蔣家昊, 蔣晨雨, 崔懷峰, 李之同

（寧波工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院, 浙江 寧波 315211）

0 引言

車(chē)內(nèi)噪聲對(duì)駕乘人員的身體健康危害極大，如造成干擾交流，引起聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)的變化，影響非聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)，甚至可能引起人體病理性改變等。截止2020 年6 月，中國(guó)機(jī)動(dòng)車(chē)保有量達(dá)3.6 億輛，數(shù)量眾多。因此如何減振降噪是當(dāng)前的一大主要研究課題。 最初的研究者們是通過(guò)被動(dòng)降噪的方法來(lái)解決，比如采用結(jié)構(gòu)阻尼和聲吸收的物理處理，但是會(huì)產(chǎn)生許多低頻（0～500 Hz）噪聲[1-2]。被動(dòng)降噪技術(shù)只能在一定程度上降低車(chē)內(nèi)噪聲的危害，不能很好地滿足當(dāng)今人們對(duì)駕乘的舒適度和安全性要求。 人們開(kāi)始在主動(dòng)噪聲控制技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)行探索。1933 年德國(guó)物理學(xué)家保羅·勒格初步提出關(guān)于主動(dòng)噪聲控制的基本思想；1991 年日產(chǎn)汽車(chē)首次在其生產(chǎn)的中型車(chē)上大規(guī)模安裝獨(dú)立的噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)來(lái)降低發(fā)動(dòng)機(jī)轟鳴聲[3]。國(guó)內(nèi)對(duì)這方面的研究較晚，但是發(fā)展速度較快。 1979 年，沙家正等人開(kāi)始了噪聲有源控制技術(shù)的研究，并取得了良好的效果。 西北工業(yè)大學(xué)數(shù)據(jù)中心黎中偉等對(duì)螺旋槳飛行器艙內(nèi)噪聲主動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用傳統(tǒng)的FxLMS 算法[4]實(shí)現(xiàn)了對(duì)艙內(nèi)噪聲的多通道主動(dòng)控制。此外，還有許多學(xué)者在這一領(lǐng)域做了大量工作[5-7]。

FxLMS 算法構(gòu)建簡(jiǎn)單、整體性能較穩(wěn)定，廣泛應(yīng)用于噪聲控制研究中，但存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差無(wú)法達(dá)到統(tǒng)一的缺點(diǎn)。 因此，本研究首次將Sigmoid 函數(shù)和Softsign 函數(shù)應(yīng)用于噪聲控制領(lǐng)域，并將二者結(jié)合提出了分段函數(shù)變步長(zhǎng)FxLMS 改進(jìn)算法，從而改進(jìn)FxLMS 算法的缺點(diǎn)。

1 FxLMS 反饋算法

圖1 為FxLMS 反饋算法原理圖，圖中各符號(hào)的含義為：d(k)為初級(jí)噪聲，P(z)為初級(jí)通道，S(z)為次級(jí)通道為次級(jí)通道估計(jì)，x(k)為估計(jì)的參考信號(hào)，y(k)為控制器發(fā)出的次級(jí)聲波，ys(k)為次級(jí)源在傳聲器處產(chǎn)生的聲壓信號(hào)，即誤差麥克風(fēng)處的次級(jí)聲波是估計(jì)的次級(jí)聲波，e(k)為誤差麥克風(fēng)的輸出誤差，W(z)為自適應(yīng)濾波器。 在仿真中和 W(z)均利用 FIR 濾波器進(jìn)行建模。

圖1 FxLMS 反饋算法原理圖

在時(shí)刻k，自適應(yīng)濾波器W(z)的輸出y(k)為

其中，Wl(k)為L(zhǎng) 階自適應(yīng)FIR 濾波器W(z)在k 時(shí)刻的系數(shù)。 次級(jí)聲波ys(k)為

其中，sm為 M 階 FIR 濾波器 S(z)的系數(shù)。 誤差信號(hào) e(k)為

濾波后的參考信號(hào)x′(k)在時(shí)刻k 定義為

濾波器W(z)在k 時(shí)刻的系數(shù)wl(k)通過(guò)FxLMS 算法更新為

其中，μ 為固定步長(zhǎng)或收斂系數(shù)。 為了確保整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，步長(zhǎng)因子的取值范圍表達(dá)式為

其中，L 為濾波器的階數(shù)，Px是濾波參考信號(hào) x′(k)的功率。

聲信號(hào)使用噪聲測(cè)試設(shè)備實(shí)車(chē)采集，如圖2 所示，測(cè)試條件設(shè)定為發(fā)動(dòng)機(jī)怠速3 000 r/min，車(chē)內(nèi)空調(diào)關(guān)閉，濾波器W(z)階數(shù)為16 階，信號(hào)的長(zhǎng)度取值為4 096*32，采樣率設(shè)置為51 200。

圖2 噪聲測(cè)試設(shè)備及傳感器布置:(a)測(cè)試設(shè)備; (b)發(fā)動(dòng)機(jī)頂部加速度傳感器; (c)發(fā)動(dòng)機(jī)左側(cè)加速度傳感器; (d)副駕駛麥克風(fēng)

2 分段函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法

2.1 基于Sigmoid 函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法

Sigmoid 函數(shù)是一個(gè)常見(jiàn)的S 型函數(shù)。 在信息科學(xué)中，由于其單增以及反函數(shù)單增等性質(zhì)，常被用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的閾值函數(shù)。 本研究首次嘗試將其使用于降噪領(lǐng)域，通過(guò)Sigmoid 函數(shù)來(lái)改變FxLMS 算法中的定步長(zhǎng)[3]，由此得到基于Sigmoid 函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)：Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法）。 Sigmoid 函數(shù)變步長(zhǎng) μ(k)如下：

其中，e(k)為誤差麥克風(fēng)處的誤差信號(hào)，α 和β 為常量。

圖3 為基于Sigmoid 函數(shù)的步長(zhǎng)因子圖形。 圖3(a)為當(dāng)β=1 時(shí)，不同α 值對(duì)函數(shù)圖形的影響，圖3(b)為當(dāng)α=1 時(shí)，不同β 值對(duì)函數(shù)圖形的影響。 分析可知，β 值主要影響的是函數(shù)的值域，α 值主要影響的是函數(shù)的變化率。

圖3 Sigmoid 函數(shù)中e(k)和μ 之間的關(guān)系曲線:（a）β=1 時(shí)， α 對(duì)函數(shù)曲線影響; （b）α=1 時(shí)， β 對(duì)函數(shù)曲線影響

在對(duì)Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法仿真之前，先使用傳統(tǒng)的FxLMS 算法對(duì)采集的發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲進(jìn)行仿真控制。當(dāng)步長(zhǎng)取0.06 時(shí)，系統(tǒng)的控制性能達(dá)到最優(yōu)，仿真結(jié)果如圖4 所示。圖4(a)為FxLMS 算法控制后的噪聲，圖4(b)是初級(jí)噪聲和次級(jí)聲波。 控制后系統(tǒng)在采樣點(diǎn)數(shù)為7×104（即瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間為1.367秒）時(shí)開(kāi)始進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為0.005。

圖4 基于傳統(tǒng)的FxLMS 算法控制的發(fā)動(dòng)機(jī)怠速噪聲:(a)FxLMS 算法控制后的噪聲; (b)初級(jí)噪聲與次級(jí)聲波

再利用Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法對(duì)相同的噪聲源即發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲進(jìn)行控制，仿真結(jié)果如圖5 所示，其中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：α=1.6，β=30。 圖5(a)為Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法控制后的噪聲，圖5(b)是初級(jí)噪聲和次級(jí)聲波。 從圖5(a)可以看到采用Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲控制后，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)數(shù)為7×104（即瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間為1.367 秒）時(shí)開(kāi)始進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為0.006。

圖5 基于Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法控制的發(fā)動(dòng)機(jī)怠速噪聲: (a)Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法控制后的噪聲;(b)初級(jí)噪聲與次級(jí)聲波; (c)采樣點(diǎn)數(shù)與μ 值變化曲線圖

圖5(c)為Sigmoid 函數(shù)變步長(zhǎng)μ 值隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化圖形。由圖5(c)可知，變步長(zhǎng)μ 值在初始階段基本隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加而降低，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)達(dá)到4×104（即變步長(zhǎng)μ 值的非穩(wěn)定階段時(shí)間為0.781 秒）時(shí)，μ 值變化趨于穩(wěn)定，其值在0.07 上下波動(dòng)。

應(yīng)用Sigmoid 函數(shù)調(diào)整步長(zhǎng)的方式基本上符合自適應(yīng)濾波算法的步長(zhǎng)調(diào)整原則[8]：在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，步長(zhǎng)應(yīng)比較大，以便有較快的收斂速度和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號(hào)有多大，都應(yīng)保持很小的調(diào)整步長(zhǎng)以達(dá)到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。 因此該算法能夠協(xié)調(diào)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系， 使系統(tǒng)具有較快的響應(yīng)能力和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。但是Sigmoid 函數(shù)在誤差接近0 時(shí)其變化率(導(dǎo)數(shù)的下降速度)過(guò)大（圖3），從而使得系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。

2.2 基于Softsign 函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法

Softsign 函數(shù)是一種應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非飽和激活函數(shù)，本研究提出的將該函數(shù)應(yīng)用于主動(dòng)降噪領(lǐng)域。 Softsign函數(shù)為

圖6 為基于Softsign 函數(shù)的步長(zhǎng)因子。 它是以0 為中心的對(duì)稱(chēng)曲線，曲線形狀與tanh 函數(shù)類(lèi)似，其本質(zhì)是tanh 函數(shù)的一種平滑變體。 通過(guò)與Sigmoid 函數(shù)（圖3）對(duì)比可以明顯發(fā)現(xiàn)，Softsign 函數(shù)較之更為平滑且變化率更小，符合自適應(yīng)濾波算法的步長(zhǎng)調(diào)整原則。 該算法能更好地協(xié)調(diào)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系，取得較快的跟蹤速率。 圖6(a)為當(dāng)β=1 時(shí)，不同α 值對(duì)函數(shù)曲線的影響，圖6(b)為當(dāng)α=1 時(shí)，不同β 值對(duì)函數(shù)曲線的影響。 分析可知，β 值主要影響的是函數(shù)的值域，α 值主要影響的是函數(shù)的變化率和函數(shù)的值域。

圖6 Softsign 函數(shù)中e(k)和μ 之間的關(guān)系曲線:（a）β=1 時(shí)， α 對(duì)函數(shù)曲線影響； （b）α=1 時(shí)， β 對(duì)函數(shù)曲線影響

采用Softsign 函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)：Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法）對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲進(jìn)行控制，仿真結(jié)果如圖7 所示，其中相關(guān)參數(shù)取值為：α=50，β=15。 圖7(a)為Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法控制后的噪聲，圖7(b)是初級(jí)噪聲和次級(jí)聲波。 由圖7(a)可知Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法控制后，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)數(shù)為6×104時(shí)開(kāi)始進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為0.003。與Sigmoid 函數(shù)改進(jìn)算法相比，該算法取得了更好的穩(wěn)態(tài)性能，但收斂速度相對(duì)較慢。

圖7 基于Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法控制的發(fā)動(dòng)機(jī)怠速噪聲: (a)Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法控制后噪聲;(b)初級(jí)噪聲與次級(jí)聲波; (c)采樣點(diǎn)數(shù)與μ 值變化曲線圖

圖7(c)為Softsign 函數(shù)變步長(zhǎng)μ 隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化圖形。與Sigmoid 函數(shù)相比（圖5），Softsign 函數(shù)變步長(zhǎng)μ 值變化幅度小，導(dǎo)致收斂速度較慢，但是在收斂后由于其較小的μ 值使得系統(tǒng)更加穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差更小。 當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)達(dá)到6×104（即變步長(zhǎng)μ 值的非穩(wěn)定階段時(shí)間為1.172s）時(shí)，變步長(zhǎng)μ 值變化趨于穩(wěn)定，其值在0.06 上下波動(dòng)，較Sigmoid 函數(shù)波動(dòng)幅度更小。

2.3 基于分段函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法

基于Softsign 函數(shù)具有較好的穩(wěn)態(tài)性能但收斂速度較慢和Sigmoid 函數(shù)具有較快的收斂速度但穩(wěn)態(tài)性能較差的特點(diǎn)，將兩個(gè)函數(shù)組合成一個(gè)分段函數(shù)，以形成優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)和彌補(bǔ)各自的缺陷。 分段函數(shù)定義為

其中，γ 為分段函數(shù)中兩種函數(shù)切換的閾值。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知，Sigmoid 函數(shù)由于其曲率相對(duì)較大，所以當(dāng)誤差較大時(shí)能夠更快收斂，但在較小誤差時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。 Softsign 函數(shù)曲率相對(duì)較小，當(dāng)誤差較大時(shí)導(dǎo)致系統(tǒng)收斂速度較慢，但在較小誤差時(shí)會(huì)提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。由此考慮在不同的誤差時(shí)采用不同的函數(shù)變步長(zhǎng)（公式(10)），以期實(shí)現(xiàn)更好的控制性能。 分段函數(shù)的閾值γ 根據(jù)控制初始階段采用的Sigmoid 函數(shù)的收斂情況來(lái)確定，以防止當(dāng)閾值γ 取過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致無(wú)法平穩(wěn)過(guò)渡，而過(guò)小時(shí)無(wú)法發(fā)揮分段函數(shù)的優(yōu)勢(shì)。

采用基于分段函數(shù)變步長(zhǎng)的FxLMS 改進(jìn)算法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)分段函數(shù)改進(jìn)算法）對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲進(jìn)行控制，仿真結(jié)果如圖8 所示。 分段函數(shù)改進(jìn)算法中參數(shù)設(shè)置與單一函數(shù)改進(jìn)算法中的參數(shù)設(shè)置相同。 另外，閾值γ=0.005。 圖8(a)為分段函數(shù)改進(jìn)算法控制后的噪聲，圖8(b)是初級(jí)噪聲和次級(jí)聲波。 由圖8(a)可知，采用分段函數(shù)控制系統(tǒng)在采樣點(diǎn)數(shù)為3×104時(shí)就開(kāi)始進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)，控制后的誤差信號(hào)幅值為0.003。 和單一函數(shù)改進(jìn)算法相比，提高了收斂速度，同時(shí)保持了較好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖8 基于分段函數(shù)改進(jìn)算法控制的發(fā)動(dòng)機(jī)怠速噪聲: （a）分段函數(shù)改進(jìn)算法控制后噪聲;(b)初級(jí)噪聲與次級(jí)聲波; (c)采樣點(diǎn)數(shù)與μ 值變化曲線圖

圖8(c)為分段函數(shù)變步長(zhǎng)μ 隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化圖形。由圖可見(jiàn)，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)達(dá)到3×104（即變步長(zhǎng)μ值的非穩(wěn)定階段時(shí)間為0.586 秒）時(shí)，步長(zhǎng)μ 變化趨于穩(wěn)定，在0.06 上下波動(dòng)，基本與Softsign 函數(shù)波動(dòng)類(lèi)似。 通過(guò)綜合圖8(c)、圖7(c)和圖5(c)發(fā)現(xiàn)，分段函數(shù)改進(jìn)算法中變步長(zhǎng)μ 值一直在Sigmoid 函數(shù)和Softsign 函數(shù)之間切換，從而實(shí)現(xiàn)了兩種函數(shù)改進(jìn)算法的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，系統(tǒng)取得更快收斂速度和更高穩(wěn)定性。

表1 為傳統(tǒng)FxLMS 算法與各種函數(shù)變步長(zhǎng)改進(jìn)算法在系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)精度方面的比較。由表1 可知，分段函數(shù)改進(jìn)算法的收斂時(shí)間最短，穩(wěn)態(tài)誤差和Softsign 函數(shù)改進(jìn)算法一樣同為最小。 因此，分段函數(shù)改進(jìn)算法比傳統(tǒng)FxLMS 算法和單一函數(shù)改進(jìn)算法取得了更好的綜合控制性能。

表1 傳統(tǒng)FxLMS 算法與各種改進(jìn)算法的性能比較

3 結(jié)論

以FxLMS 算法為基礎(chǔ)，結(jié)合Softsign 函數(shù)的高穩(wěn)態(tài)性能和Sigmoid 函數(shù)的快速反應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)，創(chuàng)新性地開(kāi)發(fā)出分段函數(shù)變步長(zhǎng)FxLMS 改進(jìn)算法。 仿真結(jié)果表明：

（1）提出的基于Softsign 函數(shù)的改進(jìn)算法可有效提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

（2）分段函數(shù)變步長(zhǎng)FxLMS 改進(jìn)算法，實(shí)現(xiàn)了在控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.003 的高穩(wěn)態(tài)性能，同時(shí)具有收斂速度為0.586 秒的快速響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)車(chē)內(nèi)噪聲的有效控制。