萬心玥，胡 佳，孫湫娟，歐陽天利，王青蕓

(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

1 引言

排隊論[1]，是研究系統(tǒng)隨機聚散現(xiàn)象和隨機服務系統(tǒng)工作過程的數(shù)學理論和方法.運用排隊論原理和方法，通過對服務對象到來及服務時間的統(tǒng)計分析，可求解生活中存在的諸多排隊問題.

目前，關于排隊論的應用通?；趲追N典型的排隊論模型，例如M/M/C模型[2].關于應用在食堂窗口的排隊論模型，王葉韻[3]、劉蕊[4]等選擇的是多服務臺模型中的M/M/C模型，該方法嚴格要求服務強度小于1.而本文的食堂排隊模型在高峰期內(nèi)過載，排隊更符合C個M/M/1模型，方秀男[5]介紹了一種服務強度大于1的M/M/C計算模型，但是C個M/M/1模型的狀況下，計算結(jié)果不符合實際. 周侃[6]借鑒SIPP法的基本思想,用L個M/M/1/1損失制排隊模型來刻畫各個子排隊過程來研究排隊過程中的過載狀態(tài)，適用于輕微過載的排隊模型，更適用于我們的數(shù)據(jù).所以，結(jié)合M/M/1模型，將其推廣到食堂的排隊模型中.

2 數(shù)據(jù)來源及數(shù)據(jù)處理

食堂刷卡機數(shù)據(jù)由贛南師范大學現(xiàn)代教育技術(shù)中心提供，收集了贛南師范大學6個食堂在學生隔離期即2020年5月25日至6月7日以及對應正常情況下2019年5月的食堂刷卡機收款數(shù)據(jù).由于6個食堂情形比較相似，下面以南苑一食堂為例.

圖1 2019年及2020年部分日期刷卡人數(shù)

首先，對收集到的數(shù)據(jù)進行篩選，將南一食堂的刷卡機數(shù)據(jù)篩選出來.定義高峰時段為每單位時間刷卡數(shù)大于該日刷卡數(shù)的第三分位數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，每天有3個高峰期，計算2019年第三四分位數(shù)為468(圖1(a)中水平直線)，2020年第三四分位數(shù)為82.25(圖1(b)中水平直線).

3 排隊論模型

同學們相繼到達食堂是一種經(jīng)典的隨機過程，打菜窗口是服務系統(tǒng)的服務臺，每個打菜窗口服務時間獨立且服務效率無差別，同學和打菜窗口構(gòu)成了一個排隊系統(tǒng).當?shù)竭_食堂的同學人數(shù)小于窗口數(shù)量，同學無需排隊；當同學人數(shù)大于窗口數(shù)量，同學要在窗口前排隊，不考慮其他因素使隊伍中同學中途離開的情況，正常情況下同學排隊隊伍可視為無限制，疫情防控下排隊因需間隔1 m，排隊隊伍有限制，窗口實行先到先服務原則.

宏觀角度上，令連續(xù)2個顧客到達排隊系統(tǒng)的時間間隔為到達間隔時間；單位時間到達的期望數(shù)量為平均到達率λ，即每段間隔時間平均有λ位顧客進入排隊系統(tǒng)；單位時間每個服務窗口的服務效率為μ，即每段間隔時間內(nèi)平均服務μ位顧客，λ與μ的變化直接影響到排隊系統(tǒng)隊伍的長短和等待時間[2].多個服務臺的排隊論模型有以下兩種形式：

圖2 M/M/C模型 圖3 c個M/M/1模型

圖2所示的排隊論是所有人排成1個隊伍，當有空閑窗口隊列的第1個顧客就去窗口接受服務.根據(jù)贛南師范大學食堂實際情況，如圖3所示，入隊后不能換隊，排隊論模型為c個M/M/1模型.

根據(jù)國內(nèi)外的研究顯示，當平均服務強度處于70%～80%時，服務機構(gòu)能保持最佳的工作水平和服務質(zhì)量[7].所以，有必要使系統(tǒng)維持一個合理的服務強度ρ(ρ<1)，保證食堂較高的服務效率和服務質(zhì)量.

3.1 2019年正常情況

設平均開放pos機數(shù)為c，正常情況下平均每天開放pos機數(shù)為38臺，而窗口的工作人員平均每天只有20名，即一個工作人員平均負責多條隊伍，則取c=20；一個窗口前最多可以容納的排隊人數(shù)為15人，那個整個排隊系統(tǒng)的容量K=15×38=570人.

根據(jù)折線圖特點，初步判斷每個用餐時段進入南一食堂的人數(shù)服從泊松分布，對單位時間進入食堂的人數(shù)進行Pearsonχ2檢驗.

假設每個人都是相互獨立的，學生對菜色無特殊偏好，且每個窗口的服務效率隨機且無差別，服從同種分布.根據(jù)數(shù)據(jù)分布特點，將每天分成3個時間段，除去高峰期間，食堂并不擁擠，所以只關注以下3個時間段：早餐高峰期：07：00-08：30，午餐高峰期：11：00-12：30，晚餐高峰期：17：00-18：00，分別統(tǒng)計每1分鐘進入食堂的人數(shù)，早餐數(shù)據(jù)見表1，則設早餐時間段原假設和備擇假設分別為：

H0:進入食堂的人數(shù)服從泊松分布;H1:進入食堂的人數(shù)不服從泊松分布

表1 2019年早餐每分鐘進入南一食堂的人數(shù)次數(shù)的頻數(shù)

午餐和晚餐同理，則Pearsonχ2檢驗結(jié)果如表2所示：

表2 2019年進入食堂人數(shù)分布檢驗結(jié)果

結(jié)果全部接受原假設，即早中晚三餐每分鐘到達食堂的人數(shù)全部服從泊松分布.

設N(t)表示在時間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達的學生，隨機變量{N(t)=N(s+t)-N(s)}服從泊松分布，時間間隔T則服從指數(shù)分布.

通過計算，得到早中晚三餐的每個服務窗口的到達速率與服務效率：

整個食堂窗口空閑的概率P0=1-ρ，由于0≤P0≤1，則P0→0，表明高峰期食堂沒有空閑的窗口.

表3 2019年南一食堂排隊論模型結(jié)果

即早餐高峰期，平均每隊隊伍長達14人，學生等待時間大概7 min～8 min；午餐高峰期，平均每隊隊伍長達29人，人數(shù)爆滿，超過了排隊系統(tǒng)容量，學生等待時間大概17 min；晚餐高峰期，平均每隊隊伍長12人，學生等待時間大約8 min.

3.2 2020年隔離期間

14 d內(nèi)每天開放的pos機見表4，平均每天開放13臺,即c=13；一個窗口前最多可以容納的排隊人數(shù)為13人，那個整個排隊系統(tǒng)的容量K=13c=169人.

表4 2020/5/25-2020/6/7南一食堂每日開放pos機數(shù)

高峰期除晚餐時間比2019正常情況多0.5 h，早餐和中餐一樣.根據(jù)學校防疫規(guī)定，南一食堂就餐錯峰表如表5所示：

表5 隔離期間南一食堂錯峰領餐表

表6 2020年隔離期間模型結(jié)果

根據(jù)2020年隔離期間平均每天刷卡數(shù)，求得：

μ1≈4.13人/10 min，μ2≈4.15人/10 min，μ3≈4.14人/10 min

整個食堂窗口空閑的概率P0=1-ρ，由于0≤P0≤1，則P0→0，即在高峰期，食堂沒有空閑的窗口.

即三餐高峰期食堂窗口都沒有空閑，平均排隊長度分別為6人、6人、7人，三餐排隊等待時間大約都為13 min.

對比2019年和2020年隔離期間，能夠看出，盡管學校施行的分流錯峰領餐措施有效地控制了人流量，但是沒有考慮到每個寢室代表的領餐時間增加對食堂服務效率的影響，導致窗口數(shù)設置不合理，領餐時間大大增加.

4 結(jié)論與討論

2019年的模型結(jié)果顯示，窗口服務強度很高，且大于1，表明高峰期出現(xiàn)了顧客到達而服務臺沒有空閑的情況，與后面食堂窗口空閑概率為0相符合.尤其是中午用餐高峰期，人流量太大，人數(shù)超出了排隊系統(tǒng)容量.

造成高峰期的原因主要是學生上下課時間基本統(tǒng)一，而學校上下課時間是固定的，不可改變，為了提高服務效率和服務質(zhì)量，增加窗口數(shù)是最為可行的方法.南一食堂平均每天開放的窗口數(shù)是38個，窗口的工作人員只有20名，意味著1名工作人員最多會負責2個窗口.經(jīng)調(diào)查，1名工作人員平均收入8元/h，所以要使工作人員數(shù)最少，同時服務強度達到70%-80%之間.

假定高峰期可以另外招小時短工，未滿1 h按1 h算，λ0為食堂總?cè)藬?shù)到達速率，構(gòu)建食堂在高峰期支付工資w與窗口數(shù)c的函數(shù):w=8/60LsWq=(2λ0/c)/15(μ-λ0/c)2，即滿足服務強度在70%-80%條件的窗口數(shù)中，窗口越多，食堂成本越低.則早餐和晚餐應多派7位工作人員在窗口打餐，午餐多派6名，對比采取措施之前(表2)，排隊長由之前的12-29人減短到4-5人，排隊時長由7 min-17 min縮減到3 min左右，食堂成本從320元降到了216元(早、晚餐)和208元(中餐)，既提高了服務效率，又有效降低了成本.采取的措施后的結(jié)果如表7所示.

表7 正常情況下優(yōu)化結(jié)果

另外，由于同學對菜品的不清楚，在食堂隨意走動，更加劇了擁擠程度，表明窗口上方LED顯示屏的菜名并沒有很好地起到作用，可以考慮用菜品的實拍圖代替菜名，更加直觀.

2020年隔離期間，派寢室代表去打飯，由于每一棟寢室是一批次打飯，導致一時間進入排隊系統(tǒng)的人數(shù)過多，服務強度太大，高峰期窗口空閑概率為0.且一個人要打4份飯菜，排隊時間太長，服務質(zhì)量太低.同樣，最可行的方法和采取措施之后的結(jié)果如表8.三餐都應多開放7個窗口，平均隊長能降低到7人，平均等待時間能縮短到10 min左右，食堂成本從208元降到160元.

表8 隔離期間優(yōu)化結(jié)果