代 鵬， 王建平， 魯 玨， 閆淑萍， 錢志高， 王風濤

(1. 安徽工程大學 機械工程學院， 安徽 蕪湖 241000；2. 安徽工程大學 生物與食品工程學院， 安徽 蕪湖 241000； 3. 中國北方發(fā)動機研究所， 天津 300000)

直齒輪副因為其瞬時傳動比穩(wěn)定，傳動效率高，使用壽命長等優(yōu)點被廣泛應用在現(xiàn)代機械工業(yè)傳動機構中[1]。但因為齒輪副的制造安裝誤差、疲勞磨損，載荷突增，潤滑失效等因素常常造成齒輪副的故障，其中齒根裂紋就是齒輪副常見故障之一。當齒輪齒根出現(xiàn)裂紋時，將大大影響齒輪副的傳動精度，增加齒輪箱的振動與噪音，降低齒輪副傳動NVH性能，嚴重時將導致齒輪副傳動失效[2]。

時變嚙合剛度作為齒輪副中主要的動態(tài)激勵源，是研究齒輪副動力學特征及振動特性重要的特征參數(shù)[3]。目前，研究直齒輪副時變嚙合剛度主要有兩種手段，一種是有限元法，另一種是分析法，Saxena等[4]通過分析的方法逐漸完善健康齒輪和故障齒輪時變嚙合剛度計算理論。Yang等[5-6]通過勢能法提出齒輪副時變嚙合剛度應包括彎曲剛度，徑向壓縮剛度和赫茲接觸剛度。Tian[7]在2004年通過齒輪剪切勢能提出觀點，齒輪副時變嚙合剛度還應包括剪切剛度，同時討論了斷齒和裂齒的影響。Sainsot等[8]研究了直齒輪傳動過程中因齒輪基體形變而產生的基體剛度，進一步完善了齒輪副嚙合傳動時變嚙合剛度理論。

對于齒根裂紋故障的研究，李小虎等[9]利用頻域響應對齒輪箱進行故障診斷。肖志松等[10]通過對故障行星輪系的研究，提出利用散度指標作為齒輪故障的判據(jù), 可以改變使用單一判據(jù)的局限性。Wu等[11]研究了齒輪副的動態(tài)有限元模型，以預測齒輪副輪齒的裂紋擴展路徑。同時研究了裂紋擴展過程中不同裂紋深度下齒輪副嚙合剛度的變化。Chaari等[12]建立了帶有裂紋故障的齒輪剛度分析模型，研究分析齒根裂紋故障和斷齒對齒輪副嚙合剛度的影響。萬志國等[13]提出含有齒輪裂紋齒輪副時變嚙合剛度的修正算法，并對其動力學特征進行建模。王鑫等[14]建立了2級定軸齒輪-1級行星齒輪非線性動力模型，利用斷齒故障因子定義故障程度，仿真求解斷齒故障的動力學特性。雷亞國等[15]研究了行星齒輪傳動系統(tǒng)在不同位置處的裂紋故障振動特點，并通過試驗驗證了其數(shù)學模型的正確性。

對齒輪傳動系統(tǒng)的故障診斷，傳統(tǒng)的信號分析方法局限于穩(wěn)態(tài)信號或轉軸轉速變化幅度微小的平穩(wěn)信號，但實際中齒輪傳動系統(tǒng)的運行工況較為復雜，而且常常在變速變載的非穩(wěn)定工況下運行，利用傳統(tǒng)的信號分析方法分析非穩(wěn)態(tài)信號時，會造成頻率模糊現(xiàn)象，為故障信號的判別和提取分析增加難度[16]。針對非穩(wěn)定工況下齒輪副振動故障診斷，常用階次分析的手段，利用角域的準平穩(wěn)信號代替變速非平穩(wěn)信號，從而實現(xiàn)振動信號的重新采樣，通過齒輪的振動階次來對故障位置進行診斷，但該方法硬件價值高，安裝復雜[17]。1990年，Potter[18]利用計算機式階次分析方法，此方法利用軟件實現(xiàn)等角度取樣，擺脫成本昂貴的硬件設備，但此方法對設備的健相信號獲取存在難度。為此，在2001年，郭瑜等[19]提出一種基于瞬時頻率的無健相階次分析方法，通過峰值搜索和最小二乘擬合得到連續(xù)的瞬時頻率，然后再通過等角度取樣獲得角域平穩(wěn)信號。Heyns等[20-21]等提出角域平均方法，此方法增強了特征參數(shù)，有利于對齒輪箱在變工況下的故障診斷。

對于非平穩(wěn)信號的處理，除了階次分析方法外，近年來學者們也陸續(xù)提出基于時頻分析和特征指標判別的方法。2000年，Baydar等[22]首次利用時頻分析方法，通過時間和頻率的二維聯(lián)合分布，全面描述頻率的時變信息，研究了載荷波動對齒輪箱故障特征的影響。隨之在2004年，Melzer等[23]在小波變換的基礎上構建了小波極坐標幅值圖，能夠有效地處理旋轉機械振動中的非平穩(wěn)信號。Bain等[24]將振動信號劃分為若干小區(qū)間，這樣就將大范圍內的非平穩(wěn)信號轉化為小范圍的偽平穩(wěn)信號，然后在對每個小區(qū)間的振動信號提取統(tǒng)計特征，利用此特征進行故障診斷，但分類效果受區(qū)間劃分策略影響較大。

對于變工況下齒輪副振動信號的處理，現(xiàn)主要處理非穩(wěn)定信號的技術手段較為復雜，不利于在齒輪箱振動故障檢測中靈活應用，難以得到普及和推廣。基于此，本文以變工況下裂紋故障齒輪副為主要研究對象，建立裂紋故障齒輪副的嚙合剛度模型和齒輪副動力學模型，研究齒輪副在變工況下的振動特性，模擬在變工況中齒輪副的振動，并利用短時傅里葉變換處理非平穩(wěn)振動信號，為變工況齒輪副振動故障檢測提供另一種方法。最后進行試驗進行對比，進一步驗證模型建立和所得理論分析的正確性，同時也驗證了短時傅里葉變換在變工況齒輪副振動處理上的有效性。為實際工程中齒輪副振動故障檢測和健康狀態(tài)評估提供理論參考。

1 裂紋故障齒輪副模型建立

1.1 時變嚙合剛度計算模型

下面利用勢能法對齒輪副時變嚙合剛度進行建模。根據(jù)前眾多學者研究，當齒輪副出現(xiàn)齒根裂紋故障時，單個輪齒的慣性矩Ix和截面積Ax將發(fā)生變化，導致齒輪副的彎曲剛度kb，剪切剛度ks和徑向壓縮剛度ka發(fā)生變化，而對于齒輪基體形變導致的剛度和赫茲接觸剛度，其二者所受影響很小，可以忽略不計。下面對彎曲剛度，剪切剛度和徑向壓縮剛度進行建模。如圖1給出簡化后的初期直線裂紋齒輪副嚙合剛度計算懸臂梁模型，裂紋故障在主動輪輪齒，其中q1為裂紋深度，γ為直線裂紋與故障輪齒中心線O1P所成角度。

圖1 裂紋故障輪齒懸臂梁模型Fig.1 Model of cantilever beam with cracked and faulty gear teeth

Ix和Ax為輪齒慣性矩和面積矩，可由下式計算

(1)

(2)

利用Tian的結論，由此化簡后，可得到裂紋輪齒的彎曲剛度kb為

(3)

裂齒的剪切剛度ks為

(4)

裂齒的徑向壓縮剛度ka為

(5)

根據(jù)以上所建立的裂紋故障齒輪副嚙合剛度計算模型，設置齒輪副主要參數(shù)如表1，齒輪副主動輪發(fā)生直線裂紋故障，其中裂紋的長度q1為0.5 mm，裂紋與輪齒中心線所成夾角γ為70°，進行計算后得到齒輪副嚙合剛度結果如圖2。

表1 直齒輪副主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of spur gear pair

如圖2可見，當齒輪副主動輪齒根出現(xiàn)裂紋時，對其時變嚙合剛度影響較大。在健康齒輪副嚙合傳動過程中，齒輪副時變嚙合剛度會隨著單雙齒嚙合區(qū)間的不同，嚙合剛度發(fā)生突變，且雙齒嚙合區(qū)間內的嚙合剛度遠遠大于單齒嚙合區(qū)間的嚙合剛度，并隨著齒輪副嚙合進行，時變嚙合剛度呈現(xiàn)出周期變化的特點，這是齒輪副正常振動的主要激勵源。在主動輪輪齒齒根發(fā)生裂紋缺陷時，在裂紋輪齒參與嚙合的過程中齒輪副嚙合剛度減小，單雙齒嚙合區(qū)間內嚙合剛度都呈現(xiàn)出減小的趨勢。除裂紋所在輪齒外，其余健康輪齒嚙合剛度保持不變。

圖2 齒輪副時變嚙合剛度Fig.2 Time-varying meshing stiffness of gear pair

1.2 齒輪副動力學模型

如圖3利用拉格朗日方程建立直齒輪副8自由度的齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型，該模型包括4個平移自由度和4個轉動自由度，其動力學模型參數(shù)參考文獻[3]，主要特征參數(shù)如表2，動力學模型方程為

輸入軸方程：

(6)

輸出軸方程：

(7)

主動輪方程：

(8)

從動輪方程：

(9)

式中，F(xiàn)M為作用在齒輪上的動態(tài)嚙合力，其計算表達式為

(10)

(11)

式中：Fk和Fc為嚙合輪齒間的彈性嚙合力和黏性嚙合力；Rb1和Rb2為主動輪和從動輪的基圓半徑；Im和Ib為電機和負載的轉動慣量；I1和I2為主動輪和從動輪的轉動慣量；m1和m2為主動輪和從動輪的質量；M1和M2為電機的輸入轉矩和負載的輸出轉矩；kt和ct為齒輪副時變嚙合剛度和阻尼系數(shù)；kp和cp為輸入軸的扭轉剛度和阻尼系數(shù)；kg和cg為輸出軸扭轉剛度和阻尼系數(shù)；k1和c1為輸入軸軸承的支撐剛度和阻尼系數(shù)；k2和c2為輸出軸軸承的支撐剛度和阻尼系數(shù)；x1和x2為主動輪和從動輪在x方向的位移；y1和y2為主動輪和從動輪在y方向的位移；θ1和θ2為主動輪和從動輪的轉角位移；θm和θb為電機轉子和負載的轉角位移；

2 齒輪副穩(wěn)定工況下振動特性

2.1 齒輪副轉速特性

眾多學者研究了故障齒輪副在固定轉速下的振動特性，所得到的結論大致相一致。但為使研究更具有一般性，下面對齒輪副在不同輸入轉速下的振動特性展開研究，為研究齒輪副在非穩(wěn)定工況下振動特點提供理論基礎。

圖3 齒輪傳動系統(tǒng)模型Fig.3 Gear transmission system model

表2 齒輪副傳動系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.2 Main parameters of gear pair transmission system

如圖4(a)齒輪副在不同轉速下的振動時域信號，因為主動輪中存在局部故障，使得在振動時域中出現(xiàn)明顯的周期性脈沖沖擊，脈沖沖擊的頻率與局部故障所在齒輪轉頻相一致；隨著齒輪副轉速增加，齒輪副健康輪齒嚙合造成的正常振動和故障輪齒嚙合造成的脈沖沖擊振動幅值都增大。在利用快速傅里葉變換處理齒輪副振動時域信號后可得到齒輪副的頻域如圖4(b)，可知齒輪副振動信號主要的頻率組成為齒輪副嚙合頻率，進一步驗證了齒輪副主要的振動來源為齒輪副的嚙合行為；嚙合頻率的基頻fm和二倍頻2fm幅值隨齒輪副轉頻升高而不斷增大，進一步說明齒輪副振幅隨轉頻升高而增大；同時因為故障輪齒造成的脈沖沖擊使得在頻譜圖上出現(xiàn)嚙合頻率fm與轉頻fr調制生成的邊頻帶,相鄰邊頻帶的頻率間隔為fr。在利用統(tǒng)計學的方法處理圖4(a)的振動時域信號后可得到圖4(c)的結果，隨著齒輪副轉頻升高，齒輪副健康輪齒振動幅值和局部故障所在輪齒嚙合造成的沖擊峰幅值都增大，同時齒輪副振動信號的有效值(RMS)和振動峰峰值(xp-p)都增大。為研究在不同轉頻下因周期性脈沖沖擊調制生成的邊頻帶分布規(guī)律，從圖4(b)中提取部分轉頻下的齒輪副振動頻域信號如圖4(d)。如圖4(d),邊頻帶分布明顯，相鄰邊頻帶的頻率間隔為轉頻頻率fr; 最后從邊頻帶的分布來看，在裂紋故障初期時，其邊頻帶首先出現(xiàn)在嚙合頻率的基頻和四倍頻之間，即fm～4fm，在六倍頻6fm附近也存在部分邊帶頻，整體上邊頻帶分布主要集中于低頻，在高頻段分布較少；隨著轉頻增加，齒輪副嚙合頻率相應變化，此時邊頻帶的幅值隨之增大，相鄰邊頻帶的頻率間隔仍為轉頻fr,但邊頻帶與嚙合頻率的相對位置保持不變，仍在fm～4fm之間低頻段。

(a) 振動時域

(b) 振動頻域

(c) 振動時域特性

(d) 頻帶信息圖4 裂紋故障齒輪副轉速特性Fig.4 Speed characteristics of cracked faulty gear pair

從以上可知，故障齒輪副在不同轉速下運行時，其振動的時域信號和頻域信號具有相似性。其時域會出現(xiàn)周期性的沖擊振動，相鄰沖擊峰的時間間隔對應著故障所在轉軸的轉軸頻率。其振動頻域主要頻率組成為嚙合頻率及其諧波，同時因為故障存在，頻譜圖上出現(xiàn)嚙合頻率與故障所在轉軸的轉軸頻率調制生成的頻帶，相鄰邊頻帶的頻率間隔為轉軸頻率?？筛鶕?jù)此振動特性，判斷齒輪副中故障的位置。

2.2 齒輪副載荷特性

如圖5(a)裂紋故障齒輪副在不同轉矩負載下的振動時域信號，在振動時域信號中存在明顯的周期性脈沖沖擊，沖擊的頻率與轉頻fr一致，時間間隔為0.033 3 s；隨著轉矩負載的增大，齒輪副正常振動與脈沖沖擊峰幅值都隨之增大。在利用快速傅里葉變換后得到圖5(b)的振動頻域圖，振動頻域主要組成仍為嚙合頻率及高倍諧波，而且，主要頻率的幅值隨負載增大而增大；同時，邊頻帶分布明顯，隨著負載的增大，邊頻帶幅值增大，分布區(qū)間隨負載變化很小，仍位于fm～4fm之間低頻段。如圖5(c),振動時域信號中正常振動幅值以及脈沖沖擊幅值都隨著負載轉矩的增大而增大，同時振動有效值和峰峰值都增大。提取5(b)中主要頻率的幅值，繪成圖5(d),可見振動各主要頻率的幅值都隨著負載增加而增加，進一步映證了負載轉矩增大，齒輪副振動增大。

(a) 振動時域

(b) 振動頻域

(c) 振動時域特性

(d) 振動頻域特性圖5 裂紋故障齒輪副載荷特性Fig.5 Load characteristics of the gear pair with cracked failure

故障齒輪副在不同負載轉矩下運行，其得到的振動信號也具有相似性，其時域的脈沖沖擊和頻域的頻率組成一致，只是隨著負載轉矩的增大，其齒輪副振動幅值增大。

3 齒輪副非穩(wěn)定工況下振動特性

針對齒輪副振動故障檢測過程中存在轉速和負載轉矩的波動，以及關鍵零部件在受損后受到摩擦力及交變載荷作用，導致振動信號往往具有非平穩(wěn)性并伴隨調制現(xiàn)象的產生。利用現(xiàn)有常用的快速傅里葉變換所得到的頻譜會出現(xiàn)嚴重的頻率混疊現(xiàn)象，不利于對齒輪副特征頻率的識別和齒輪副健康狀態(tài)的評估。所以利用短時傅里葉變換(STFT)處理齒輪副非平穩(wěn)振動信號。

3.1 變轉速工況

3.1.1 加速工況

為研究齒輪副在加速情況下的振動特點，設置齒輪副初始轉頻為20 Hz，最終轉頻50 Hz，電機加速的時間一共為2 s，進行仿真試驗，所得齒輪箱中主動輪y方向振動加速度信號如圖6。如圖6(a)齒輪副振動時域圖，可以明顯看出齒輪副存在脈沖沖擊，而且沖擊的時間間隔逐漸減?。煌瑫r隨著齒輪副轉頻的增大，齒輪副正常振動和脈沖沖擊峰幅值都增大，驗證了在第二章中齒輪副的轉速特性。在將振動時域信號經(jīng)過STFT處理后得到振動的頻域圖，如圖6(b),齒輪副嚙合頻率及諧波不斷增大，說明齒輪副轉頻不穩(wěn)定，轉速一直增大；同時裂紋輪齒嚙合造成的沖擊振動明顯，而且相鄰沖擊峰的時間間隔不斷減小。以此可以判斷齒輪副轉速變化和當前健康狀態(tài)。

(a) 時域信號

(b) 頻域信號圖6 加速工況下齒輪箱振動信號Fig.6 Gearbox vibration signal under acceleration conditions

3.1.2 轉速波動

當齒輪副在設定目標轉速下運行時，由于電機的控制精度和轉速誤差，以及齒輪副嚙合行為對齒輪轉速的影響，往往造成齒輪副的轉速誤差。為研究齒輪副轉速在目標上下波動工況下運行時齒輪副的振動特點，給定齒輪副的轉頻如下

(12)

(a) 時域信號

(b) 頻域信號圖7 轉速波動工況下齒輪箱振動信號Fig.7 Gearbox vibration signal under the condition of fluctuating speed

3.2 變載荷工況

(a) 時域信號

(b) 頻域信號圖8 變載荷工況下齒輪箱振動信號Fig.8 Gearbox vibration signal under variable load conditions

4 試驗驗證

為驗證以上模型建立和對所得結果分析的正確性，進一步研究分析齒輪副在變工況下的振動特性，下面通過試驗臺架試驗驗證。如圖9，使用HD-CL-012C轉子齒輪箱試驗臺進行試驗。所采用的裂紋故障主動輪如圖10，其中直線裂紋長度為0.5 mm，裂紋與輪齒中心線夾角為70°。

圖9 HD-CL-012C轉子齒輪箱試驗臺Fig.9 HD-CL-012C rotor gearbox test bench

圖10 裂紋齒輪Fig.10 Cracked gear

試驗各參數(shù)與仿真試驗設置相一致，其中齒輪副齒數(shù)比為23∶81，齒輪模數(shù)為1.5 mm。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的取樣頻率為30 kHz，加速度傳感器的測點為主動輪軸承端蓋，采集鉛錘方向的振動加速度時域信號，此方向與齒輪副的嚙合線方向較為接近，對所得試驗數(shù)據(jù)造成的誤差較小。

4.1 穩(wěn)定工況

為研究齒輪副在穩(wěn)定工況下的振動響應，設置電機輸入轉速為1 200 r/min，負載轉矩為50 N·m，進行試驗后加速度傳感器所測得振動信號如圖11。

(a) 時域

(b) 頻域圖11 穩(wěn)定工況下齒輪副試驗振動信號Fig.11 The experimental vibration signal of the gear pair under stable working conditions

如圖11(a)裂紋故障的振動時域信號，在其時域信號上存在明顯的周期性脈沖沖擊峰，每相鄰沖擊峰的時間間隔為0.050 25 s，對應著轉軸頻率fr=20 Hz。同時在圖11(b)齒輪副振動頻域中，發(fā)現(xiàn)齒輪副振動的主要頻率組成為齒輪副的嚙合頻率及高倍頻，說明齒輪副的振動主要來自于齒輪副的嚙合行為；同時因為裂紋故障而在頻域上出現(xiàn)嚙合頻率與轉軸頻率調制的邊頻帶信息，其邊頻帶主要分布于嚙合頻率一倍頻到二倍頻，及6倍頻左右，及fm～2fm和6fm左右；相鄰邊頻帶的頻率間隔為轉軸頻率fr。此與之前理論分析的結果一致。

4.2 變速工況

為驗證裂紋故障齒輪副在變速工況下的振動特性，設置齒輪副的初始轉速為1 200 r/min，電機升速率為600 r/s，目標轉速為2 100 r/min，制動器負載轉矩為25 N·m，進行試驗，其加速度傳感器采集的振動信號如圖12。如圖12(a)振動時域，發(fā)現(xiàn)當齒輪副轉速升高過程中，所測得振動信號幅值不斷增大。同時圖12(b)振動頻域中其嚙合頻率隨轉速升高不斷升高，嚙合頻率基頻fm幅值不斷增大，裂紋輪齒造成的沖擊明顯，并隨著轉速升高，頻域上相鄰沖擊峰的時間間隔也不斷減小，此說明故障齒輪副轉速不穩(wěn)定，處于加速過程。

(a) 時域信號

4.3 變載工況

設置驅動電機的轉速為1 200 r/min，制動器初始負載在20 N·m，逐漸加載為35 N·m，采集加速度傳感器振動信號，其結果如圖13。如圖13(a)振動時域信號，在逐漸加載過程中，齒輪副振動幅值不斷增大，同時在13(b)振動頻域中，嚙合頻率基頻fm幅值不斷增大，頻域中存在周期性沖擊峰。但由于在加載過程中，電機轉速出現(xiàn)微小波動，導致在高倍頻段出現(xiàn)嚙合頻率跳動現(xiàn)象。

(a) 時域信號

(b) 頻域信號圖13 變載工況下齒輪副試驗振動信號Fig.13 Test vibration signal of gear pair under variable load conditions

通過以上試驗，其試驗結果和通過建立數(shù)學模型分析的仿真結果數(shù)據(jù)趨勢一致，二者高度吻合，說明本數(shù)學模型建立和對所得結果分析的相對正確性，也進一步驗證了短時傅里葉變換信號處理方法在處理故障齒輪副變工況下振動信號的有效性。

5 結 論

針對變工況下裂紋故障齒輪副振動特性問題，本文會根據(jù)勢能法和拉格朗日方程建立裂紋故障齒輪副時變嚙合剛度計算模型和8自由度齒輪副動力學模型，分析研究齒輪副發(fā)生裂紋故障時的振動特性，利用短時傅里葉變換處理齒輪副在變工況下的非平穩(wěn)信號，同時利用試驗驗證理論模型建立的正確性。研究結果表明:

齒輪副發(fā)生裂紋故障時，在振動時域上出現(xiàn)周期性的脈沖沖擊，在振動頻域上出現(xiàn)調制生成的邊頻帶。并且隨著齒輪副的轉速和負載轉矩的升高，齒輪副的正常振動幅值和脈沖沖擊峰幅值都增大，頻譜圖上邊頻帶幅值增大，并呈現(xiàn)出一定的分布規(guī)律。

在研究齒輪副在非穩(wěn)定工況下的振動特性時，本文利用短時傅里葉變換(STFT)處理齒輪副的非平穩(wěn)振動信號，發(fā)現(xiàn)隨著裂紋故障齒輪副轉速和外部負載的變化，在振動頻域上也表現(xiàn)出明顯的沖擊，可根據(jù)脈沖沖擊的幅值判斷裂紋故障的程度，同時也可根據(jù)相鄰脈沖的時間間隔判斷齒輪副運轉的穩(wěn)定性。

最后通過HD-CL-012C轉子齒輪箱試驗臺試驗，驗證本理論模型和結論的正確性，發(fā)現(xiàn)試驗結果與理論結果相一致，進一步表明本理論模型和結論的正確性，也驗證了短時傅里葉變換在處理齒輪箱非平穩(wěn)振動信號上的有效性。