 為高維信號(hào)復(fù)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系.由圖8 可知,HSL-SBL 算法在M ≥150 時(shí)與本文提出的aLASSO-SBL 算法的稀疏信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確度相同并且高于其它算法,但是當(dāng)M <150 時(shí)失效.本文FaLASSO-SBL 算法的準(zhǔn)確性比aLASSO-SBL算法略低,但在M ≥150 時(shí)高于除aLASSO-SBL算法和HSL-SBL 算法之外的其它算法,但計(jì)算量低于aLASSO-SBL 算法和HSL-SBL 算法.

表2 給出了高維信號(hào)實(shí)值模型和復(fù)值模型在測(cè)量長(zhǎng)度為200 時(shí)單次運(yùn)行需要的時(shí)間.與表1 相比可知,信號(hào)維度增加會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加.結(jié)合表2、圖7 和圖8 可知,對(duì)于高維信號(hào),本文中提出的aLASSO-SBL 算法的稀疏信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確性高于現(xiàn)有算法,但是在信號(hào)維度增高時(shí)計(jì)算量會(huì)顯著增加;本文中提出的FaLASSO-SBL 算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性略低于aLASSO-SBL 算法,但運(yùn)算速度明顯高于aLASSO-SBL 算法.

表2 恢復(fù)高維信號(hào)時(shí)各算法單次運(yùn)行時(shí)間Table 2 Time consumptions of different algorithms when the dimension of signal is high

4.3 仿真實(shí)驗(yàn)三

本次仿真實(shí)驗(yàn)研究各個(gè)算法稀疏恢復(fù)性能和稀疏度的關(guān)系.對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,測(cè)量矩陣的維度設(shè)置為 100×200,即測(cè)量數(shù)為 100,信號(hào)長(zhǎng)度為200信號(hào)中非零元素個(gè)數(shù)變化范圍為 10 到 50,間隔為10. SNR 設(shè)置為30 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為 2 00.對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,信號(hào)中非零元度的個(gè)數(shù)變化范圍設(shè)置為 20 到 70,其他參數(shù)設(shè)置與實(shí)值模型設(shè)置相同.針對(duì)實(shí)值信號(hào)模型和復(fù)值信號(hào)模型的稀疏恢復(fù)結(jié)果如圖9 和圖10 所示.

根據(jù)圖9 可知,針對(duì)實(shí)值信號(hào)模型,所有算法在稀疏度高的條件下,即信號(hào)中非零元素個(gè)數(shù)10≤K ≤30時(shí)稀疏恢復(fù)效果較好,在稀疏度低的條件下(3 0≤K ≤60),FaLASSO-SBL 和aLASSOSBL 的RMSE 明顯低于其它算法,即本文提出的算法對(duì)信號(hào)稀疏度的魯棒性比其它常用算法更強(qiáng).

圖9 實(shí)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度的關(guān)系Fig.9 RMSE of different algorithms with the real-value signal model versus number of non-zero elements

如圖10 所示,針對(duì)復(fù)值信號(hào)模型,MFOCUSS算法的恢復(fù)效果比貝葉斯算法的恢復(fù)效果差.比較貝葉斯算法,HSL-SBL 與aLASSO-SBL 算法的恢復(fù)效果處于相同水平,優(yōu)于其它算法,FaLASSOSBL 算法作為aLASSO-SBL 的快速算法,在信號(hào)非零元素個(gè)數(shù)增加到一定程度 (K ≥60) 時(shí)稀疏信號(hào)恢復(fù)的準(zhǔn)確性有所下降.

圖10 復(fù)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度的關(guān)系Fig.10 RMSE of different algorithms with the complexvalue signal model versus number of non-zero elements

與仿真二相同,為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的算法對(duì)高維稀疏信號(hào)的恢復(fù)性能,進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn).對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,信號(hào)長(zhǎng)度設(shè)置為 2 000,測(cè)量數(shù)設(shè)置為 2 00,信號(hào)中非零元素?cái)?shù)目變化范圍為 20 到120 ,間隔為 20.SNR 為20 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次.對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,信號(hào)中非零元素?cái)?shù)目變化范圍為 2 0 到1 60 ,間隔為 20,其它參數(shù)設(shè)置與實(shí)值信號(hào)模型相同.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11 和圖12所示.

圖11 高維實(shí)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度的關(guān)系Fig.11 RMSE of different algorithms with the high-dimensional real-value signal model versus number of non-zero elements

圖12 高維復(fù)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度的關(guān)系Fig.12 RMSE of different algorithms with the high-dimensional complex-value signal model versus number of non-zero elements

圖11 為高維信號(hào)實(shí)值模型下的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度之間的關(guān)系.如圖所示,本文提出的aLASSO-SBL 算法的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度高于現(xiàn)有算法,本文提出的FaLASSO-SBL 算法準(zhǔn)確度在非零元素個(gè)數(shù)為 20 到 100 的范圍內(nèi)與aLASSO-SBL 算法接近,但是在非零元素個(gè)數(shù)增加到 1 20 時(shí)準(zhǔn)確性低于FaLASSO-SBL 算法.圖12 為高維信號(hào)復(fù)值模型下的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與稀疏度之間的關(guān)系.觀察圖12,HSL-SBL 算法和本文提出的aLASSOSBL 算法在非零元素?cái)?shù)目為 20 到 1 20 范圍內(nèi)的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性優(yōu)于現(xiàn)有算法,但是HSL-SBL 算法在非零元素?cái)?shù)目大于 1 20 時(shí)失效.本文提出的FaLASSO算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性優(yōu)于除aLASSO-SBL 算法和HSL-SBL 算法之外的其它算法,但計(jì)算復(fù)雜度低于aLASSO-SBL 算法和HSL-SBL 算法.

4.4 仿真實(shí)驗(yàn)四

本次仿真實(shí)驗(yàn)研究各個(gè)算法稀疏恢復(fù)性能和信噪比的關(guān)系.對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,測(cè)量矩陣的維度設(shè)置為 100×200,即測(cè)量數(shù)為 100,信號(hào)長(zhǎng)度為 2 00.信號(hào)中非零元素個(gè)數(shù)設(shè)置為 50.SNR 變化范圍為10 dB 到30 dB,間隔為5 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200次.復(fù)值信號(hào)模型參數(shù)設(shè)置與實(shí)值信號(hào)模型相同.對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型和復(fù)值信號(hào)模型的稀疏信號(hào)恢復(fù)結(jié)果分別如圖13 和圖14 所示.

圖13 實(shí)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系Fig.13 RMSE of different algorithms versus SNR with the real-value signal model

圖14 復(fù)值模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系Fig.14 RMSE of different algorithms versus SNR with the complex-value signal model

由圖13 可知,當(dāng)SNR 小于20 dB 時(shí),所有算法失效,即信號(hào)幾乎不能被恢復(fù).當(dāng)SNR 大于20 dB時(shí),所有算法的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性隨SNR 的提高而提高.其中,本文提出的aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 算法在SNR 大于20 dB 時(shí)恢復(fù)效果優(yōu)于其他算法.

如圖14 所示,對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,當(dāng)SNR 低于15 dB 時(shí),所有算法恢復(fù)效果比較差,HSL-SBL在SNR 為10 dB 的情況下出現(xiàn)不收斂的情況.當(dāng)SNR 大于15 dB 時(shí),所有算法的RMSE 隨SNR 的增加而降低,而本文提出的aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 算法恢復(fù)信號(hào)的RMSE 比其它算法低.

與仿真二和仿真三相同,為驗(yàn)證本文提出算法對(duì)高維信號(hào)的恢復(fù)性能,進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn).對(duì)于實(shí)值信號(hào)模型,信號(hào)長(zhǎng)度設(shè)置為2000,測(cè)量數(shù)設(shè)置為200,非零元素?cái)?shù)設(shè)置為100.SNR 變化范圍為15到35,間隔為5 dB.獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200 次.對(duì)于復(fù)值信號(hào)模型,SNR 變化范圍為10 到30,其它參數(shù)設(shè)置與實(shí)值信號(hào)模型相同.

圖15 為高維實(shí)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系.觀察圖15,所有算法的恢復(fù)準(zhǔn)確度隨著SNR 的增大而提高,本文提出的aLASSO-SBL 算法和FaLASSO-SBL 算法在SNR為20 dB 到35 dB 的范圍內(nèi)恢復(fù)的準(zhǔn)確率優(yōu)于現(xiàn)有算法.

圖15 高維實(shí)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系Fig.15 RMSE of different algorithms versus SNR with the high-dimensional real-value signal model

圖16 為高維實(shí)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系.觀察圖16,HSL-SBL 算法、aLASSO-SBL 算法和FaLASSO-SBL 算法在SNR為20 dB 到30 dB 的范圍內(nèi)恢復(fù)的準(zhǔn)確率優(yōu)于現(xiàn)有算法,但是HSL-SBL 算法在SNR 低于20 dB 時(shí)失效.

圖16 高維復(fù)值信號(hào)模型下各算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系Fig.16 RMSE of different algorithms versus SNR with the high-dimensional complex-value signal model

4.5 單快拍條件下波達(dá)方向估計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)估計(jì)是稀疏恢復(fù)的應(yīng)用之一.通過預(yù)定義網(wǎng)格構(gòu)建測(cè)量信號(hào)的空間中的過完備表達(dá)模型,將DOA 估計(jì)問題可轉(zhuǎn)換為稀疏信號(hào)恢復(fù)問題[15].其中,恢復(fù)的信號(hào)的非零元素對(duì)應(yīng)的位置代表信號(hào)源的到達(dá)角.使用單個(gè)快拍的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA 估計(jì)的方法稱為單快拍DOA 估計(jì).本小節(jié)將結(jié)合單快拍DOA 估計(jì)驗(yàn)證提出的算法的性能.

本小節(jié)中使用的所有算法總結(jié)如下:SS-ESPRIT 算法為文獻(xiàn)[36] 中提出的針對(duì)單快拍條件下DOA 估計(jì)的空間平滑ESPRIT 算法;L1-SR 算法為文獻(xiàn)[37]中提出的基于?1范數(shù)的單快拍DOA估計(jì)算法;SURE-IR 算法為文獻(xiàn)[38]中提出的超分辨算法;OGSBL 為文獻(xiàn)[39]提出的基于SBL 的離網(wǎng)格DOA 估計(jì)算法;HSL-SBL 為文獻(xiàn)[19]中提出的基于合成LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法;aLASSOSBL 算法和FaLASSO-SBL 算法為本文中提出的算法.其中,HSL-SBL 算法、aLASSO-SBL 算法和FaLASSO-SBL 算法需采用文獻(xiàn)[39]中的離網(wǎng)格方法對(duì)估計(jì)的方位角進(jìn)行提純.

其中,NMC表示Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)的次數(shù),設(shè)置為200;θi表示第i次Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)的聲源實(shí)際方位角;表示第i次Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)的估計(jì)的聲源方位角.本次仿真分別測(cè)試各個(gè)算法在不同測(cè)量數(shù)(陣元數(shù))和不同SNR 下的DOA 估計(jì)準(zhǔn)確性.結(jié)果分別如圖17 和圖18 所示.

圖17 DOA 估計(jì)的準(zhǔn)確度與測(cè)量數(shù)的關(guān)系Fig.17 RMSE of DOA estimation using different algorithms versus number of measurements

圖18 DOA 估計(jì)準(zhǔn)確度與信噪比的關(guān)系Fig.18 RMSE of DOA estimation using different algorithms versus SNR

圖17 為不同測(cè)量數(shù)下DOA 估計(jì)準(zhǔn)確度的結(jié)果.其中,SNR 設(shè)置為20 dB.如圖所示,HSL-SBL算法和本文中提出的aLASSO-SBL 算法在測(cè)量數(shù)為 20 到 50 的范圍內(nèi)DOA 估計(jì)準(zhǔn)確性優(yōu)于其余算法,但是HSL-SBL 算法在測(cè)量數(shù)小于 20 時(shí)失效.與HSL-SBL 算法和aLASSO-SBL 算法相比,FaLASSO-SBL 算法的準(zhǔn)確性有所下降,原因是陣列流形矩陣中的列向量在測(cè)量數(shù)小的情況下相關(guān)性較高[15],導(dǎo)致FaLASSO-SBL 算法性能下降.但是當(dāng)測(cè)量數(shù)增大M ≥30 時(shí),本文提出的FaLASSO算法準(zhǔn)確性優(yōu)于OGSBL 算法、L-SR 算法和SUREIR 算法.

圖18 為不同SNR 下DOA 估計(jì)準(zhǔn)確度的結(jié)果.其中,測(cè)量數(shù)設(shè)置為 50.如圖所示,HSL-SBL 算法和本文中提出的aLASSO-SBL 算法在SNR 為10 到 30 的范圍內(nèi)的DOA 估計(jì)準(zhǔn)確性優(yōu)于其余算法,但是HSL-SBL 算法在SNR 小于 10 時(shí)失效.與HSLSBL 算法和aLASSO-SBL 算法相比,FaLASSOSBL 算法的準(zhǔn)確性有所下降.

表3 給出了SNR 為20 dB,測(cè)量數(shù)為 50 時(shí)各單快拍DOA 估計(jì)算法單次運(yùn)行時(shí)間.結(jié)合圖17 和圖18 可知,相比于HSL-SBL 算法,本文提出aLASSO-SBL 算法在不增加計(jì)算量的前提下提高了算法的穩(wěn)定性,在小測(cè)量數(shù)或低信噪比的情況下性能優(yōu)于HSL-SBL 算法.而本文提出的FaLASSOSBL 算法在運(yùn)算速度方面具有優(yōu)勢(shì).

表3 單快拍DOA 估計(jì)實(shí)驗(yàn)各算法單次運(yùn)行時(shí)間Table 3 Time consumptions of different algorithms for single snapshot DOA estimation

4.6 仿真結(jié)果分析總結(jié)

下面對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行總結(jié).通過圖5、圖6、圖7和圖8 可知,在相同測(cè)量數(shù)下,本文提出aLASSOSBL 和FaLASSO-SBL 算法稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確性優(yōu)于現(xiàn)有算法.另外,比較表1 和表2,當(dāng)信號(hào)維度增加時(shí),本文提出aLASSO-SBL 算法的計(jì)算量會(huì)明顯提高,本文提出的FaLASSO-SBL 算法對(duì)高維信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)時(shí),在計(jì)算量方面比aLASSO-SBL 算法有明顯優(yōu)勢(shì).根據(jù)圖9、圖10、圖11 和圖12 可知,aLASSO-SBL 和FaLASSO-SBL 算法魯棒于信號(hào)的稀疏度,即在稀疏度比較低的情況下仍然可以精確的恢復(fù)出信號(hào).根據(jù)圖13、圖14、圖15 和圖16可知,本文提出的LASSO-SBL 和FaLASSO-SBL算法的在高SNR 的條件下信號(hào)恢復(fù)準(zhǔn)確性比其它常用算法高.

對(duì)于單快拍DOA 估計(jì)而言,由于單快拍DOA估計(jì)中陣列流型矩陣的列向量具有在測(cè)量數(shù)較少時(shí)相關(guān)性較高,所以導(dǎo)致FaLASSO-SBL 算法在小測(cè)量數(shù)時(shí)(M ≤20)性能下降.根據(jù)圖17 和圖18 可知,當(dāng)測(cè)量數(shù)較大時(shí),本文提出的aLASSO-SBL 算法和FaLASSO-SBL 算法的單快拍DOA 估計(jì)準(zhǔn)確性優(yōu)于現(xiàn)有單快拍DOA 估計(jì)算法,結(jié)合表3 可知,本文提出的FaLASSO 算法降低了aLASSO-SBL算法計(jì)算量.綜上所述,當(dāng)測(cè)量矩陣A的列向量不相關(guān)時(shí),aLASSO-SBL 算法的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度優(yōu)于現(xiàn)有算法,FaLASSO-SBL 算法的準(zhǔn)確度略低于aLASSO-SBL 算法但是計(jì)算量明顯低于aLASSOSBL 算法;當(dāng)測(cè)量矩陣A的列向量相關(guān)時(shí),FaLASSOSBL 算法的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度有明顯下降.對(duì)于單快拍DOA 估計(jì)而言,在測(cè)量數(shù)大的情況下FaLASSOSBL 算法準(zhǔn)確性和運(yùn)算速度優(yōu)于現(xiàn)有算法.

5 結(jié)論

針對(duì)稀疏信號(hào)恢復(fù)問題,本文提出了兩種SBL算法,即aLASSO-SBL 算法和FaLASSO-SBL 算法.其中,FaLASSO-SBL 算法是aLASSO-SBL 算法的快速算法.具體的創(chuàng)新點(diǎn)為:1) 提出一種多層先驗(yàn)的稀疏貝葉斯框架用于稀疏貝葉斯模型構(gòu)建,賦予信號(hào)中元素獨(dú)立的LASSO 先驗(yàn).通過分析,自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)比現(xiàn)有稀疏先驗(yàn)更有效的鼓勵(lì)稀疏.根據(jù)構(gòu)建的稀疏恢復(fù)模型提出了aLASSOSBL 算法.2) 在貝葉斯推斷階段,利用空間輪換方法避免矩陣求逆運(yùn)算,進(jìn)一步降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度,使參數(shù)更新快速高效.從而提出了FaLASSOSBL 算法.本文提出的算法的稀疏恢復(fù)性能通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明本文提出基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法比現(xiàn)有算法具有更高的稀疏恢復(fù)準(zhǔn)確度;本文提出的快算法的準(zhǔn)確度略低于基于自適應(yīng)LASSO 先驗(yàn)的SBL 算法,但計(jì)算復(fù)雜度明顯降低.對(duì)于單快拍DOA 估計(jì)而言,在測(cè)量數(shù)大的情況下FaLASSO-SBL 算法準(zhǔn)確性和運(yùn)算速度優(yōu)于現(xiàn)有算法.

附錄A

Woodbury 引理.如果矩陣A、矩陣C和矩陣C?1+V A?1U是非奇異矩陣,則有以下恒等式:

其中,矩陣A、矩陣C、矩陣U和矩陣V為維度合適的矩陣.